matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungFunktion linearisieren
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differenzialrechnung" - Funktion linearisieren
Funktion linearisieren < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktion linearisieren: Rückfrage. Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 20.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen könnt :)

Ich habe folgende Funktion:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]

Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es dann richtig, wenn ich schreibe:

R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] * (T-To)

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 20.09.2015
Autor: MathePower

Hallo Dom_89,

> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)
>  

Das soll ja eine lineare Funktion werden.
Demnach müssen die blau markierten Ausdrücke konstant sein:

[mm]R_{lin}(T,To) = \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}} + \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}}* (T-To)[/mm]

Die Ableitung der Funktion, das ist der Teil vor [mm]T-T_{0}[/mm],
stimmt nicht.


> Vielen Dank für eure Hilfe :)


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)



Das stimmt hinten und vorne nicht !

Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm]  f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und f sei in [mm] x_0 \in [/mm] I differenzierbar. Dann lautet die Linearisierung von f in [mm] x_0 [/mm] so:

   [mm] y(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). [/mm]

Das ist gerade die Gleichung der Tangente von f im Punkt [mm] (x_0,f(x_0). [/mm]

Jetzt zu Deiner Funktion



$R(T) = [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))} [/mm] $

Hier ist [mm] x_0=T_0 [/mm] und damit

     [mm] R(x_0)=R(T_0)=R_0 [/mm] ,

      $R'(T)= [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))}*(-\bruch{B}{T^2}),$ [/mm]

also

    [mm] $R'(x_0) =R'(T_0)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}.$ [/mm]

Die Gleichung der fraglichen Tangente ist also

   [mm] y(T)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}(T-T_0)+R_0. [/mm]


FRED

>  
> Vielen Dank für eure Hilfe :)


Bezug
                
Bezug
Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo zusammen,

ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis gekommen:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]


R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})} [/mm] * (T-To)

Ist dies so richtig ? Falls ja, kann ich hier ggf. noch weiter kürzen ?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis
> gekommen:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})}[/mm]
> * (T-To)
>  
> Ist dies so richtig ?

NEIN, HAST DU MEINE ANTWORT IN DIE MÜLLTONNE GETRETEN ?

Fred





Falls ja, kann ich hier ggf. noch

> weiter kürzen ?
>  
> Gruß


Bezug
                                
Bezug
Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo Fred,

leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht richtig lesen können.

Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion ist, oder muss ich da noch etwas ergänzen?

Danke und Gruss

Bezug
                                        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 21.09.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Dom,

> Hallo Fred,

>

> leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht
> richtig lesen können.

>

> Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt
> geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion
> ist,

Ja

> oder muss ich da noch etwas ergänzen?


Nö, ich wüsste nicht, was ... Fred hat es doch ausführlich vorgemacht.

> Danke und Gruss

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Di 22.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

zuerst einmal vielen Dank für eure bisherige Hilfe :)

Ich möchte nun einmal folgende Werte in die Ausgangsfunktion und in die linearisierte Funktion einsetzten:

Ro = 20000 [mm] \Omega [/mm] ; B = 3000 K ; To = 273,15 K ; T = 373,15 K


R(373,15 K) = R(T) = 20000 [mm] \Omega [/mm] * [mm] exp^{(3000 K(\bruch{1}{373,15 K } - \bruch{1}{273,15 K}))} [/mm]

R(373,15 K) = 1053,82 [mm] \Omega [/mm]


[mm] R_{lin}(373,15 K)=-\bruch{20000 \Omega * 3000 K}{(273,15 K)^2}(373,15 [/mm] K-273,15 K)+ 20000 [mm] \Omega [/mm]

[mm] R_{lin}(373,15 [/mm] K) = - 60417,18 [mm] \Omega [/mm]

Dies kann meiner Meinung ja aber nicht so stimmen (die Werte sollten ziemlich nahe beieinander liegen)!

Was mache ich hier falsch ?

Bezug
                                                        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Di 22.09.2015
Autor: chrisno

Der Fehler liegt im Ansatz.
Du linearisierst bei [mm] $T_0 [/mm] = 273,15$K. Dann Sollten für Werte wie $T = 273,16$K gute Näherungen entstehen. Aber doch nicht für einen Temperaturunterschied von 100 K!



Bezug
                                                                
Bezug
Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 23.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen, nennen?

Vielen Dank

Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mi 23.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo
> dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen,
> nennen?

chrisno hats doch gesagt: nimm mal T = 273,16K


Die Linearisierung in [mm] T_0 [/mm]  approximiert die Funktion in der "Nähe" von [mm] T_0 [/mm] !


FRED

>  
> Vielen Dank
>  
> Gruß


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]