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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Uzaku |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die gebrochen-rationale Funktion f(x) = p(x)
q(x) mit Polynomen p(x) und
q(x), deren Zählergrad 3 und deren Nennergrad 2 ist und die folgende Eigenschaften
besitzt:
(a) An der Stelle x = 2 befindet sich eine Nullstelle 2. Ordnung,
(b) an der Stelle x = 1 liegt eine Polstelle 2. Ordnung,
(c) y = x + 1 ist Asymptote. |
Hey,
a) und b) stellen kein Problem da, aber ich komm trotz allem Kopfzerbrechen nicht auf die Lösung für c)
Mir selbst ist klar, dass zumindest das enthalten sein muss : [mm]\bruch{(x-2)^2}{(x-1)^2}[/mm] nun fehlt im Zähler noch ein Element, was dazu multipliziert werden muss, damit das ganze den Grad 3 hat im Zähler und die Asymptote. Laut Lösung ist das (x+3). Allerdings sehe ich den Zusammenhang zwischen dem *(x+3) und der sich dann ergebenden Asymptote von x+1 nicht. Ich habe folgenden Ansatz: [mm]\bruch{(x-2)^2 * k}{(x-1)^2} = x + 1 + \bruch{Irgendwas}{(x-1)^2}[/mm] Dummerweise komme ich nicht darauf, was irgendwas sein könnte. (Und was mich davon abhält für k (x+3) einzusetzen und das umzuformen, ist der Fakt, dass ich nicht weiß, wie Polynomdivision mit einem komplexeren Ausdruck als (x+a) funktioniert)
Gruß Uzaku
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
zunächst muss dein k zwangsläufig ein linearer Term in x, also etwas in der Form x+a sein, denn sonst wäre die Forderung nicht erfüllt, dass der Zählergrad gleich 3 sein soll.
Die Polynomdivision durch [mm] (x-1)^2 [/mm] bewältigt man sehr leicht, indem man [mm] (x-1)^2=x^2-2x+1 [/mm] ausnutzt. Der UNterschied zu einer Division durch einen linearen Term ist etwa vergleichbar damit, ob du beim schriftlichen Dividieren durch eine zweistellige oder eine dreistellige Zahl dividierst.
Die gute Nachricht ist ja auch, dass man die Polynomdivision gar nicht zu Ende erechnen muss sondern nur soweit, bis man k so wählen kann, dass der konstante Summand im Ergebnis gleich 1 wird. Das sollte dir eigentlich weiterhelfen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Uzaku |
Alles klar, danke für den Hinweis.
Wenn ich von [mm]\bruch{(x-2)^2*(x+k)}{(x-1)^2}[/mm] ausgehe, und das ausmultipliziere bin ich bei [mm](x^3 + (k-4)x^2 + (4-4k)x +4k):(x^2-2x+1)[/mm] und das Ergebnis ist im 2ten Schritt [mm] x + (k-2)[/mm] woraus sich ja ergibt [mm](k-2) = 1[/mm]
Und damit is dann ja alles klar.
gruß Uzaku
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
überprüfe den Vorfaktor von x im ausmultiplizierten Zähler nochmal. Meiner Ansicht nach müssten die Vorzeichen genau andersherum sein.
Sorry. das war Unsinn meinerseits: es passt alles. 
Gruß, Diophant
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