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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Funktion aus Hessematrix lesen
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Funktion aus Hessematrix lesen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Sa 18.05.2019
Autor: Alexxai

Aufgabe
Gibt es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $F : [mm] \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] , sodass
[mm] $\operatorname{hess}_{\overrightarrow{0}} F=\left( \begin{array}{ccc}{5} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {-1} \\ {1} & {-1} & {3}\end{array}\right)$ [/mm]
gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Guten Tag,
ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch und es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Fragen:
a) Was hat der Nullvektor zu sagen? Normalerweise würde ich diese Gleicheit ausnutzen  [mm] $f(\vec{x})=\vec{x}^{T} [/mm] A [mm] \vec{x}$, [/mm] wobei A die [mm] $\frac{F}{2}$ [/mm] ist. Dann müsste man nur schnell rechnen und fertig ist man. Die Begründung wäre dann, dass eine hessmatrix immer von einer zweimal diffbaren Funktion aufgestellt wird, bzw nur von einer solchen aufgestellt werden kann.  Das Problem ist der Nullvektor hier, ich weiß nicht wie ich damit dann rechnen sollte, es wäre dann ja alles 0 ?

Mit freundlichen Grüßen
Alex

        
Bezug
Funktion aus Hessematrix lesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Sa 18.05.2019
Autor: fred97


> Gibt es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion [mm]F : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> , sodass
>  [mm]\operatorname{hess}_{\overrightarrow{0}} F=\left( \begin{array}{ccc}{5} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {-1} \\ {1} & {-1} & {3}\end{array}\right)[/mm]
> gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
>  Guten Tag,
>  ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch und es
> wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
>  

Es ist ganz einfach : die Hessematrix einer zweimal stetig  differenzierbaren  Funktion  ist  symmetrisch,  Satz von Schwarz.

Klingelt da was ?

> Fragen:
>  a) Was hat der Nullvektor zu sagen? Normalerweise würde
> ich diese Gleicheit ausnutzen  [mm]f(\vec{x})=\vec{x}^{T} A \vec{x}[/mm],
> wobei A die [mm]\frac{F}{2}[/mm] ist. Dann müsste man nur schnell
> rechnen und fertig ist man. Die Begründung wäre dann,
> dass eine hessmatrix immer von einer zweimal diffbaren
> Funktion aufgestellt wird, bzw nur von einer solchen
> aufgestellt werden kann.  Das Problem ist der Nullvektor
> hier, ich weiß nicht wie ich damit dann rechnen sollte, es
> wäre dann ja alles 0 ?
>  
> Mit freundlichen Grüßen
>  Alex


Bezug
                
Bezug
Funktion aus Hessematrix lesen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Sa 18.05.2019
Autor: Alexxai


> Es ist ganz einfach : die Hessematrix einer zweimal stetig  differenzierbaren  Funktion  ist  symmetrisch,  Satz von Schwarz.

> Klingelt da was ?

Ja, es gilt dann [mm] ${f''}_{xy} [/mm] = [mm] {f''}_{yx}$ [/mm]

Aber ich weiß gerade nicht auf was Sie jetzt hinauswollen.
Ich weiß, dass es eine zweifach diff'bare Funktion geben muss, nur wie berechnet man diese?

Meine Idee wäre es eine Symmetrische Matrix zu finden, also in dem Fall $ [mm] \frac{F}{2} [/mm] $ und dann die Gleicheit $ [mm] f(\vec{x})=\vec{x}^{T} [/mm] A [mm] \vec{x} [/mm] $ zu nutzen, bin ich hier etwa auf dem Holzweg?
Wenn ja, wie komme ich an das Ziel und wie begründet man es ?

Bezug
                        
Bezug
Funktion aus Hessematrix lesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Sa 18.05.2019
Autor: fred97


> > Es ist ganz einfach : die Hessematrix einer zweimal stetig  
> differenzierbaren  Funktion  ist  symmetrisch,  Satz von
> Schwarz.
>
> > Klingelt da was ?
>
> Ja, es gilt dann [mm]{f''}_{xy} = {f''}_{yx}[/mm]
>  
> Aber ich weiß gerade nicht auf was Sie jetzt hinauswollen.
> Ich weiß, dass es eine zweifach diff'bare Funktion geben
> muss, nur wie berechnet man diese?


Da hat offenbar nix geklingelt.  Eine  solche Funktion kann es nicht  geben,  denn  die obige  Matrix ist nicht symmetrisch.  Zu berechnen gibt  es dann  also  nichts.

>  
> Meine Idee wäre es eine Symmetrische Matrix zu finden,
> also in dem Fall [mm]\frac{F}{2}[/mm] und dann die Gleicheit
> [mm]f(\vec{x})=\vec{x}^{T} A \vec{x}[/mm] zu nutzen, bin ich hier
> etwa auf dem Holzweg?
>  Wenn ja, wie komme ich an das Ziel und wie begründet man
> es ?


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