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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | | Diskutiere die Funktion: f: y = [mm] \bruch{x^3}{x^2 - 3}. [/mm] Definitionsmenge, Asymptoten, Polstellen, Nullstellen, Extrema, WEndepunkte, Monotonie, Krümmung und Graph sind gesucht! |
hab da nicht sehr viel Erfahrung mir Kurvendiskussionen!
also als Definitionsmenge hab ich mal D = [mm] \IR \backslash [/mm] { [mm] \wurzel{3} [/mm] }
stimmt das mal ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 So 03.10.2010 | | Autor: | Ersty |
Ich würde auch noch [mm] -\wurzel{3} [/mm] als Definitionslücke aufnehmen, das stimmt schonmal!
Wie rechnet man den Rest aus? Überleg mal selber!
MFG Ersty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke!
jetzt hab ich noch eine Frage
ich hab jetzt mal die Ableitungen gebildet:
y' : [mm] \bruch{3x^2}{x^2-3} [/mm] - [mm] \bruch{2x^4}{(x^2-3)^2}
[/mm]
bei der zweiten komm ich dann irgendwie nach einer zeit nicht mehr weiter! Also schreib ich mal was ich habe:
also ich nehm die Formel: (f-g)' = f'- g'
Für f' hab ich : [mm] \bruch{6x*(x^2-3)-3x^2*2x}{(x^2-3)^2}
[/mm]
und für g' hab ich : [mm] \bruch{8x^3*(x^2-3)^2-2x^4*4x*(x^2-3)}{(x^2-3)^2}
[/mm]
So das letzte was ich habe sieht so aus:
[mm] \bruch{6x}{x^2-3} [/mm] - [mm] \bruch{3x^2*2x}{(x^2-3)^2} [/mm] - [mm] \bruch{8x^3}{1} [/mm] - [mm] \bruch{2x^4*4x}{x^2-3} [/mm]
da komm ich dann irgendwie nicht weiter kann mir da jemand weiterhelfen?
ich hab im internet einen Ableitungsrechner gefunden damit hab ich bei y' das selbe herausbekommen und bei y'': [mm] \bruch{6x}{x^2-3} [/mm] - [mm] \bruch{14x^3}{(x^2-3)^2} [/mm] + [mm] \bruch{8x^5}{(x^2-3)^3}
[/mm]
so jetzt hoff ich nur noch das ich mich nirgends vertippt habe und das mir jemand weiterhelfen kann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke für die Kontrolle! Hab auch schon den Fehler entdeckt warum ein + statt dem - gehört. Aber reicht das jetzt schon so in dieser Darstellung oder soll man noch mehr vereinfachen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 03.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Wenn die Ableitung an sich richtig ist, kann man es auch so stehen lassen.
Jedoch ist Deine Darstellung nicht praktisch zum Weiterrechnen (wie z.B. die Nullstellen der 2. Ableitung), so dass es besser ist, alle Terme auf einem Bruchstrich zusammenzufassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
So ich hab mir mal die Nullstellen und Extrema ausgerechnet da ich ja glaube das y' richtig ist.
also ich hab eine 3fache Nullstelle bei (0/0)
und Extrema bei : (0/0) (3/4,5) (-3/-4,5)
kann das so stimmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
also jetzt hab ich das mal berechtet (ob H odr T) (konnte ich vorher nicht weil ich noch nicht sicher war ob y'' stimmt)
also (3/4,5) ist ein Tiefpunkt
und (-3/-4,5) ein Hochpunkt
jetzt wollte ich die/den WEndepunkt berechnen indem ich y'' = 0 setzte
das ging auch soweit bis:
[mm] 24x^5-72x^3-18x [/mm] = 0
[mm] x(24x^4-72x^2-18) [/mm] = 0
also ich hab mal das x herausgehoben und das wird ja dann 0. stimmt das ?
und wie löse ich das in der Klammer auf (ich hab das zwar schon mal gemacht und weiß auch das es da einen Trick gibt indem man sich [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^4 [/mm] mit anderen Variablen ausdrückt aber leider weiß ich das nicht mehr genau und ich finde es auch nicht in meinen Aufzeichnungen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hmhm ich hab jetzt noch 2 mal nachgerechnet aber ich koom irgendwie immer auf das selbe ! [mm] 3x*(8x^4-24x^2-6) [/mm]
kann mir da jemand sagen was ich falsch mache!?
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Hallo Laura,
das wird nur zu finden sein, wenn Du Deine Rechnung mal herzeigst.
Grüße
reverend
PS: Um ehrlich zu sein - ich habs bisher gar nicht nachgerechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok dann mach ich das mal!
