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Funktion gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 So 31.07.2011
Autor: rabilein1

Aufgabe
Dieses ist kein normales "Hilfegesuch", sondern eine "Knobelaufgabe"

Eine Funktion f(x) nimmt folgende Werte an:

f(1) = 0
f(2) = 1
f(e) = 1.286183238  (mit e = 2.718281828)
[mm] f(\pi) [/mm] = 1.219513267  (mit [mm] \pi [/mm] = 3.141592654)
f(4) = 0

Eventuell ist es eine Hilfe, noch zu erwähnen, dass die Funktion nur einen einzigen Hochpunkt hat,
keinen Tiefpunkt hat, und dass f'(1) = 1.5 ist

Die Frage ist:
Wie lauten - auf 8 Stellen genau - die Werte für f(3) bzw. für f(3.5) ?

Ich wüsste nicht, wie man diese Aufgabe lösen sollte.

Geht das allein durch mathematisch-logisches Denken? Oder nur durch Probieren? Wie viele Probier-Versuche sind erforderlich? Sind die oben genannten Angaben ausreichend? Oder sind es zu viele Angaben? Oder hätte ich noch ein paar Punkte mehr nennen sollen?

Hey, f(5) = -6.180339888. Das sollte jetzt aber wirklich genügen.

Erst einmal muss man natürlich die Funktion finden. Dann ist die Frage leicht beantwortet.  

        
Bezug
Funktion gesucht: Kriterium: Einfachheit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 So 31.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Dieses ist kein normales "Hilfegesuch", sondern eine
> "Knobelaufgabe"
>  
> Eine Funktion f(x) nimmt folgende Werte an:
>  
> f(1) = 0
>  f(2) = 1
>  f(e) = 1.286183238  (mit e = 2.718281828)
>  [mm]f(\pi)[/mm] = 1.219513267  (mit [mm]\pi[/mm] = 3.141592654)
>  f(4) = 0
>  
> Eventuell ist es eine Hilfe, noch zu erwähnen, dass die
> Funktion nur einen einzigen Hochpunkt hat,
>  keinen Tiefpunkt hat, und dass f'(1) = 1.5 ist
>  
> Die Frage ist:
> Wie lauten - auf 8 Stellen genau - die Werte für f(3) bzw.
> für f(3.5) ?
>  Ich wüsste nicht, wie man diese Aufgabe lösen sollte.
>
> Geht das allein durch mathematisch-logisches Denken? Oder
> nur durch Probieren? Wie viele Probier-Versuche sind
> erforderlich? Sind die oben genannten Angaben ausreichend?
> Oder sind es zu viele Angaben? Oder hätte ich noch ein
> paar Punkte mehr nennen sollen?
>  
> Hey, f(5) = -6.180339888. Das sollte jetzt aber wirklich
> genügen.
>  
> Erst einmal muss man natürlich die Funktion finden. Dann
> ist die Frage leicht beantwortet.


Hallo,

nur durch die Angabe von endlich vielen Funktions- und
Ableitungswerten ist eine Funktion f (z.B. mit Defini-
tionsbereich [mm] \IR) [/mm] niemals eindeutig bestimmt. Es gibt
unendlich viele Lösungsfunktionen.
Was hier aber offenbar gesucht werden soll, ist eine
in nicht näher bestimmten Sinne "einfache" Funktion,
welche die angegebenen Bedingungen erfüllt.

LG   Al-Chw.  


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Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 So 31.07.2011
Autor: rabilein1

Ob es wirklich unendlich viele Lösungsfunktionen gibt, da bin ich mir nicht sicher.

Okay, die Funktion sollte keine Wendepunkte haben, der Graph sollte also nicht hin und her schwanken.
  
Meine Funktion ist insofern relativ 'einfach'. Und daher denke ich, dass die paar Punkte genügen sollten.  

Bezug
                        
Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 So 31.07.2011
Autor: fred97


> Ob es wirklich unendlich viele Lösungsfunktionen gibt, da
> bin ich mir nicht sicher.

Aber ich bin mir sicher.

>
> Okay, die Funktion sollte keine Wendepunkte haben, der
> Graph sollte also nicht hin und her schwanken.
>    
> Meine Funktion ist insofern relativ 'einfach'. Und daher
> denke ich, dass die paar Punkte genügen sollten.  

