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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Funktion durch eine Matrix
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Funktion durch eine Matrix: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mi 19.06.2013
Autor: Redenwirmaldarueber

Aufgabe
<br>
[mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]  [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]


a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 

 


Guten Abend,
wie muss ich vorgehen?
Ich habe leider garkeine Idee.
Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr dankbar.

Gruß Redenwirmaldarüber



 

        
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mi 19.06.2013
Autor: fred97


> <br>
>  [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] 
> [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
>  
>
> a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 
>  
>  
>  
> Guten Abend,
>  wie muss ich vorgehen?
>  Ich habe leider garkeine Idee.
>  Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr
> dankbar.
>  
> Gruß Redenwirmaldarüber
>  
>
>
>  

Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl. der Standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm]

Sagt Dir das was ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:07 Mi 19.06.2013
Autor: Redenwirmaldarueber


> > <br>
> > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] 
> > [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
> >
> >
> > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 
> >
> >  
> >
> > Guten Abend,
> > wie muss ich vorgehen?
> > Ich habe leider garkeine Idee.
> > Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr
> > dankbar.
> >
> > Gruß Redenwirmaldarüber
> >
> >
> >
> >  
> Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl. der
> Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm]

>

> Sagt Dir das was ?

Nein da klingelt es gerade garnicht. :(

Bezug
                        
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mi 19.06.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> > > <br>
>  > > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] 

>  
> > > [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
>  > >

>  > >

>  > > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 

>  > >

>  > >  

>  > >

>  > > Guten Abend,

>  > > wie muss ich vorgehen?

>  > > Ich habe leider garkeine Idee.

>  > > Für einen Schubs in die Richtige Richtung wäre sehr

>  > > dankbar.

>  > >

>  > > Gruß Redenwirmaldarüber

>  > >

>  > >

>  > >

>  > >  

>  > Gesucht ist die zu f gehörende Abbildungsmatrix bezgl.

> der
>  > Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm]

>  >
>  > Sagt Dir das was ?

>  
> Nein da klingelt es gerade garnicht. :(

wenn es nicht klingelt, dann solltest Du Deine Unterlagen durchstöbern.
Und schau' auch mal in meine Antwort!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Mi 19.06.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> <br>
>  [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm] 
> [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
>  
>
> a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 
>  
>  
>  
> Guten Abend,
>  wie muss ich vorgehen?
>  Ich habe leider garkeine Idee.

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix

Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind durch Angabe ihrer
Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits eindeutig bestimmt.
Offenbar ist
[mm] $$B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}$$ [/mm]
eine Basis des Definitionsbereichs [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] (Warum?)

Wenn Du den Definitionsbereich [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. dieser Basis auffasst, allerdings
den Zielbereich [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. "der Standardbasis" [mm] $E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,$ [/mm] so kannst
Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben.

Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm] $\IR^3\,:$ [/mm]
Dann sollst Du die zu [mm] $f\,$ [/mm] zugehörige Matrix angeben, wenn Du
$$f [mm] \colon \IR^3_E \to \IR^3_E$$ [/mm]
auffasst.

Tipp: [mm] $f(\vektor{1\\0\\0})$ [/mm] ist ja schon bekannt. Berechne nun auch noch [mm] $f(\vektor{0\\1\\0})$ [/mm] und [mm] $f(\vektor{0\\0\\1})\,,$ [/mm]
indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm] $f\,$ [/mm] ausnutzt! Was hat
das mit der gesuchten Matrix zu tun?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Mi 19.06.2013
Autor: Redenwirmaldarueber

Danke für die Tipps.
Glaube ich habe es verstanden.



> >
> > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]   [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]
> >
> >
> > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 
> >
> >  
> >

> Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind durch
> Angabe ihrer
> Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits
> eindeutig bestimmt.
> Offenbar ist

>

> [mm]B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}[/mm]
> eine Basis des Definitionsbereichs [mm]\IR^3\,.[/mm] (Warum?)

>

> Wenn Du den Definitionsbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. dieser Basis
> auffasst, allerdings
> den Zielbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. "der Standardbasis"
> [mm]E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,[/mm]
> so kannst
> Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben

>

> Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm]\IR^3\,:[/mm]
> Dann sollst Du die zu [mm]f\,[/mm] zugehörige Matrix angeben, wenn
> Du
> [mm]f \colon \IR^3_E \to \IR^3_E[/mm]
> auffasst.

>

> Tipp: [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] ist ja schon bekannt. Berechne
> nun auch noch [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] und
> [mm]f(\vektor{0\\0\\1})\,,[/mm]
> indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm]f\,[/mm]
> ausnutzt! Was hat
> das mit der gesuchten Matrix zu tun?


Wie du geschrieben hast ist [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] bekannt.
Ich nenn es mal b1, also  [mm]b_1 = f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) =^L \vektor{4\\-1\\0} [/mm]



Um [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] zu erreichen rechne ich [mm]f(\vektor{1\\1\\0}) - f(\vektor{1\\0\\0})[/mm]

Dank der Linerität also auch b2 = [mm]\vektor{5\\-1\\4} - \vektor{4\\-1\\0} = \vektor{1\\0\\4}[/mm]


[mm]b_3 = f(\vektor{1\\1\\1}) - f(\vektor{1\\1\\1}) =^L \vektor{7\\2\\4} - \vektor{5\\-1\\4} = \vektor{2\\3\\0}[/mm]

Somit wäre die Matrix [mm]\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 } [/mm]!