[mm] \bruch{6x*(x^2-3) -3x^2*2x - 8x^3*(x^2-3)^2 + 2x^4*4x*(x^2-3)}{(x^2-3)^2}
[/mm]
[mm] 6x^3 [/mm] -18x [mm] -6x^3-8x^3*(x^4-6x^2+9) [/mm] + [mm] 8x^5 [/mm] * [mm] (x^2-3)
[/mm]
[mm] -18x-8x^7+48x^5-72x^3 [/mm] + [mm] 8x^7 [/mm] - [mm] 24x^5
[/mm]
[mm] 24x^5 [/mm] - [mm] 72x^3 [/mm] - 18 x
[mm] 3x*(8x^4 [/mm] - [mm] 24x^2 [/mm] - 6 )
so das wärs aus was ich komme! das 3x vorne müsste ja 0 werden und wenn ich das vorhin richtig verstanden habe [mm] (z^2= x^4 [/mm] und [mm] z=x^2) [/mm] dann bekomm ich für z1 [mm] \sim [/mm] 3,2 z2 [mm] \sim [/mm] -0,23
daraus folgt x1 [mm] \sim [/mm] 10,44 und x2 [mm] \sim [/mm] 0,0538
stimmt das zumindest so wie ich das ausgerechnet habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 03.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die konkreten Werte habe ich jetzt nicht berechnet, die Idee mit der Substituition ist aber korrekt.
Dabei machst du aber einen Fehler:
Du hast:
[mm] 8x^4-24x^2-6=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}-3x^{2}-\bruch{3}{4}=0
[/mm]
Mit [mm] z=x^{2} [/mm] gilt also:
[mm] z^{2}-3z-\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1;2}=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{9}{4}+\bruch{3}{4}}=\bruch{3\pm\wurzel{12}}{2} [/mm] folgt:
[mm] x_{1;2}=\pm\wurzel{\bruch{3+\wurzel{12}}{2}}
[/mm]
[mm] x_{3;4}=\pm\wurzel{\bruch{3-\wurzel{12}}{2}}
[/mm]
Und vergiss die [mm] x_{5}=0 [/mm] nicht, die du aus dem Ausgeklammerten Term 3x=0 bekommen hast.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> Hallo
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> Die konkreten Werte habe ich jetzt nicht berechnet, die
> Idee mit der Substituition ist aber korrekt.
>
> Dabei machst du aber einen Fehler:
>
> Du hast:
> [mm]8x^4-24x^2-6=0[/mm]
> [mm]\gdw x^{4}-3x^{2}-\bruch{3}{4}=0[/mm]
> Mit [mm]z=x^{2}[/mm] gilt also:
> [mm]z^{2}-3z-\bruch{3}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow z_{1;2}=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{9}{4}+\bruch{3}{4}}=\bruch{3\pm\wurzel{12}}{2}[/mm]
> folgt:
>
> [mm]x_{1;2}=\pm\wurzel{\bruch{3+\wurzel{12}}{4}}[/mm]
> [mm]x_{3;4}=\pm\wurzel{\bruch{3-\wurzel{12}}{4}}[/mm]
hier versteh ich nicht warum auf einmal wieder 4 und nicht 2 im Nenner steht? stimmt das und wenn ja wo kommt das ?
>
> Und vergiss die [mm]x_{5}=0[/mm] nicht, die du aus dem
> Ausgeklammerten Tem 3x=0 bekommen hast.
>
> Marius
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey
es sollte im Nenner die 2 stehen bleiben, da du ja um x auszurechnen nur die Wurzel aus den 2 z-Werten ziehen musst.
JAn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 03.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hi
> Hey
>
> es sollte im Nenner die 2 stehen bleiben, da du ja um x
> auszurechnen nur die Wurzel aus den 2 z-Werten ziehen
> musst.
So ist es. Ich habe es in der Antwort aber auch verbessert
>
>
> JAn
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 03.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
>
> [mm]x_{1;2}=\pm\wurzel{\bruch{3+\wurzel{12}}{2}}[/mm]
> [mm]x_{3;4}=\pm\wurzel{\bruch{3-\wurzel{12}}{2}}[/mm]
>
[mm] x_{3;4} [/mm] sind nicht berechenbar da sich hier ein negativer Wert unter der Wurzel ergibt ! Kann das sein und wenn ja was schreib ich da dann ?
Wäre jemand so nett und könnte sich meine Rechnungen von vorher (wie ich überhaupt auf y'' komme und dann weiters y''= 0) ansehen denn langsam glaub ich ich hab da irgendeinen Fehler drinnen aber ich find ihn nicht! Hab schon zick mal nachgerechnet und verzweifel langsam!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Nochmal Hey ;)
also, du schreibst einfach genau dass, was du hier auch geschrieben hast, dass die wurzel aus was negativem nicht geht. (z.B [mm] $x_4$ [/mm] enfällt wegen...)
und zu deiner rechnung, ich kuck fix durch und schreib ne mitteilung...5min...
