Funktion für Rechteckformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Wir sind gerade daran verschiedene Methoden zu untersuchen, um Integrale approximieren zu können. Eine davon ist ja die Rechteckmethode. Ich habe folgende Abschätzung für eine Funktion [mm] $f:[a,b]^d\to \mathbb{R}$ [/mm] geht:
[mm] $$|R^n(f)-\int_{[a,b]^d}f(x)dx|\le (b-a)^{d+\alpha}\frac{\|f\|_{C^{0,\alpha}}}{n^\alpha}$$
[/mm]
wobei [mm] $\|\cdot\|_{C^{0,\alpha}}$ [/mm] für die Höldernorm steht. Nun soll ich eine unendlich differenzierbare Funktion finden, so dass dieser Ausdruck mit der Rate $1$ konvergiert.
Meine erste Frage: Rate $1$ bedeutet doch hier nur, dass [mm] $\alpha=1$ [/mm] sein muss?
Wenn ja, dann weiss ich, dass der Hölderraum für [mm] $\alpha=1$ [/mm] gerade der Raum der lipschitzstetigen Funktionen ist. Mein Problem stellt die Dimension dar. Für $d=1$ glaube ich eine Lösung zu haben, nämlich einfach $f(x)=x$. Dies ist lipschitz, somit konvergiert das ganze mit Rate $1$. Aber wie soll ich denn das für ein allgemeines $d$ machen?
Danke für die Hilfe
Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 23.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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