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Funktion durch Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Mo 13.10.2014
Autor: heiser16

Aufgabe
Bestimme die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion mit dem Scheitelpunkt S, deren Graph durch P verläuft. Verwende hierzu die Eigenschaft der ersten Ableitung im Scheitelpunkt.
S (1/4)   P (0/5)


Ich weiß, dass ich f(x)= [mm] ax^2+bx+c [/mm] brauche um diese Aufgabe zu berechnen. Mich verwirrt es aber, dass nur zwei Punkte angegeben sind. Mit drei Punkten schaffe ich es, aber nicht mit zwei. Das der Scheitelpunkt angegeben ist verwirrt mich auch.
Ich glaube so etwas brauche ich auch: S Element G(f) -> f(1)=4

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mo 13.10.2014
Autor: Ladon

Hallo Heiser16,

willkommen im Forum!
Der Ansatz ist schon mal richtig. Du nutzt [mm] f(x)=ax^2+bx+c. [/mm]
$P(0|5)$ gibt dir den Wert von $c$. Erkennst du warum?
Anschließend leitest du $f(x)$ ab. Die Steigung der Tangente am Graphen im Scheitelpunkt ist gleich Null. Was gilt also für $f'(1)$?
Wenn du diese Frage beantworten kannst erhälst du eine Gleichung.
Eine weitere Gleichung erhälst du, indem du den Scheitelpunkt $S(1|4)$ in die Funktion $f$ einsetzt. Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten (a und b). Das solltest du lösen können :-)

MfG
Ladon

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Funktion durch Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mo 13.10.2014
Autor: heiser16

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort :)
Nur verstehe ich nicht genau, was du hiermit meinst: Die Steigung der Tangente am Graphen im Scheitelpunkt ist gleich Null. Was gilt also für f'(1)?

Bezug
                        
Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mo 13.10.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für deine Antwort :)
>  Nur verstehe ich nicht genau, was du hiermit meinst: Die
> Steigung der Tangente am Graphen im Scheitelpunkt ist
> gleich Null. Was gilt also für f'(1)?

Es gilt f'(1)=0

FRED


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Funktion durch Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 13.10.2014
Autor: heiser16

Danke für die Hilfe von euch allen :)
Ich habe als Gleichung f(x)= [mm] -4x^2+3x+5 [/mm] raus bekommen.
Ist das richtig?

Danke im voraus :)

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Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Mo 13.10.2014
Autor: Steffi21

Hallo, deine Funktion ist nicht korrekt, du hast

(1) c=5 folgt aus P(0;5)
(2) 0=2a+b folgt aus f'(1)=0
(3) 4=a+b+c folgt aus S(1;4)

löse nun das Gleichungssystem

Steffi

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Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 14.10.2014
Autor: heiser16

Ist die Funktion [mm] f(x)=x^2-2x+5 [/mm] richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Di 14.10.2014
Autor: fred97


> Ist die Funktion [mm]f(x)=x^2-2x+5[/mm] richtig?

Mach doch die Probe, dann kannst Du Dir diese Frage selbst beantworten.

Ist f(1)=4 ?

Ist f'(1)=0 ?

Ist f(0)=5 ?


Bei dreimal "ja" bist Du im Recall.

FRED

Bezug
                                                        
Bezug
Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Mi 15.10.2014
Autor: fred97


> Ist die Funktion [mm]f(x)=x^2-2x+5[/mm] richtig?

Noch eine Möglichkeit, das zu prüfen:

[mm] $f(x)=x^2-2x+1+4=(x-1)^2+4$ [/mm]

FRED


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Funktion durch Scheitelpunkt: Scheitelpunktform
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Mo 13.10.2014
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimme die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion
> mit dem Scheitelpunkt S, deren Graph durch P verläuft.
> Verwende hierzu die Eigenschaft der ersten Ableitung im
> Scheitelpunkt.
> S (1/4) P (0/5)
> Ich weiß, dass ich f(x)= [mm]ax^2+bx+c[/mm] brauche um diese
> Aufgabe zu berechnen. Mich verwirrt es aber, dass nur zwei
> Punkte angegeben sind.

Der Scheitelpunkt hat aber zwei Eigenschaften, er ist nämlich auch noch ein Extrempunkt. Daher ist die erste Ableitung dort Null

> Mit drei Punkten schaffe ich es,
> aber nicht mit zwei. Das der Scheitelpunkt angegeben ist
> verwirrt mich auch.

Du könntest hier auch direkt mit der Scheitelpunktform beginnt, diese sollte aus der 8. oder 9. Klasse noch bekannt sein.
Die Parabelgleichung in eben dieser Scheitelpunktform lautet [mm] f(x)=a\cdot(x-x_{s})^{2}+y_{s} [/mm]
Dort kannst du den Scheitelpunkt S(1|4) direkt einsetzen, und bekommst hier:
[mm] f(x)=a\cdot(x-1)^{2}+4 [/mm]

Nun kannst du noch die Koordinaten von P einsetzen, um den fehleden Parameter a zu bestimmen.
Dass dieser Parameter a derselbe ist, wie bei [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] ist gewollt, denn es ist derselbe Wert.


> Ich glaube so etwas brauche ich auch: S Element G(f) ->
> f(1)=4

Lies dir mal die []Steckbriefaufgaben-Übersetzung von Ina Brabandt durch.

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Marius

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Funktion durch Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Mo 13.10.2014
Autor: fred97

Ohne Ableitung:  $f(x)=  [mm] ax^2+bx+c [/mm] $.

f(1)=4, f(0)=5 und weil S Scheitelpunkt ist: f(2)=5.

FRED



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