JAn.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 03.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
so...
also ich fange mal bei der ersten Abl. an.
Ich habe da jetzt (damits "einfach" "bleibt") Quotientenregel genommen und den Bruch erst einmal nicht weiter vereinfacht, umgeschrieben etc. da man, wenns drauf ankommt und noch kein Auge für gewisse Umformungen hat, lieber den gewöhnliche weg gehen sollte.
Ich komme auf:
$y' = [mm] \bruch{x^4-9*x^2}{(x^2-3)^2}$
[/mm]
wenn du das auch hast, machen wir die zweite;)
ps. ableiten üben kann nie schaden, drum kömmer das hier glei mal machen ;)
JAn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
So auf das komm ich jetzt mal!
Das ist ja schon mal was
und für y'' hab ich jetzt 2 alternativen:
einmal:
[mm] \bruch{6x}{x^2-3} -\bruch{3x^2*2x}{(x^2-3)^2} [/mm] - [mm] \bruch{8x^3}{1} [/mm] + [mm] \bruch{2x^4*4x}{x^2 -3}
[/mm]
und:
[mm] -4x^5 [/mm] + [mm] 40x^3 [/mm] - 18x
so jetzt ist die Frage ist da eines der 2 richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 04.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was tust du da? Beide Ableitungen sind definitiv falsch
Du hast:
[mm] f'(x)=\bruch{\overbrace{x^4-9\cdot{}x^2}^{u}}{\underbrace{(x^2-3)^2}_{v}} [/mm]
Jetzt musst du lediglich die Quotientenregel nutzen, wobei du für v' noch die Kettenregel brauchst.
Also:
[mm] f'(x)=\bruch{\overbrace{\Box}^{u'}\overbrace{\Box}^{v}-\overbrace{\Box}^{u}\overbrace{\Box}^{v'}}{\underbrace{((x^2-3)^2)^{2}}_{v^{2}}} [/mm]
Den Zähler aufzustellen überlasse ich aber dir 
Marius
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Hallo Laura,
da stimmt hinten und vorne was nicht ...
> ok dann mach ich das mal!
>
> [mm]\bruch{6x*(x^2-3) -3x^2*2x - 8x^3*(x^2-3)^2 + 2x^4*4x*(x^2-3)}{(x^2-3)^2}[/mm]
was soll dieser Ausdruck denn sein?
Es ist [mm] $f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}
[/mm]
[mm] $f'(x)=\frac{3x^2(x^2-3)-x^3\cdot{}2x}{(x^2-3)^2}=\frac{3x^4-9x^2-2x^4}{(x^2-3)^2}=\red{\frac{x^4-9x^2}{(x^2-3)^2}}=\frac{x^2(x^2-9)}{(x^2-3)^2}$
[/mm]
Soweit hatte ich das oben (zumindest für den Zähler mal geschrieben)
Damit - ausgehend von der roten 1.Ableitung - [mm] $f''(x)=\frac{(4x^3-18x)(x^2-3)^2-(x^4-9x^2)\cdot{}2(x^2-3)\cdot{}2x}{(x^2-3)^4}$
[/mm]
Nun steht in beiden Summanden im Zähler der Faktor [mm] $(x^2-3)$, [/mm] das kannst du also ausklammern und gegen einmal [mm] $(x^2-3)$ [/mm] im Nenner wegkürzen.
Rechne den Bruch oben mal zusammen.
Du solltest auf [mm] $f''(x)=\frac{6x^3+54x}{(x^2-3)^3}=\frac{6x(x^2+9)}{(x^2-3)^3}$ [/mm] kommen ...
Wie oben erwähnt.
>
> [mm]6x^3[/mm] -18x [mm]-6x^3-8x^3*(x^4-6x^2+9)[/mm] + [mm]8x^5[/mm] * [mm](x^2-3)[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Wo ist der Bruch hin??
Du solltest wahrlich mal schreiben, was du machst und nicht bloß aus der Luft gefallene Terme hinklatschen ...
>
> [mm]-18x-8x^7+48x^5-72x^3[/mm] + [mm]8x^7[/mm] - [mm]24x^5[/mm]
>
> [mm]24x^5[/mm] - [mm]72x^3[/mm] - 18 x
>
>
> [mm]3x*(8x^4[/mm] - [mm]24x^2[/mm] - 6 )
>
> so das wärs aus was ich komme! das 3x vorne müsste ja 0
> werden und wenn ich das vorhin richtig verstanden habe
> [mm](z^2= x^4[/mm] und [mm]z=x^2)[/mm] dann bekomm ich für z1 [mm]\sim[/mm] 3,2 z2
> [mm]\sim[/mm] -0,23
> daraus folgt x1 [mm]\sim[/mm] 10,44 und x2 [mm]\sim[/mm] 0,0538
> stimmt das zumindest so wie ich das ausgerechnet habe?
