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Ich suche f:R_+ [mm] \to [/mm] [0,1] mit
f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2)
Weiss nicht wie man das loesen soll, obwohl es so einfach aussieht.
Als Randbedinungen habe ich nur Bild(f) = [0,1]
Wie geht das? Kommt aus einem privaten Problem, daher keine Aufgabenstellung und auck kA was fuer ein Typ von Problem das ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du wirst die Voraussetzungen abschwächen müssen.
Wenn f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2) für alle [mm] x,y\in\IR^+ [/mm] gelten soll und außerdem 0 im Bildbereich von f liegen soll, dann gibt es ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=0.
[/mm]
Dann wird weiter [mm] \bruch{f(x_0)}{f(y)}=0=\bruch{y+2}{x_0+2}.
[/mm]
Da aber y=-2 nicht im Definitionsbereich von f liegt, sehe ich schwarz.
Gruß Sax.
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Ah ja, sehr gut bemerkt.
Bild ist auch genauer (0,1], f(x) = 0 sollte erst im limit x [mm] \to \inf [/mm] errreicht werden
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> Ich suche f:R_+ [mm]\to[/mm] [0,1] mit
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> f(x) / f(y) = (y+2) / (x+2)
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> Weiss nicht wie man das loesen soll, obwohl es so einfach
> aussieht.
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> Als Randbedinungen habe ich nur Bild(f) = [0,1]
>
> Wie geht das? Kommt aus einem privaten Problem, daher keine
> Aufgabenstellung und auck kA was fuer ein Typ von Problem
> das ist.
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
probier's doch mal mit $\ f(x)\ =\ [mm] \frac{786779}{x+2}$ [/mm] !
Und dann kannst du versuchen, den Zähler so anzupassen,
dass die Werte auch in den vorgegebenen Zielbereich zu
liegen kommen ... 
LG
Al-Chwarizmi
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Yo so einfach ist das wohl. Danke dir! Kann man hier Karma geben oder sowas?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 So 13.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Eine Funktion f: [mm] \IR^+ \to \IR [/mm] mit
f(x)(x+2)=f(y)(y+2) für alle x,y >0
und
Bild(f)=(0,1]
gibt es nicht !
Annahme: es gibt eine solche Funktion. Mit y=1 folgt
f(x)(x+2)=3f(1)
f ist also von der Form
[mm] f(x)=\bruch{a}{x+2} [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0.
Es muss a>0 sein (anderenfalls wäre Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] ( - [mm] \infty,0)).
[/mm]
Dann ist f streng fallend. Wegen 1 [mm] \in [/mm] Bild(f), gibt es ein [mm] x_0>0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=1.
[/mm]
Ist nun 0<z< [mm] x_0, [/mm] so ist
[mm] f(z)>f(x_0)=1.
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch zu Bild(f)=(0,1].
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 14.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Bemerkung:
ist $f: [mm] \IR^+ \to \IR [/mm] $ eine Funktion mit
f(x)(x+2)=f(y)(y+2) für alle x,y >0,
so haben wir gesehen, dass f von der Form $ [mm] f(x)=\bruch{a}{x+2} [/mm] $ ist.
Fall 1: a=0. Dann ist [mm] Bild(f)=\{0\}.
[/mm]
Fall 2: a>0. Dann ist Bild(f)=(0, [mm] \bruch{a}{2})
[/mm]
Fall 3: a<0. Dann ist [mm] Bild(f)=(\bruch{a}{2}, [/mm] 0).
Bild(f) ist also niemals ein halboffenes Intervall.
FRED
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