Funktion gegeben, a bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Graph der Funktion [mm]f(x) = -a^2x^2 + 2[/mm] schließt im 1. Quadranten mit dem Achsen eine Fläche mit der Maßzahl [mm]\bruch{16}{3}[/mm] ein. Wie groß ist a? |
Ist meine Lösung so korrekt?
1. Nullstellen der Funktion ermitteln
[mm]-a^2x^2+2 = 0[/mm]
[mm]-a^2x^2 = -2[/mm]
[mm]x^2 = \bruch{2}{a^2}[/mm]
[mm]x = \pm\bruch{2}{a}[/mm]
2. Stammfunktion bilden
[mm]f(x) = -\bruch{1}{3}a^2x^3 + 2x[/mm]
3. Integral berechnen
[mm]\integral_{0}^{\bruch{2}{a}}{f(x) dx} = [ -\bruch{1}{3}a^2x^3 + 2x][/mm]
[mm]-\bruch{1}{3}a^2*(\bruch{2}{a})^3+2*\bruch{2}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{1}{3}a^2*\bruch{2}{a^3}+2\bruch{2}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{\bruch{2}{3}}{a}+2\bruch{2}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{\bruch{2}{3}}{a}+\bruch{4}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]\bruch{3\bruch{1}{3}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]3\bruch{1}{3} = \bruch{16}{3}a[/mm]
[mm]\bruch{5}{8} = a[/mm]
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Hallo,
deine Vorgehensweise inkl. Stammfunktion ist schon richtig. Leider ist dir ein (Flüchtigkeits-)Fehler passiert: prüfe nochmal genau das Resultat bei der Nullstelle, das stimmt so nicht.
Du musst das Problem bei der Wurzel packen. 
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant!
Danke für Deine Hilfe.
Du hast Recht: die Nullstellen liegen bei [mm]\pm\bruch{\wurzel{2}}{a}[/mm]
Wenn ich das nochmals mit dieser Nullstelle durchrechne, dann komme ich auf:
[...]
[mm]-\bruch{0,47}{a} + \bruch{2,83}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
a = 0,4425
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Hallo,
rechne hier nicht mit Dezimalzahlen, sondern exakt (im Rahmen einer Klassenarbeit oder auch Prüfung gibt es sonst mit ziemlicher Sicherheit Punktabzug). Ich bekomme ein anderes Ergebnis, welches auch nicht durch Rundungsfehler zu erklären ist.
Wenn du deine Rechnung angeben könntest, so könnten wir auf Fehlersuche gehen. 
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant!
Danke für Deine Bemühungen.
Dann lasse ich [mm]\wurzel{2}[/mm] mal unberührt und rechne das nochmal — inlusive aller Zwischenschritte:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{2}}{a}}{f(x) dx} = [-\bruch{1}{3}a^2x^3+2x][/mm]
[mm]-\bruch{1}{3}a^2 * (\bruch{\wurzel{2}}{a})^3 + 2 * (\bruch{\wurzel{2}}{a}) = \bruch{16}{3}[/mm]
Jetzt kümmere ich mich erst einmal um den Teil vor dem Pluszeichen:
[mm]-\bruch{1}{3}a^2 * \bruch{\wurzel{2}}{a^3} = -\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a^3} * a^2[/mm]
Wenn ich den Nenner nun durch [mm]a^2[/mm] dividiere, bin ich alle Potenzen los:
[mm]-(\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a^3}) : a^2 = -\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a}[/mm]
Jetzt kümmere ich auch wieder um den Rest der Gleichung:
[mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + \bruch{2 * \wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
Nun bringe ich beide Brüche auf den selben Nenner:
[mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + \bruch{6 * \wurzel{2}}{3*a} = \bruch{16}{3}[/mm]
Nun rechne ich noch die beiden Zähler zusammen:
[mm]\bruch{5 * \wurzel{2}}{3*a} = \bruch{16}{3}[/mm]
Anschließend teile ich durch 3, da ich ja nur wissen will, wie groß ein a ist:
[mm]\bruch{5 * \wurzel{2}}{a} = 16[/mm]
Nun multipliziere ich mit a ...
[mm]5 * \wurzel{2} = 16a[/mm]
... und teile durch 16:
[mm]\bruch{5}{16} * \wurzel{2} = a[/mm]
Kommt das hin?
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Hallo Apfelchips,
> Hallo Diophant!
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> Danke für Deine Bemühungen.