Keinen Plan, was du machst
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Danke erstmal für die Hilfe!
ich komm jetzt auch auf das was du geschrieben hast! und ich hab erlich gesagt auch keine Ahnung mehr was ich da für einen Blödsinn gerechnet habe!
hab jetzt auch gleich mal die Wendepunkte ausgerechnet und es habe sich hoch- und tiefpunkt als Wendepunkte ergeben. Also H und T sind gleichzeitig Wendepunkte.
Ich wollte jetzt nur noch mal sichergehen ob das stimmt oder überhaupt sein kann?
ich bin mir nämlich nicht sicher da ich wenn ich y'' gleich 0 setzte komme ich am schluss auf [mm] x^2 [/mm] = -9 und ich hätte hier dann gesagt x1: 3 und x2:-3
Stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
oh sorry hab ich vergessen! Ein Wendepunkt liegt bei (0/0)
ich hab mir das jetzt so überlegt :
ich habe ja : [mm] x^2 [/mm] = -9 / *-1
dann hab ich ja [mm] -x^2 [/mm] = 9 und jetzt zieh ich die Wurzel
bekomme ich -x = 3 so und jetzt rechne ich wieder mal -1 und komme dann auf x = -3 und somit ist mein 2ter Wendepunkt (-3/-4,5) was ja auch gleichzeitig mein Hochpunkt ist!
Stimmt das ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich kann ja aus -1 gar nicht die Wurzel ziehen! das ist ja nicht definiert.
aber ich blick das grad garn nicht! kann mir da ausnahmsweise jemand das ergebnis verraten !?
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Hallo nochmal,
> ich kann ja aus -1 gar nicht die Wurzel ziehen! das ist ja
> nicht definiert.
>
> aber ich blick das grad garn nicht! kann mir da
> ausnahmsweise jemand das ergebnis verraten !?
grrr, das habe ich weiter oben bereits getan.
Ich hatte geschrieben, dass der Zähler die Form [mm] $6x\cdot{}(x^2+9)$ [/mm] hat und es mithin lediglich die Nullstelle $x=0$ gibt, für die der erste Faktor (6x) Null wird.
der zweite Faktor [mm] $x^2+9$ [/mm] hat keine reelle Nullstelle, Es ist doch stets [mm] $x^2\ge [/mm] 0$ Hat du schonmal ein negatives Quadrat gesehen?
Die Gleichung [mm] $x^2+9=0$ [/mm] bzw. [mm] $x^2=-9$ [/mm] hat keine (reelle) Lösung!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke dann mal!
ich bin machmal ein bisschen schwer von begriff zumindest was die Mathematik betrifft
aber nochmals DANKE !
jetzt hab ich aber gleich noch eine Frage ich hab da nicht so eine Ahnung was polstellen sind! ich hab versucht mich schlau zu machen und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass das die Werte sind die ich in der Definitionsmenge ausschließe! also in meinem Falle [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \wurzel{-3} [/mm] aber ist das richtig also quasi sind die polstellen die Werte die x nicht annehmen darf bzw die x im nenner nicht annehmen dürfen da sich ja sonst eine division durch null ergibt?
ist das richtig?
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Hallo nochmal,
> ok danke dann mal!
> ich bin machmal ein bisschen schwer von begriff zumindest
> was die Mathematik betrifft
>
> aber nochmals DANKE !
>
> jetzt hab ich aber gleich noch eine Frage ich hab da nicht
> so eine Ahnung was polstellen sind! ich hab versucht mich
> schlau zu machen und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass das
> die Werte sind die ich in der Definitionsmenge
> ausschließe! also in meinem Falle [mm]\wurzel{3}[/mm] und
> [mm]\wurzel{-3}[/mm] aber ist das richtig also quasi sind die
> polstellen die Werte die x nicht annehmen darf bzw die x im
> nenner nicht annehmen dürfen da sich ja sonst eine
> division durch null ergibt?
Ja, Polstellen sind Nullstellen des Nenners, die nicht auch glz. Nullstellen des Zählers sind.
Du hast oben das Minus falsch gesetzt.