Das tun sie nicht

Gruß FRED


Bezug
                                
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Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 So 31.07.2011
Autor: rabilein1


> > Ob es wirklich unendlich viele Lösungsfunktionen gibt, da
> > bin ich mir nicht sicher.
>
> Aber ich bin mir sicher.

> > Meine Funktion ist insofern relativ 'einfach'. Und daher
> > denke ich, dass die paar Punkte genügen sollten.  
>
> Das tun sie nicht

  
@ FRED:
Theoretisch hast du natürlich recht. Da ich "nur" zehn Stellen nach dem Komma angegeben habe, könntest du z.B. jede Konstante, die kleiner als  [mm] 10^{-10} [/mm] ist, einfach hinzuaddieren, und hättest damit unendlich viele Lösungsfunktionen.

Aber darum ging es hier doch gar nicht.

Die Funktion ist schon relativ 'einfach'. Und man muss sie nicht künstlich verkomplizieren.


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Bezug
Funktion gesucht: erste Vermutung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 So 31.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Meine Funktion ist insofern relativ 'einfach'. Und daher
> denke ich, dass die paar Punkte genügen sollten.


Hallo Rabilein,

Die geforderte "Einfachheit" ist eben genau der springende
Punkt. Allerdings gibt es auch viele mögliche Arten der
Einfachheit. Weil du uns nicht im Detail verrätst, welche
Art von Einfachheit du meinst, handelt es sich eben wirklich
um eine Knobelaufgabe.
Mir ist mittlerweile ziemlich klar, dass in der gesuchten
Formel ein Quadratwurzelterm vorkommen sollte. Ich
verrate nicht, wie ich auf diese Vermutung gekommen bin
und frage dich nur: ist sie richtig ?

LG   Al    


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Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 So 31.07.2011
Autor: rabilein1


>  Mir ist mittlerweile ziemlich klar, dass in der gesuchten
>  Formel ein Quadratwurzelterm vorkommen sollte. Ich
>  verrate nicht, wie ich auf diese Vermutung gekommen bin
>  und frage dich nur: ist sie richtig ?

Ja. Die (normalerweise nicht ausgeschriebene) ZWEI im Quadratwurzel-Term ist die einzige Zahl, die in der Funktion vorkommt.

Deshalb meinte ich, dass die Funktion einfach sei.


Bezug
        
Bezug
Funktion gesucht: Lösung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 So 31.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo rabilein,

ich habe die Lösung.

Zur Kontrolle:   [mm] $f\left(\frac{1}{\pi}\right)\ \approx [/mm] -2.3000$

Falls du weitere Dezimalen brauchst, liefere ich sie dir gerne ;-)


LG   Al

Bezug
                
Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 So 31.07.2011
Autor: rabilein1


> ich habe die Lösung.
>  
> Zur Kontrolle:   [mm]f\left(\frac{1}{\pi}\right)\ \approx -2.3000[/mm]

Ja, das stimmt.

Wieso hattest du [mm]f\left(\frac{1}{\pi}\right)[/mm] genommen?
Ich hatte in der Aufgabe ja f(3) und f(3.5) genannt, weil ich deren Ergebnisse bereits ermittelt hatte.

Was war ausschlaggebend, um auf die Lösung zu kommen?

Welche anderen (komplizierteren) Funktionen hätte es denn sonst noch gegeben? = Wenn es wirklich so viele Funktionen gibt, auf die alle Eigenschaften zutreffen, dann müsste es ja eigentlich ein Leichtes sein, wenigstens eine von ihnen schnell zu finden.

Bezug
                        
Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 So 31.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > ich habe die Lösung.
>  >  
> > Zur Kontrolle:   [mm]f\left(\frac{1}{\pi}\right)\ \approx -2.3000[/mm]
>  
> Ja, das stimmt.
>
> Wieso hattest du [mm]f\left(\frac{1}{\pi}\right)[/mm] genommen?
> Ich hatte in der Aufgabe ja f(3) und f(3.5) genannt, weil
> ich deren Ergebnisse bereits ermittelt hatte.

Ich wollte doch nicht Ergebnisse vorwegnehmen, welche
von anderen Tüftlern noch gesucht werden ... Ich weiß nicht,
durch welchen Zufall ich gerade auf x=1/π gekommen bin.
Das Ergebnis -2.3000 mit den 3 Nullen hat mich überzeugt,
dass dies eine passende Wahl war ...  

