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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:55 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien a,b>0.
Beh.: h: ]-a,a[ [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto -b\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2} [/mm] ist konvex. |
Hallo.
Wäre dankbar, wenn mir hier noch mal jemand helfen könnte (nur zur Kontrolle).
Wir haben zum Thema konvexe Funktionen ein Kriterium bekommen, das hier gut helfen könnte: Wenn h zweimal differenzierbar sein sollte, ist es genau dann konvex, falls die zweite Ableitung größer gleich Null für alle x aus ]-a,a[ ist. Eigentlich hübsch, wenn man jetzt nicht dazu neigen würde, beim Ableiten lauter Fehler zu machen;).
Also: [mm] h'(x)=\bruch{b}{a^2}*\bruch{x}{\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}}, [/mm] oder?
Und somit: [mm] h''(x)=\bruch{b*a^2*\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}+\bruch{x}{\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}}}{a^4*\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}}. [/mm] Glaube, ich habe mich da nicht vertan. Hab diese zweite Ableitung gedreht, gewendet und umgeformt, bin aber trotz allem nicht zu dem Ergebnis gekommen, das ich gerne hätte. Mir ist schon klar, dass man es zu einem gewissen Grade abschätzen kann, da wir ja wissen, dass a und b positiv sind und [mm] 0\le\bruch{x^2}{a^2}<1 [/mm] gelten muss, da ja [mm] x\in [/mm] ]-a,a[ gilt. Aber irgendwie stört mich da trotzdem noch der ganze Wurzelkram...
Wäre dankbar für jegliche Hilfe/Bestätigung/Korrektur,...
Gruß San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Di 11.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Die erste Abl. sieht auf den flüchtigen Blick ok aus. Die zweite ist definitiv
falsch. Zur Not hilft ein Computer-Algebra-System
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Gut, ich wurde enttarnt, ich kann nicht rechnen:). Habe noch mal gerechnet und ne andere Lösung raus (ob die nun aber richtig ist, weiß ich auch nicht,... wahrscheinlich würde ich beim dritten Mal rechnen noch eine dritte Lösung rausbekommen:(.
Tatsache ist, dass ich auch hier wieder mindestens eine Wurzel in dem großen Produkt behalte und das genau ist mein Problem: Die Wurzel kann ja sowohl negativ als auch Positiv sein und somit besteht die Chance, dass mein ganzes schönes Produkt einfach negativ wird.
Oder habe ich einen Denkfehler dadrin?
Ooooder bin ich tatsächlich zum Ableiten zu dumm und die Wurzel verschwindet in der zweiten Ableitung ganz aus dem Therm?
Gruß San
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Hallo San,
Die Wurzel verschwindet nicht.( Wenn ich mich nicht verguckt habe  )
Sie wird aber auch nicht negativ. Für den Anstieg der Tangenten in einem Punkt gibt's nur eine Lsg. Was Du meinst gilt für das Umformen von quad. Gleichungen.
[mm] x^2=1
[/mm]
[mm] x=\pm [/mm] 1
Die Wurzelfunktion selbst ist aber positiv.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Peinlich, peinlich!
Na ja, danke erst mal, werde versuchen, beim nächsten Mal noch mal nachzudenken, bevor ich so wat schreibe;)
Gruß, San
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
So, ehrlich gesagt bin ich mir immer noch nicht sicher mit der dummen Ableitung... und ich verrechne mich ja immer gerne mal. Also hier noch mal Schritt für Schritt, sollte jemand die Zeit, Muße und Lust haben, das für mich noch mal zu überprüfen:
[mm] h'(x)=\bruch{b*x}{a^2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}}. [/mm] Ich gehe einfach davon aus, dass ich wenigstens DIESE simple Ableitung richtig hab...
[mm] h''(x)=\bruch{b*(a^2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2})-(b*x)*(a^2*\bruch{1}{2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}}*\bruch{-2x}{a^2})}{(a^2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2})^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{b*(a^2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2})+\bruch{bx^2}{\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}}}{a^4*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{b}{a^2*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}}+\bruch{bx^2}{a^4*\wurzel{1-(\bruch{x}{a})^2}^3}
[/mm]
So. Hübscher bekomme ich das nicht hin... und ich hoffe einfach mal, dass ich mich nirgendwo verrechnet habe...
Gruß,
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Wunderbar!!! Vielen Dank noch mal an alle Beteiligten... hab schon an mir selbst zu zweifeln begonnen (ein Kommilitone hatte ein anderes Ergebnis);).
Aber dann ist ja alles soweit klar!
Gruß, San
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
ist richtig!