Die Nullstellen des Nenners sind die x mit [mm] $x^2-3=0$, [/mm] also [mm] $^x^2=3$, [/mm] dh. [mm] $x=\sqrt{3}$ [/mm] oder [mm] $x=-\sqrt{3}$ [/mm] (das Minus muss vor und nicht unter der Wurzel stehen), die Wurzel ist nur für nicht-negative Argumente definiert.
Mal noch ein Bsp. [mm] $g(x)=\frac{x+3}{x^2-9}$
[/mm]
Wie sieht's hier mit den Polstellen aus?
>
> ist das richtig?
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hoppla! hab ich eigentlich auch so in meiner Definitionsmenge (ich mein das - [mm] \wurzel{3} [/mm] )
in deinem bsp. wär das dann -3 und 3 ?!
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Hallo,
> hoppla! hab ich eigentlich auch so in meiner
> Definitionsmenge
Das ist aber nicht immer so, dass bei gebrochen-rationalen Funktionen die Def.lücken allesamt Polstellen sind
Das sollte das Bsp. verdeutlichen
> (ich mein das - [mm]\wurzel{3}[/mm] )
Dachte ich mir
>
> in deinem bsp. wär das dann -3 und 3 ?!
Nein, es ist [mm]g(x)=\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}[/mm]
[mm]x=3[/mm] und [mm]x=-3[/mm] sind also Def.lücken (dort wird der Nenner 0)
Aber [mm]x=-3[/mm] ist glz. auch Nullstelle des Nenners, du kannst [mm]x+3[/mm] rauskürzen, bleibt [mm]\tilde{g}(x)=\frac{1}{x-3}[/mm]
Und das ist für [mm]x=-3[/mm] schon definiert: [mm]\frac{1}{-3-3}=-\frac{1}{6}[/mm]
Du kannst g also durch die Festlegung [mm]g(-3):=-\frac{1}{6}[/mm] stetig ergänzen.
Im Graphen ist an der Stelle [mm]x=-3[/mm] nur ein Löchlein, das du mit dieser Def. stopfen kannst.
An der Stelle [mm]x=+3[/mm] geht das nicht, dort hat der Zähler keine NST, im Graphen ist dort also ein Pol.
Also hat $g$ 2 Def.lücken, aber nur eine davon ist auch Polstelle
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok! auf das wär ich nie gekommen! Aber auf alle Fälle danke für den Hinweis werd ich mir hoffentlich für die Zukunft merken!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
aber eins noch zu den polstellen! müsste mir das dann nicht auffallen wenn ich mir eine Wertetabelle mache das es für x= 3 einen y wert gibt? denn so wie ich das verstehe gibt es ja dann für x= -3 keinen Wert? !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
so jetzt brauch ich glaub ich nur noch die Asymptoten und da hab ich gleich mal eine Frage! Woher weiß ich ob es überhaupt welche gibt? weil ich denk mir mal es gibt doch sicher kurven ohne Asympoten oder?
Für das bsp hier hab ich mal herausgefunden das an den Polstellen Asymptoten sind aber ich weiß jetzt nicht ob es da noch weitere gibt und wenn ja woher weiß ich das bzw. wie erkenn ich das und wie berechne ich diese?
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Hallo Laura_88,
> so jetzt brauch ich glaub ich nur noch die Asymptoten und
> da hab ich gleich mal eine Frage! Woher weiß ich ob es
> überhaupt welche gibt? weil ich denk mir mal es gibt doch
Sobald Du einen Ausdruck der Form [mm]\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/mm] hast, gibt es Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten sind in erster Linie die Nullstellen des Nenners.
> sicher kurven ohne Asympoten oder?
Ja, z.B. [mm]f\left(x\right)=x^{2}[/mm]
>
> Für das bsp hier hab ich mal herausgefunden das an den
> Polstellen Asymptoten sind aber ich weiß jetzt nicht ob es
> da noch weitere gibt und wenn ja woher weiß ich das bzw.
> wie erkenn ich das und wie berechne ich diese?
Schiefe Asymptoten gibt es, wenn z.B. p und q Polynome sind,
und der Grad von p größer oder gleich als der Grad von q ist.
Sonderfall ist hier der Fall Grad p gleich Grad q, dann nennt
man diese Asymptoten, waagrechte Asymptoten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
und wie sieht es hier bei diesem bsp aus?
ich hab also die 2 Asyptoten durch die polstellen aber gibts da jetzt noch mehr! wenn ich das richtig verstanden habe was du da geschrieben hast dann muss es ja noch eine (mehrere?) schiefe geben oder ?
aber mein problem ist wie komm ich jetzt auf die ?
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Hallo Laura_88,
> und wie sieht es hier bei diesem bsp aus?
>
> ich hab also die 2 Asyptoten durch die polstellen aber
> gibts da jetzt noch mehr! wenn ich das richtig verstanden
> habe was du da geschrieben hast dann muss es ja noch eine
> (mehrere?) schiefe geben oder ?
