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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Di 20.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x; y) := [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + y
und sei B :={f(x, [mm] y)\in R^2 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1}
(a) Bestimmen Sie die Maxima und Minima in Inneren von B.
(b) Bestimmen Sie die Maxima und Minima auf dem Rand von B.
(c) Bestimmen Sie die globalen Maxima und Minima von f auf ganz B. |
Hallo,
ich habe etwas Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
Zu a)
ich habe erst die partiellen Ableitungen der Funktion bestimmt, damit ich gradf bestimmen kann und diesen dann Null gesetzt um die kritischen Punkte zu erhatlen:
[mm] f_x(x,y)=2x \to [/mm] x=0
[mm] f_y(x,y)=2y+1 \to [/mm] y=-1/2
P(0,-1/2)
jetzt bestimmt man noch die Hessesche-Matrix durch die 2.partiellen Ableitungen
[mm] H_f(x,y)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2}
[/mm]
Die Matrix ist positiv definit, daraus resultiert ein lokales Minimum
zu b)
hier hatte ich etwas probleme
zuerst habe ich mir überlegt, dass als Randpunkte nur -1,1 und 0 nur in Frage kommen, damit die Bedingung [mm] x^2+y^2\le1 [/mm] erfüllt ist
daraus resultieren dann die Randpunkte
[mm] P_1(-1/0)
[/mm]
[mm] P_2(1/0)
[/mm]
[mm] P_3(0/1)
[/mm]
[mm] P_4(0/-1)
[/mm]
[mm] P_5(0/1)
[/mm]
und wie bestimme ich jetzt ob es sich um Maxima/Minima handelt?
ich dachte mir ich setze die Punkte in f ein, aber da krieg ich raus für [mm] P_1 [/mm] : f=1 dh. an diesem Punkt gibt es kein Maxima und kein Minima
wenn man sich auch die funktion betrachtet kann sie kein globales Maxima bestizen weil sie für [mm] y\to -\infty f\to \infty [/mm] und für [mm] y\to \infty f\to \infty [/mm] so auch bei x
damit wäre auch die c beantwortet
dh. dann auch dass mein Minima in a) nicht lokal sondern ein globales Minimum ist
so ich hoffe ihr könnt mir helfe :)
vielen dank
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 20.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieso kommst du darauf, dass der rand nur die Wenigen punkte hat? es ist doch ein ganzer Kreis [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
Welche Werte kann die fkt auf dem Kreis annehmen? gibts da einen größten und einen kleinsten?
zu c) es ist nach dem globalen Max auf B gefragt, nicht nach einem für x,y >1!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 20.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
ok wenn ich die gleichung umstelle dann komm ich auf
[mm] x=\wurzel(1-y^2)
[/mm]
demnach ist der kleinste wert -1 und 0 und der größte 1
oder habe ich etwas falsch verstanden??
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 20.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst doch nicht max von B??
du suchst Maxima von f auf dem Rand [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
Nochmal, welche Werte kann f auf dem Rand annehmen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 20.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
ich weiß es leider nicht leduart :(
bin etwas verwirrt...
..ich glaub ich seh den wald vor lauter bäumen nicht :(
wie muss ich vorgehen??
lg
und danke für die mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Mi 21.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist f(x,y)=1+y mit [mm] |y|\le1
[/mm]
findest du jetzt den größten und kleinsten Wert auf dem Rand?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 21.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
ja 0 für den größten wert für f und -1 für den kleinsten wert für f
ich habe die aufgabe auch versucht mit lagrangemultiplikatoren zu lösen
[mm] F(x,y,\lambda)=x^2+y^2+y+\lambda(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] F_x=2x+2x\lambda [/mm] =0 [mm] \to 2x(1+\lambda)=0 \to [/mm] x=0 oder [mm] \lambda=-1
[/mm]
[mm] F_y=2y+1+2y\lambda=0 \to [/mm] 1+ [mm] 2y(1+\lambda)=0 \to [/mm] y=-1/2
[mm] F_\lambda= x^2+y^2-1=0
[/mm]
1.Fall [mm] \lambda=-1
[/mm]
in [mm] F_y [/mm] eingesetzt [mm] \to [/mm] 2y+1-2y=0 [mm] \to [/mm] 1=0 [mm] \to [/mm] falsche Aussage
[mm] \to [/mm] x=0
[mm] \to y=\pm [/mm] 1 [mm] \to P_1(0,1) [/mm] , [mm] P_2(0,-1)
[/mm]
2.Fall y=-1/2 [mm] \lambda=beliebig
[/mm]
[mm] \to x=\pm\wurzel3/4 \to P_3(\wurzel3/4,-1/2), P_4(-\wurzel3/4,-1/2)
[/mm]
in f eingesetzt ergibt sich
[mm] f_1=2
[/mm]
[mm] f_2=1
[/mm]
[mm] f_3=f_4=1/2
[/mm]
somit liegt das maximum bei [mm] f_2 [/mm] auf dem rand
ist das soweit richtig??
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 21.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du auf 1+ $ [mm] 2y(1+\lambda)=0 \to [/mm] $ y=-1/2 kommst versteh ich nicht, du hattest ein richtiges lokales Min im inneren von B bei (0,-1/2) mit f(0,-1/2)=-1/4
Du hast Randextrema bei (0,1) Randmax mit f(0,1)=2 und Randmin bei (0,-1) mit f(0,-1)=0
also ist das Randmax auch globales Max auf B das lokale Min in (0,-1/2) auch gobales Min auf B
die Bezeichnung mit [mm] f_1 [/mm] usw find ich sehr ungeschickt, wenn du damit f(P1) meinst. i.A. meint man mit [mm] f_1 [/mm] ne andere fkt als mit [mm] f_2 [/mm] nicht den Funktionswert an ner anderen Stelle. Das Max liegt bei (0,1) nicht bei f2 und sein Wert ist dein f(0,1)=2
Du hast also das meiste richtig ausser deiner Ausdrucksweise.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mi 21.07.2010 | | Autor: | mausi8 |
vielen vielen dank leduart =)
lg
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