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| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Funktion cis : t [mm] \to e^{it} [/mm] bildet das Intervall [0; [mm] 2\pi) [/mm] bijektiv auf
[mm] S^{1} [/mm] = [mm] \{z \in \IC : |z| =1\} [/mm] ab. |
Hallo!
Hab leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich versteh erst gar nicht, was die Funktion cis ist (haben wir zwar in der Vorlesung gehabt, aber ich blicks trotzdem nicht). Kann mir vielleicht jemand sagen, was ich bei der Aufgabe machen muss, bzw. wie ich vorgehen kann/muss?
Lg SirBigMac
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Funktion cis parametrisiert gerade den Einheitskreis:
$cis(t) [mm] =e^{it} [/mm] = [mm] \cos(t) [/mm] + i [mm] \sin(t)$.
[/mm]
Es gilt:
$cis(0)=1$
und
[mm] $\lim\limits_{t \to 2\pi} [/mm] cis(t) =1$.
Man wandert also einmal, beginnend bei $1$, gegen den Urzeigersinn um den Einheitskreis rum.
Beim Beweis muss man zeigen, dass sich jede Zahl $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|=1$ in der Form $z = [mm] \cos(t) [/mm] + i [mm] \sin(t)$ [/mm] für genau ein $t [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] darstellen lässt. (Hattet ihr diese Aussage eventuell schon?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 01.02.2006 | | Autor: | thw |
ja, jetzt ist die frage wie man das macht.
injektivität ist leicht aber surjektivität?
der prof hat uns n tipp gegeben, dass wir arccos auf [-1,1] betrachten sollen (also für surjektivität jetzt).
habe absolut keinen plan wie ich das jetzt machen soll.
echt absolut keine ahnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 02.02.2006 | | Autor: | thw |
Hat keiner ne ahnung?
irgendwie soll man t: arccos(a) setzten, wobei a der realteil der zahl z ist.
weiter weiß ich leider nich...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 So 05.02.2006 | | Autor: | Quedrum |
Hallo zusammen,
ich sitze an der gleichen Aufgabe dran. Komme leider auch nicht weiter.
Surjektivität so weit klar.
Injektivität:
Ist der Ansatz soweit richtig, dass ich
cis(t1)=cis(t2) annehme und daraus versuche t1=t2 zu bekommen?
Hat da jemand ne Idee?
Wäre super
Danke
Quedrum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 05.02.2006 | | Autor: | thw |
des is doch injektivität:
cist1=cist2 => t1=t2
Was verstehst du denn darunter?
Bei der surjektivität muss man zeigen das zu jedem t mit [0,2 [mm] \pi) [/mm] mindestens ein z mit |z | = 1 ist.
also, das auf jeden fall jeder wert auf dem einheitskreis angenommen wird.
es ist ja schon logisch, aber der mathematische beweis is halt n bißchen "verzwickt".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 So 05.02.2006 | | Autor: | Quedrum |
> des is doch injektivität:
>
> cist1=cist2 => t1=t2
>
Ja stimmt, habs vertauscht...
> Was verstehst du denn darunter?
> Bei der surjektivität muss man zeigen das zu jedem t mit
> [0,2 [mm]\pi)[/mm] mindestens ein z mit |z | = 1 ist.
> also, das auf jeden fall jeder wert auf dem einheitskreis
> angenommen wird.
> es ist ja schon logisch, aber der mathematische beweis is
> halt n bißchen "verzwickt".
Die Surjektivität ist klar. Es ist ja nicht schwer zu zeigen, dass der Betrag immer eins ist und dass nach einem Intervall von [mm]2\pi[/mm] er wieder von Anfang an beginnt...
Aber wie beweist man denn die Injektivität (jetzt stimmts 
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Hallo zusammen,
zur Injektivitaet:
Gelte also fuer zwei reelle Zahlen [mm] 0\leq t\leq t'<2\pi
[/mm]
[mm] \cos [/mm] (t) [mm] +i\sin(t)\:\: =\:\: \cos (t')+i\sin (t')\:\:\:\: (\star),
[/mm]
zu zeigen ist t=t'.
Es folgt aus [mm] (\star)
[/mm]
[mm] \cos (t)=\cos (t'),\:\:\: \sin (t)=\sin [/mm] (t'),
somit (jetzt benutz man halt ein paar Sachen ueber cosinus und sinus)
t=t' oder
t<t' und dann aber [mm] t=\pi-\delta, t'=\pi+\delta [/mm] fuer [mm] \delta [/mm] >0.
Dann gilt aber [mm] \sin (t)\geq [/mm] 0 > [mm] \sin [/mm] (t'), ein Widerspruch. Also gilt Injektivitaet.
Gruss,
Mathias
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