Die "schiefen Asymptoten" sind hier waagrechte Asymptoten.
Diese erhältst Du hier, wenn Du das Verhalten der Funktion
für [mm]x \to \pm \infty[/mm] untersuchst.
>
> aber mein problem ist wie komm ich jetzt auf die ?
Untersuche hier also:
[mm]\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
und
[mm]\limes_{ x \rightarrow -\infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok aber nur damit ichs verstehe Wie kommst du auf
[mm] \bruch{x+3}{x^{2}-9}
[/mm]
das versteh ich glaub ich irgendwie
> [mm]\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{ x \rightarrow -\infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
und noch eine blöde Frage was mach ich dann? oder ist das schon die asymptote und ich muss nur mehr für x Werte einsetzten und bekomm dann die y Werte?
Tut mir leid das ich mich hier etwas blöd anstelle aber ich hab dazu keine Aufzeichnungen und hab soetwas noch nie gerechnet!
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Hallo Laura_88,
> ok aber nur damit ichs verstehe Wie kommst du auf
>
> [mm]\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
>
Das ist doch das Beispiel.
> das versteh ich glaub ich irgendwie
> > [mm]\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\limes_{ x \rightarrow -\infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}[/mm]
>
> und noch eine blöde Frage was mach ich dann? oder ist das
> schon die asymptote und ich muss nur mehr für x Werte
> einsetzten und bekomm dann die y Werte?
Nun, für [mm] x\not= -3[/mm] kannst Du das kürzen:
[mm]\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x+3}{x^{2}-9}=\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x+3}{\left(x+3\right)*\left(x-3\right)}=\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{1}{x-3}[/mm]
Und das geht für [mm]x \to \infty[/mm] gegen ... .
>
> Tut mir leid das ich mich hier etwas blöd anstelle aber
> ich hab dazu keine Aufzeichnungen und hab soetwas noch nie
> gerechnet!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok jetzt weiß ich woher du das hast! das ist ein Übungsbsp. welches mir ein Mitglied gegeben hat um mir das mit den Polstellen zu erklären!
Also wenn ich das richtig verstehe ist das einfach die ausgangsfunktion die bei mir :
f: y = [mm] \bruch{x^3}{x^2 -3 } [/mm] lautet.
also gehe ich jetzt von dem aus oder ?
$ [mm] \limes_{ x \rightarrow -\infty}\bruch{x^3}{x^{2}-3} [/mm] $
$ [mm] \limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x^3}{x^{2}-3} [/mm] $
und jetzt wäre es super wenn mir wieder jemand weiterhelfen könnte! Wie gesagt das ist Neuland für mich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mo 04.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Laura,
mir ist langsam nicht mehr klar, was genau Du wissen willst, und ich habe keine Lust, den ganzen langen Thread noch einmal zu lesen.
> ok jetzt weiß ich woher du das hast! das ist ein
> Übungsbsp. welches mir ein Mitglied gegeben hat um mir das
> mit den Polstellen zu erklären!
Ja, genau.
> Also wenn ich das richtig verstehe ist das einfach die
> ausgangsfunktion die bei mir :
>
> f: y = [mm]\bruch{x^3}{x^2 -3 }[/mm] lautet.
>
>
> also gehe ich jetzt von dem aus oder ?
>
> [mm]\limes_{ x \rightarrow -\infty}\bruch{x^3}{x^{2}-3}[/mm]
>
> [mm]\limes_{ x \rightarrow \infty}\bruch{x^3}{x^{2}-3}[/mm]
Ja, und wo willst Du jetzt hin? Willst Du wissen, wie man die beiden Grenzwerte bestimmt? Dass der erste [mm] -\infty [/mm] und der zweite [mm] +\infty [/mm] ist, weißt Du wahrscheinlich schon.
> und jetzt wäre es super wenn mir wieder jemand
> weiterhelfen könnte! Wie gesagt das ist Neuland für mich!
Frag mal präzise, dann kriegst Du auch bestimmt eine Antwort.
Gruß
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich möchte die Asymptoten zu meiner funktion finden.
ja kann ich verstehen das du nicht alles lesen willst! Für mich selbst ist das ganzen schon unübersichtlich!
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Ah, ok.
Dann geh ich mal zu der anderen Frage zurück...
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Hallo nochmal,
Asymptoten sind Geraden, für andere Annäherungen wird der Begriff nicht verwendet. Deine Funktion hat im Unendlichen in beide Richtungen die Asymptote y=x.
Nun willst Du wissen, wie man das findet...