Wenn mir jetzt noch einer sagt es stimmt und meine Gedanken dahinter richtig sind, dann bin ich Happy!

 

Bezug
                        
Bezug
Funktion durch eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 Do 20.06.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für die Tipps.
>  Glaube ich habe es verstanden.
>  
>
>
> > >
>  > > [mm]Lineare Funktion:[/mm] [mm]f (\vektor{1\\ 0\\0}) = \vektor{4\\-1\\0}[/mm] [mm]f (\vektor{1\\1\\0}) = \vektor{5\\-1\\4}[/mm]   [mm]f (\vektor{1\\1\\1}) = \vektor{7\\2\\4}[/mm]

>  
> > >
>  > >

>  > > a) Stellen Sie die Funktion durch eine Matrix dar. 

>  > >

>  > >  

>  > >

>  
> > Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind
> durch
>  > Angabe ihrer

>  > Werte bzgl. einer Basis des Definitionsbereichs bereits

>  > eindeutig bestimmt.

>  > Offenbar ist

>  >
>  >

> [mm]B:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{1\\1\\0},\;\vektor{1\\1\\1}\right\}[/mm]
>  > eine Basis des Definitionsbereichs [mm]\IR^3\,.[/mm] (Warum?)

>  >
>  > Wenn Du den Definitionsbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. dieser Basis

>  > auffasst, allerdings

>  > den Zielbereich [mm]\IR^3[/mm] bzgl. "der Standardbasis"

>  >

> [mm]E:=\left\{\vektor{1\\0\\0},\;\vektor{0\\1\\0},\;\vektor{0\\0\\1}\right\}\,,[/mm]
>  > so kannst

>  > Du die entsprechende Matrix direkt hinschreiben

>  
> >
>  > Schreiben wir mal die Basis als Index an den [mm]\IR^3\,:[/mm]

>  > Dann sollst Du die zu [mm]f\,[/mm] zugehörige Matrix angeben,

> wenn
>  > Du

>  > [mm]f \colon \IR^3_E \to \IR^3_E[/mm]

>  > auffasst.

>  >
>  > Tipp: [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] ist ja schon bekannt.

> Berechne
>  > nun auch noch [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] und

>  > [mm]f(\vektor{0\\0\\1})\,,[/mm]

>  > indem Du neben obigen Vorgaben die Linearität von [mm]f\,[/mm]

>  > ausnutzt! Was hat

>  > das mit der gesuchten Matrix zu tun?

>  
>
> Wie du geschrieben hast ist [mm]f(\vektor{1\\0\\0})[/mm] bekannt.
>  Ich nenn es mal b1, also  [mm]b_1 = f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0}) =^L \vektor{4\\-1\\0}[/mm]

eine sehr eigene Notation, aber okay: Rechts haben wir die erste Spalte
der Matrix stehen, die zu obiger Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (bzgl. der Standardbasis)
gehört.

>
>
> Um [mm]f(\vektor{0\\1\\0})[/mm] zu erreichen rechne
> ich [mm]f(\vektor{1\\1\\0}) - f(\vektor{1\\0\\0})[/mm]

Genau: Allgemein würdest Du erst eine Linearkombination [mm] $r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0}$ [/mm]
aufstellen und dort [mm] $r,s,t\,$ [/mm] berechnen und damit weiterarbeiten. Natürlich
wird dann [mm] $r=-1\,,$ $s=1\,$ [/mm] und [mm] $t=0\,$ [/mm] rauskommen.
  

> Dank der Linerität also auch b2 = [mm]\vektor{5\\-1\\4} - \vektor{4\\-1\\0} = \vektor{1\\0\\4}[/mm]

[ok]
  

>
> [mm]b_3 = f(\vektor{1\\1\\1}) - f(\vektor{1\\1\\\red{1}}) [/mm]

Da hast Du Dich vertippt und meinst anstatt [mm] $\red{\;1\;}$ [/mm] einfach 0.

> [mm]=^L \vektor{7\\2\\4} - \vektor{5\\-1\\4} = \vektor{2\\3\\0}[/mm]
>  
> Somit wäre die Matrix [mm]\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 } [/mm]!
>  
> Wenn mir jetzt noch einer sagt es stimmt und meine Gedanken
> dahinter richtig sind, dann bin ich Happy!

Das sieht doch sehr gut aus. [ok]

Du kannst es aber auch nochmal selbst testen:
Berechne mal

    (1.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\0\\0}\,,$ [/mm]

    (2.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\1\\0}\,,$ [/mm]

    (3.) [mm] $\pmat{ 4&1&2 \\ -1&0&3\\0&4&0 }*\vektor{1\\1\\1}\,.$ [/mm]

Du weißt doch, was jeweils rauskommen soll!

(Das wäre übrigens auch ein möglicher Ansatz gewesen, um die $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix
konkret auszurechnen - quasi mehr "Holzhammermethodenmäßig"!)

Fazit: Alles richtig gemacht! :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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