> Was war ausschlaggebend, um auf die Lösung zu kommen?

(das habe ich dir gerade per PN berichtet)

> Welche anderen (komplizierteren) Funktionen hätte es denn
> sonst noch gegeben? = Wenn es wirklich so viele Funktionen
> gibt, auf die alle Eigenschaften zutreffen, dann müsste es
> ja eigentlich ein Leichtes sein, wenigstens eine von ihnen
> schnell zu finden.

Man könnte nun z.B. aus deiner Lösung f(x) weitere Lösungen
der Form
              $\ [mm] g_K(x)\ [/mm] =\ [mm] f(x)\,+\,K*p(x)$ [/mm]

produzieren, wobei

        $\ p(x)\ =\ [mm] (x-1)^2*(x-2)*(x-e)*(x-\pi)*(x-4)*(x-5)$ [/mm]

Alle solchen Funktionen [mm] g_K [/mm] haben an den Stellen 1, 2, e, [mm] \pi [/mm] , 4, 5
denselben Funktionswert und an der Stelle 1 auch die gleiche
erste Ableitung  [mm] {g_K}'(1)=1.5 [/mm]  wie f.

Damit die entstehende Funktion keine weiteren Extremalpunkte
hat (was du ja auch noch erwähnt hattest), sollte der Wert von K
etwa zwischen -0.018 und 0 liegen.

Außer dieser konkreten Schar gibt es aber wahrlich eine unend-
lich vielfältige Menge von Funktionen mit den gewünschten
Eigenschaften. Abgesehen von den paar "Kontrollstellen"
sind sie doch äußerst frei wählbar. Konkrete Beispiele anzu-
geben wäre jedoch bildlich gesprochen etwa analog zur Aufgabe, die
möglichen Bewegungsvorgänge eines Fisches exakt zu beschreiben,
wenn als Fixpunkte nur seine Positionen zu einigen vorgegebenen
Zeitpunkten vorgegeben sind.

LG   Al    


Bezug
                                
Bezug
Funktion gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Mo 01.08.2011
Autor: rabilein1


> Man könnte nun z.B. aus deiner Lösung f(x) weitere Lösungen  der Form
>
> [mm]\ g_K(x)\ =\ f(x)\,+\,K*p(x)[/mm]
>  
> produzieren

Nun sehe ich auch, wieso fred97 darauf kam, dass es unendlich viele Lösungen geben würde.
Aber dass war hier ja nicht der Sinn der Aufgabe. Sondern die Lösung sollte ja so einfach wie möglich aussehen.

Ich hatte am Anfang ganz vergessen zu erwähnen, dass in der Funktion gar keine Zahlen vorkommen.

Ich nahm an, eine Funktion, in der nur Plus, Mal, Minus, Geteilt duch, Wurzel und Potenzen (ohne Zahlen) vorkommen, müsste schnell zu finden sein, weil es da nicht soooo viele Kombinationsmöglichkeiten gibt, wo die angegebenen ganzzahligen Funktionswerte rauskommen


Bezug
                
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Funktion gesucht: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 03.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Funktion gesucht: Noch ein Tipp für Verzweifelte
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Mo 01.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

wer noch einen zusätzlichen Tipp möchte, kann ihn
hier (ziemlich weit unten) finden, falls erwünscht.

Andernfalls bitte "zurück" klicken !

LG   Al-Chwarizmi

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Hinweis:

Falls x eine (natürliche) gerade Zahl oder eine Quadratzahl ist,
so ist f(x) ganzzahlig.

Wichtig für mich war auch dieser Hinweis von rabilein1:

"Die (normalerweise nicht ausgeschriebene) ZWEI im Quadratwurzel-Term
ist die einzige Zahl, die in der Funktion vorkommt."

Man kann den Funktionsterm tatsächlich so hinschreiben, dass
man dabei keine einzige Ziffer aus  [mm] $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm]  braucht.