Bei den meisten Funktionen, die Dir an der Schule begegnen, werden die Asymptoten parallel zur x-Achse liegen. Das ist dann der Fall, wenn die betrachtete Funktion gegen einen Grenzwert läuft. Für [mm] y=e^x [/mm] ist z.B. die x-Achse selbst eine Asymptote, nämlich für das Funktionsverhalten gegen [mm] -\infty. [/mm] Der Funktionswert wird immer kleiner, erreicht aber nie Null.
Da Deine Funktion aber in beide Richtungen über alle Grenzen groß wird, kommt ein solcher Grenzwert nicht in Frage.
Die Asymptote(n) kann also nur die Form y=ax+b haben.
Da Deine Funktion eine gebrochen rationale ist, also aus einem Bruch besteht, bei dem im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom steht, ist der erste Test folgender: nur wenn das Zählerpolynom genau einen Grad höher hat als das Nennerpolynom, gibt es eine schräge Asymptote.
Man findet sie, indem man die Funktion wie folgt umschreibt. Dazu braucht man u.U. Polynomdivision:
[mm] f(x)=\bruch{x^3}{x^2-3}=x*\bruch{x^2}{x^2-3}=x*\bruch{1}{1-\bruch{3}{x^2}}
[/mm]
Im ersten Schritt ist ein x herausgezogen, damit der Bruch in Zähler und Nenner ein Polynom gleichen Grades hat, im zweiten Schritt ist der Bruch durch die höchste auftauchende Potenz (nur noch [mm] x^2 [/mm] also) gekürzt worden.
Jetzt siehst Du die Lösung wahrscheinlich sofort.
Läuft x gegen [mm] +\infty, [/mm] so wird der Bruch bedeutungslos, und Deine Funktion verhält sich ziemlich genauso wie y=x. Für x [mm] \to -\infty [/mm] ergibt sich hier das gleiche.
Jetzt klarer?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
so wirklich klar ist mir das nicht!
was mach ich z.b bei einer funktion [mm] x^3 [/mm] * [mm] 2x^2 [/mm] + x ? wie find ich da die asymptote!
aber jetzt zu diesem bsp. > Hallo nochmal,
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{x^2-3}=x*\bruch{x^2}{x^2-3}=x*\bruch{1}{1-\bruch{3}{x^2}}[/mm]
ist das quasi dann (der letzte Teil) meine asymptote ? und wenn ich hier einsetzte für x bekomm ich dann die y Werte so dass ich die Asymptote zeichen kann? und wenn nicht wie komm ich dann auf das?
> Jetzt siehst Du die Lösung wahrscheinlich sofort.
> Läuft x gegen [mm]+\infty,[/mm] so wird der Bruch bedeutungslos,
> und Deine Funktion verhält sich ziemlich genauso wie y=x.
> Für x [mm]\to -\infty[/mm] ergibt sich hier das gleiche.
hab da jetzt einfach mal ein par werte für x eingesetzt und hab das auch so weit verstanden das der Bruch immer bedeutungsloser wird aber was sie Lösung ist weiß ich nicht bzw. weiß ich nicht ob das hier dann einfach der beweiß ist dass das die Asympote ist?!
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Hallo,
> so wirklich klar ist mir das nicht!
> was mach ich z.b bei einer funktion [mm]x^3[/mm] * [mm]2x^2[/mm] + x ? wie
> find ich da die asymptote!
Gar nicht!
Ganzrationale Funktionen haben keine Asymptoten, die "hauen" für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] "ab".
>
> aber jetzt zu diesem bsp. > Hallo nochmal,
>
>
> >
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{x^2-3}=x*\bruch{x^2}{x^2-3}=x*\bruch{1}{1-\bruch{3}{x^2}}[/mm]
>
> ist das quasi dann (der letzte Teil) meine asymptote ? und
> wenn ich hier einsetzte für x bekomm ich dann die y Werte
> so dass ich die Asymptote zeichen kann? und wenn nicht wie
> komm ich dann auf das?
Nein, die Asymptote ist doch der ganzrationale Teil des Ergebnisses der Polynomdivision:
[mm] $x^3:(x^2-3)=x+\frac{3x}{x^2-3}$
[/mm]
Der ganzrationale Anteil ist x, der gebrochene Anteil [mm] $\frac{3x}{x^2-3}$ [/mm] strebt für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen 0, spielt also für betragsmäßig riesengroße x keine Rolle.
Die Asymptote ist die Gerade $y=x$
Der Graph der Funktion [mm] $f(x)=\frac{x^3}{x^2-9}$ [/mm] schmiegt sich für betraglich sehr sehr große x beiebig nahe an die Gerade $y=x$, also die 1.Winkelhalbierende an.