> Dann lasse ich [mm]\wurzel{2}[/mm] mal unberührt und rechne das
> nochmal — inlusive aller Zwischenschritte:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\wurzel{2}}{a}}{f(x) dx} = [-\bruch{1}{3}a^2x^3+2x][/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{3}a^2 * (\bruch{\wurzel{2}}{a})^3 + 2 * (\bruch{\wurzel{2}}{a}) = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> Jetzt kümmere ich mich erst einmal um den Teil vor dem
> Pluszeichen:
>
> [mm]-\bruch{1}{3}a^2 * \bruch{\wurzel{2}}{a^3} = -\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a^3} * a^2[/mm]
>
Hier stimmt es schon nicht mehr: [mm]\left( \ \wurzel{2} \ \right)^{3}=2*\wurzel{2}[/mm]
> Wenn ich den Nenner nun durch [mm]a^2[/mm] dividiere, bin ich alle
> Potenzen los:
>
> [mm]-(\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a^3}) : a^2 = -\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a}[/mm]
>
> Jetzt kümmere ich auch wieder um den Rest der Gleichung:
>
> [mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + \bruch{2 * \wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> Nun bringe ich beide Brüche auf den selben Nenner:
>
> [mm]-\bruch{1*\wurzel{2}}{3*a} + \bruch{6 * \wurzel{2}}{3*a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> Nun rechne ich noch die beiden Zähler zusammen:
>
> [mm]\bruch{5 * \wurzel{2}}{3*a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> Anschließend teile ich durch 3, da ich ja nur wissen will,
> wie groß ein a ist:
>
> [mm]\bruch{5 * \wurzel{2}}{a} = 16[/mm]
>
> Nun multipliziere ich mit a ...
>
> [mm]5 * \wurzel{2} = 16a[/mm]
>
> ... und teile durch 16:
>
> [mm]\bruch{5}{16} * \wurzel{2} = a[/mm]
>
> Kommt das hin?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo MathePower,
wo genau stimmt es nicht mehr?
Ich kann leider nicht ganz nachvollziehen, wo die von Dir genannte Gleichung herkommt.
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Hallo MathePower,
wo genau stimmt es nicht mehr?
Ich kann leider nicht ganz nachvollziehen, wo die von Dir genannte Gleichung herkommt.
(Ich konnte meine vorigen Beitrag nicht mehr nachträglich in einen Frageartikel umwandeln, weshalb ich diesen neuen erstellen musste. Sorry.)
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HI!
> wo genau stimmt es nicht mehr?
> Ich kann leider nicht ganz nachvollziehen, wo die von Dir
> genannte Gleichung herkommt.
Den Fehler machst du hier:
[mm] -\bruch{1}{3}a^2 \cdot{} (\red{\bruch{\wurzel{2}}{a})^3} + 2 \cdot{} (\bruch{\wurzel{2}}{a}) = \bruch{16}{3} [/mm]
Du möchtest dich mit dem Teil vor dem Pluszeichen beschäftigen und löst das so auf:
[mm] -\bruch{1}{3}a^2 \cdot{} \red{\bruch{\wurzel{2}}{a^3}} = -\bruch{\red{1\cdot{}\wurzel{2}}}{3\cdot{}a^3} \cdot{} a^2[/mm]
Dabei hast du vergessen folgendes zu betrachten:
[mm](\wurzel{2})^3=\wurzel{2}\cdot\wurzel{2}\cdot\wurzel{2}=2\wurzel{2}[/mm]
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Alles klar — ich verstehe. Dann lautet meine neue Lösung:
[mm]-\bruch{1}{3}a^2 * \bruch{2\wurzel{2}}{a^3} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{2\wurzel{2}}{3a} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]\bruch{4\wurzel{2}}{3a} = \bruch{16}{3}[/mm]
[mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2} = a[/mm]
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Hallo Apfelchips,
> Alles klar — ich verstehe. Dann lautet meine neue
> Lösung:
>
> [mm]-\bruch{1}{3}a^2 * \bruch{2\wurzel{2}}{a^3} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2\wurzel{2}}{3a} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4\wurzel{2}}{3a} = \bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2} = a[/mm]
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Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Apfelchips |
Ausgezeichnet.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Sa 17.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Apfelchips,
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> > Alles klar — ich verstehe. Dann lautet meine neue
> > Lösung:
> >
> > [mm]-\bruch{1}{3}a^2 * \bruch{2\wurzel{2}}{a^3} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
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> >
> > [mm]-\bruch{2\wurzel{2}}{3a} + 2\bruch{\wurzel{2}}{a} = \bruch{16}{3}[/mm]
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> >
> > [mm]\bruch{4\wurzel{2}}{3a} = \bruch{16}{3}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{2} = a[/mm]
> >
>
>
> Stimmt.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
die Lösung ist unvollständig. Auch mit [mm] a=$-\bruch{\wurzel{2}}{4}$ [/mm] erhält man den gesuchten Flächeninhalt.
Gruß Abakus
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> Hallo,
> die Lösung ist unvollständig. Auch mit
> a=[mm]-\bruch{\wurzel{2}}{4}[/mm] erhält man den gesuchten
> Flächeninhalt.
Hallo Abakus,
danke für die Ergänzung. Und woran erkennt man das bzw. woran liegt das? Weil die Quadratwurzel immer zu zwei Ergebnissen (+ und -) führt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Sa 17.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
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> > Hallo,
> > die Lösung ist unvollständig. Auch mit
> > a=[mm]-\bruch{\wurzel{2}}{4}[/mm] erhält man den gesuchten
> > Flächeninhalt.
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> Hallo Abakus,
>
> danke für die Ergänzung. Und woran erkennt man das bzw.
> woran liegt das? Weil die Quadratwurzel immer zu zwei
> Ergebnissen (+ und -) führt?
So ist es. Ausserdem ist die Ausgangsfunktion y-Achsensymmetrisch.
Marius
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