Funktion bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mi 05.05.2010 | | Autor: | mathe_FS |
| Aufgabe | [mm] f_{x}(x,y)=\bruch{x+2y}{(x+y)^{2}}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=\bruch{y}{(x+y)^{2}} [/mm] |
Hallo,
ich soll die Funktion f(x,y) bestimmen.
Also versuche ich erstmal [mm] f_{x}(x,y) [/mm] zu integrieren.
Im Nenner steht dann x+y (ja ich weiß, das war einfach).
Nun aber zum Problem -> der Zähler.
Also wenn ich f(x,y) hätte würde ich Quotientenregel zum Ableiten nutzen. Also überlege ich:
u=?
u´=?
v=x+y
v´=1 (Ableiung nach x)
Also alles was einfach wäre habe ich schon durchprobiert. Nur wenn ich z.B. als u 2x, 3x,... einsetze, dann kürzt sich das wieder weg. [mm] x^{2} [/mm] funktioniert auch nicht, also muss es ja etwas ausgefallenes sein.
Hat jemand einen Vorschlag, wie ich das lösen kan???
Die Lösung wäre super, aber BITTE mit ausführlichen Erläuterungen, damit ich es verstehe.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f_{x}(x,y)=\bruch{x+2y}{(x+y)^{2}}[/mm]
> [mm]f_{y}(x,y)=\bruch{y}{(x+y)^{2}}[/mm]
> Hallo,
> ich soll die Funktion f(x,y) bestimmen.
> Also versuche ich erstmal [mm]f_{x}(x,y)[/mm] zu integrieren.
> Im Nenner steht dann x+y (ja ich weiß, das war einfach).
> Nun aber zum Problem -> der Zähler.
> Also wenn ich f(x,y) hätte würde ich Quotientenregel zum
> Ableiten nutzen. Also überlege ich:
> u=?
> u´=?
> v=x+y
> v´=1 (Ableiung nach x)
> Also alles was einfach wäre habe ich schon durchprobiert.
> Nur wenn ich z.B. als u 2x, 3x,... einsetze, dann kürzt
> sich das wieder weg. [mm]x^{2}[/mm] funktioniert auch nicht, also
> muss es ja etwas ausgefallenes sein.
> Hat jemand einen Vorschlag, wie ich das lösen kan???
Schreibe
[mm] f_{x}(x,y)=\bruch{x+2y}{(x+y)^{2}} = \bruch{x+y}{(x+y)^{2}} + \bruch{y}{(x+y)^{2}} = \bruch{1}{x+y} + \bruch{y}{(x+y)^{2}}[/mm]
und integriere die beiden Summanden getrennt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 06.05.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo Rainer,
danke für den Hinweis.
Also für [mm] \bruch{y}{(x+y)^{2}} [/mm] erhalte ich [mm] \bruch{x}{x+y}+c(y), [/mm] OK?
Bei [mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] ist es log(x+y), richtig?
Also ist es [mm] log(x+y)+\bruch{x}{x+y}+c(y), [/mm] stimmt das?
Würde mich auf Feedback freuen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Do 06.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo mathe fs
die erste Integration ist falsch, leite nach x ab, um es zu sehen. mach bei neuen Versuchen immer die probe, indem du nach x ableitest.
zu 1/(x+y) leit mal ln(x+y) nach x ab!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Do 06.05.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo leduart,
aber:
[mm] f_{x}von \bruch{x}{x+y} [/mm] ist doch
[mm] \bruch{(x+y)-x}{(x+y)^{2}}, [/mm] nicht? Und das ist doch [mm] \bruch{y}{(x+y)^{2}}
[/mm]
Also würde das doch stimmen, wo ist mein Denkfehler?
Bei [mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] habe ich an [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gedacht und davon ist ln x die Stammfunktion. Kann ich dann nicht einfach sagen das [mm] F(x,y)=\integral{\bruch{1}{x+y}dx}= [/mm] log (x+y) ist?
Das ist für mich alles so unverständlich, war froh dass ich das mit einer Variablen verstanden hatte.
Bitte gib mir einen Tip, was ich falsch mache.
Gehe jetzt erstmal schlafen, schaue morgen wieder rein.
Gute Nacht.
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> Hallo leduart,
> aber:
> [mm]f_{x}von \bruch{x}{x+y}[/mm] ist doch
> [mm]\bruch{(x+y)-x}{(x+y)^{2}},[/mm] nicht? Und das ist doch
> [mm]\bruch{y}{(x+y)^{2}}[/mm]
> Also würde das doch stimmen, wo ist mein Denkfehler?
Hallo,
Dein Ergebnis stimmt.
Es ist [mm] \integral\bruch{y}{(x+y)^2}=\bruch{x}{x+y} [/mm] + [mm] c_1(y)
[/mm]
> Bei [mm]\bruch{1}{x+y}[/mm] habe ich an [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gedacht und
> davon ist ln x die Stammfunktion. Kann ich dann nicht
> einfach sagen das [mm]F(x,y)=\integral{\bruch{1}{x+y}dx}=[/mm] log
> (x+y) ist?
Es ist [mm] \integral\bruch{1}{x+y}=ln(x+y)+c_2(y),
[/mm]
und insgesamt erhältst Du [mm] f(x,y)=ln(x+y)+\bruch{x}{x+y} [/mm] + c(y).
Damit ist ein Teil der Aufgabe erledigt.
Jetzt soll für die Funktion ja wohl gleichzeitig gelten $ [mm] f_{y}(x,y)=\bruch{y}{(x+y)^{2}} [/mm] $.
Du könntest nun nach der Variablen y integrieren und dann die beiden Ergebnisse vergleichen, oder Du startest einfach mal einen Versuchsballon, indem Du [mm] f(x,y)=ln(x+y)+\bruch{x}{x+y} [/mm] + c(y) partielle nach y ableitest und Deine Schlüsse ziehst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Do 06.05.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo Angela,
danke für deine Nachricht.
Ich habe das Ganze nach y abgeleitet und es stimmt. Bin so dankbar, dass ihr mir geholfen habt, denn ich glaube ich habe es verstanden.
Einen schönen Tag.
mathe_FS
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