Lade dir mal das kostenlose Programm "Funkyplot" runter und lasse dir den Graphen mal plotten!
Aber das steht - wie ich gerade sehe - alles fast wörtlich in der anderen von dir zitierten Antwort.
Du hast sie also nicht (aufmerksam) gelesen.
Wie soll man dir da helfen??
>
> > Jetzt siehst Du die Lösung wahrscheinlich sofort.
> > Läuft x gegen [mm]+\infty,[/mm] so wird der Bruch bedeutungslos,
> > und Deine Funktion verhält sich ziemlich genauso wie y=x.
> > Für x [mm]\to -\infty[/mm] ergibt sich hier das gleiche.
>
> hab da jetzt einfach mal ein par werte für x eingesetzt
> und hab das auch so weit verstanden das der Bruch immer
> bedeutungsloser wird aber was sie Lösung ist weiß ich
> nicht bzw. weiß ich nicht ob das hier dann einfach der
> beweiß ist dass das die Asympote ist?!
Das heißt nicht Beweiß, Mensch!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
wie schon mal gesagt ich kenn mich mit Asyptoten überhaupt nicht aus!
Also ist meine Asymptote der 1. Median also x = y verstehe ich das richtig? und das überprüfe ich quasi indem ich meine funktion gegen -/+ unendlich laufen lasse und diese schneiden sich nie ?
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Hallo Laura_88,
> wie schon mal gesagt ich kenn mich mit Asyptoten überhaupt
> nicht aus!
> Also ist meine Asymptote der 1. Median also x = y verstehe
Schreib das besser so: y=x
> ich das richtig? und das überprüfe ich quasi indem ich
Ja, das verstehst Du richtig.
> meine funktion gegen -/+ unendlich laufen lasse und diese
> schneiden sich nie ?
>
Wenn Du x gegen [mm]\pm \infty[/mm] laufen lässt,
dann nähert sich die Funktion immer mehr der Asymptoten y=x an.
Im Unendlichen verhält sich diese Funktion demnach wie eine Gerade.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 05.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok ich hoffe ich verstehe das jetzt!
ich hab noch eine Frage: Weiß jemand von euch ob man bei der münlichen Mathe Matura Monotonie und Krümmung rechnerisch ermitteln können muss oder einfach aus der Zeichung "rauslesen" kann.
wenn ja, kann mir das jemand erklären wie das geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 05.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey...
gymnasium?...welches bundesland?...
frag am besten deinen lehrer...
> Weiß jemand von euch ob man bei
> der münlichen Mathe Matura Monotonie und Krümmung
> rechnerisch ermitteln können muss oder einfach aus der
> Zeichung "rauslesen" kann.
> wenn ja, kann mir das jemand erklären wie das geht?
monotonie bekommst du mit der ersten ableitung (anstieg) herraus.
du rechnest dir die erste ableitung aus und kuckst sie dir an, für welche werte für x sie kleiner 0 bzw größer null ist.
Jan
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Hallo,
> aber eins noch zu den polstellen! müsste mir das dann
> nicht auffallen wenn ich mir eine Wertetabelle mache das es
> für x= 3 einen y wert gibt? denn so wie ich das verstehe
> gibt es ja dann für x= -3 keinen Wert? !
Stimmt, für x=-3 ist kein Funktionswert definiert.
Trotzdem hast du in Deiner Wertetabelle für x=3 auch keinen Wert, weil in der anfangs vorliegenden Form da ja eine Definitionslücke ist. Zur Berechnung des Funktionswerts müsstest Du ja an dieser Stelle Null durch Null teilen.
Einen Wert vorliegen hast Du da erst dann, wenn Du die Definitionslücke "gestopft" hast, also nur noch $ [mm] \tilde{g}(x)=\frac{1}{x-3} [/mm] $ betrachtest.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok danke für die Erklärung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 04.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey..
> oh sorry hab ich vergessen! Ein Wendepunkt liegt bei (0/0)
>
> ich hab mir das jetzt so überlegt :
>
> ich habe ja : [mm]x^2[/mm] = -9 / *-1
>
> dann hab ich ja [mm]-x^2[/mm] = 9 und jetzt zieh ich die Wurzel
> bekomme ich -x = 3 so und jetzt rechne ich wieder mal -1
> und komme dann auf x = -3
setze doch bidde mal dieses ergebnis in deine ausgangsgleichung ein...
> Stimmt das ?
nein, leider nicht, weil auf diese art und weise kannst du keine gleichung lösen...
JAn
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Auch wenn es mich etwas erstaunt, wie Du auf diese Darstellung mit zwei Brüchen kommst.
Quotientenregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
(3/4,5)![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Das ist seelische (zumindest aber mathematische) Grausamkeit.