Viel Erfolg !           [flowers]

   :-)   Al


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Funktion gesucht: und noch ein Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mo 01.08.2011
Autor: rabilein1

Du musstest deinen Tipp doch gar nicht so weit unten verstecken.
Solche Tipps sind sowieso nur für 'Obermathematiker' hilfreich (Ich selbst würde mich nicht dazu zählen, und ich glaube auch nicht, dass der Tipp mir geholfen hätte)

Dann kann ich doch auch noch erwähnen, dass der für Al-Chwarizmi am meisten nützliche Hinweis in dem in meinen Augen eher unscheinbaren Funktionswert

f(5) = -6.180339887    lag  

Diese Zahl scheint manch einem genau so ins Auge zu springen wie für andere die 3.14159... oder 2.718281...

Also: viel Spaß noch beim Rausfinden der Funktion

Bezug
        
Bezug
Funktion gesucht: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 So 07.08.2011
Autor: rabilein1

Bis auf Al-Chwarizmi hat sich ja Niemand an die Lösung dieser Aufgabe ran gemacht. Und inzwischen ist die Zeit abgelaufen.

War es zu schwer?

Die von mir angedachte Lösung war:

f(x) = x - [mm] \bruch{\wurzel{x^{x}}}{x} [/mm]

Da kommt keine einzige Zahl drin vor - nur die vier Grundrechenarten, Potenz und das Quadratwurzelzeichen.


Eine ähnliche Aufgabe [mm] \Rightarrow [/mm] siehe "Grenzfunktion für e gesucht"

Bezug
                
Bezug
Funktion gesucht: Lösungsweg
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:22 So 07.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Die von mir angedachte Lösung war:
>  
> f(x) = x - [mm]\bruch{\wurzel{x^{x}}}{x}[/mm]
>  
> Da kommt keine einzige Zahl drin vor - nur die vier
> Grundrechenarten, Potenz und das Quadratwurzelzeichen.

Hallo,

ich habe die Lösung ein wenig anders geschrieben:

      f(x) = x - [mm]\bruch{\wurzel{x}^{\ x}}{x}[/mm]

Diese Funktion ist (in [mm] \IR) [/mm] nur für positive x definiert, die
andere außerdem für negative ganzzahlige gerade x .


Hier mein Weg zur Lösung:

Das erste wichtige Indiz für mich war tatsächlich neben
der Beobachtung der einfachen ganzzahligen Werte f(1)=0, f(2)=1
und f(4) der Zahlenwert von f(5). Ich bemerkte, dass das mit
der Zahl $ [mm] \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.61803... [/mm] $ zu tun haben musste, und also mit $ [mm] \sqrt{5}. [/mm] $
Da dieser Wert gerade bei x=5 auftritt, schloss ich, dass $ [mm] \sqrt{x} [/mm] $
im Funktionsterm vorkommen musste.
Ferner spürte ich irgendwie, dass die Funktion wohl von der
Form $ \ f(x)=x-g(x) $ sein musste, vielleicht auch $ \ [mm] f(x)=a\cdot{}x-g(x) [/mm] $.
Ein weiterer wichtiger Hinweis war rabileins Hinweis, dass er den
Term für f(x) offenbar ganz ohne Zahlenwerte hinschreiben
konnte. Das schränkte die Auswahl möglicher Funktionen
weiter ein. Insbesondere kam wohl in $ \ [mm] f(x)=a\cdot{}x-g(x) [/mm] $ nur noch
a=1 in Frage. Als ich schließlich noch merkte, dass man
$ [mm] f(5)=5-5\cdot{}\sqrt{5} [/mm] $ auch als

     $ \ [mm] f(5)=5-5^{1.5}=5-5^{2.5-1}=5-5^{\frac{5}{2}-1} [/mm] $

schreiben kann, war ich praktisch am Ziel. Es fehlte nur noch
der Schritt, den Term   $ \ [mm] x-x^{\frac{x}{2}-1} [/mm] $  wirklich so zu schreiben,
dass darin gar keine Zahlen mehr erscheinen:

         $ \ x- [mm] \frac{{\ \sqrt{x}}^{\ x}}{x} [/mm] $

Insgesamt musste ich also schon um etliche Ecken herum
denken, um dem Funktionsterm auf die Spur zu kommen.
Das Einsetzen von $ \ x=e $ und $ \ [mm] x=\pi [/mm] $ diente dann quasi nur
noch der Kontrolle.

LG   Al

Bezug
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