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| Aufgabe | Sind die Funktionen Lipschitzstetig auf [-a,a]? Wenn sie es sind, dann gebe auch eine mögliche Lipschitzkonstante an.
a) f(x)=tan(x)
b) f(x)=|x|
c) [mm] f(x)=x^2
[/mm]
d) [mm] f(x)=\wurzel[3]{x}
[/mm]
e) [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
Ich fang mal mit der a) an.
Also man soll herausfinden, ob die Funktion lipschitzstetig auf einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall ist.
Also muss man der Term [mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y) [mm] \parallel \le L\parallel x-y\parallel [/mm] abschätzen.
Also man hat ja
[mm] \parallel [/mm] tan(x)-tan(y) [mm] \parallel= \parallel \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] - [mm] \bruch{sin(y)}{cos(y)} \parallel= \parallel \bruch{sin(x-y)}{cos(x)-cos(y)} \parallel
[/mm]
Man hab ma bisschen herumgerechnet, aber irgendwie bringt mich das nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich den Term abschätzen soll.
Kann mir einer helfen?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sind die Funktionen Lipschitzstetig auf [-a,a]? Wenn sie es
> sind, dann gebe auch eine mögliche Lipschitzkonstante an.
> a) f(x)=tan(x)
> b) f(x)=|x|
> c) [mm]f(x)=x^2[/mm]
> d) [mm]f(x)=\wurzel[3]{x}[/mm]
> e) [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> Hallo!
> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
> Ich fang mal mit der a) an.
> Also man soll herausfinden, ob die Funktion
> lipschitzstetig auf einem beschränkten, abgeschlossenen
> Intervall ist.
> Also muss man der Term [mm]\parallel[/mm] f(x)-f(y) [mm]\parallel \le L\parallel x-y\parallel[/mm]
> abschätzen.
> Also man hat ja
> [mm]\parallel[/mm] tan(x)-tan(y) [mm]\parallel= \parallel \bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> - [mm]\bruch{sin(y)}{cos(y)} \parallel= \parallel \bruch{sin(x-y)}{cos(x)-cos(y)} \parallel[/mm]
Am Ende muß es lauten:
[mm] \parallel \bruch{sin(x-y)}{cos(x)*cos(y)} \parallel
[/mm]
Tipps:
1. bei a) muß wohl 0<a< [mm] \pi [/mm] /2 sein
2. |sin(x-y)| [mm] \le [/mm] |x-y|
3. für x [mm] \in [/mm] [-a,a] ist cos(x) [mm] \ge [/mm] cos(a)
FRED
>
> Man hab ma bisschen herumgerechnet, aber irgendwie bringt
> mich das nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich den Term
> abschätzen soll.
>
> Kann mir einer helfen?
>
> Vielen Dank
>
> TheBozz-mismo
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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Hatte bei meiner Umformung ein Fehler.
Ich versuchs nochmal
[mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y) [mm] \parallel= \parallel \bruch{sin(x)}{cos(x)}- \bruch{sin(y)}{cos(y)} \parallel= \parallel \bruch{sin(x-y)}{cos(x)cos(y)} \parallel(auf [/mm] gemeinsamer nenner bringen und dann additionstheorem benutzt)
[mm] \le \bruch{|x-y|}{cos(x)cos(y)} \le \bruch{|x-y|}{cos(y)^2}
[/mm]
Wenn man nun L:= [mm] \bruch{1}{cos(y)^2} [/mm] wählt, dann gilt:
=L|x-y| und somit wäre die Funktion lipschitzstetig und [mm] cos(y)^2 [/mm] ist unbeschränkt.
Somit hätte ich alle deine Tipps benutzt.
Ist das so richtig?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Hatte bei meiner
> Umformung ein Fehler.
> Ich versuchs nochmal
> [mm]\parallel[/mm] f(x)-f(y) [mm]\parallel= \parallel \bruch{sin(x)}{cos(x)}- \bruch{sin(y)}{cos(y)} \parallel= \parallel \bruch{sin(x-y)}{cos(x)cos(y)} \parallel(auf[/mm]
> gemeinsamer nenner bringen und dann additionstheorem
> benutzt)
> [mm]\le \bruch{|x-y|}{cos(x)cos(y)} \le \bruch{|x-y|}{cos(y)^2}[/mm]
>
> Wenn man nun L:= [mm]\bruch{1}{cos(y)^2}[/mm] wählt,
Nein. Die L-Konstante darf doch nicht von y abhängen !!!
Wähle L:= [mm]\bruch{1}{cos(a)^2}[/mm]
> dann gilt:
> =L|x-y| und somit wäre die Funktion lipschitzstetig und
> [mm]cos(y)^2[/mm] ist unbeschränkt.
Das ist doch Unfug ! Es ist [mm]0 \le cos(y)^2 \le 1[/mm]
FRED
>
> Somit hätte ich alle deine Tipps benutzt.
>
> Ist das so richtig?
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo.
Das mit dem beschränkt war wirklich Unfug. Entschuldigung.
Aber ich versteh nicht so ganz, warum man nun a schreibt anstatt y. Weil man ja x,y benutzt.
In diesem Beispiel ist x,a benutzt wurden und bei der Lipschitzkonstante ist auch a enthalten:
Die Funktion f : [mm] (0,\infty) [/mm] -> R mit
f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 1 ist Lipschitz-stetig in jedem a > 0. Dann
setzen wir L = [mm] \bruch{2}{a^2} [/mm] , gilt
| [mm] (\bruch{1}{x}+1)-(\bruch{1}{a}+1) [/mm] | [mm] =\bruch{|a-x|}{ax}\le\bruch{|x-a|}{(1/2)*a^2}=L|x-a| [/mm] für x [mm] \in [/mm] {(1/2)a,(3/2)a}
Ok, ich versuch schonmal mich bei Aufgabe b)
Die Betragsfunktion ist lipschitzstetig mit L:=1
Ich habe 2 Ideen.
EInmal ||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y| (Das hatten wir bei dem Beweis für die Dreiecksungleichung benutzt)
Ein andere Weg ist:
[mm] ||x|-|y||=\wurzel{(|x|-|y|)^2}=\wurzel{x^2-2|xy|+y^2} \le \wurzel{x^2-2xy+y^2}= \wurzel{(x-y)^2}=|x-y|=L|x-y|
[/mm]
Ist das richtig?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Hallo.
> Das mit dem beschränkt war wirklich Unfug.
> Entschuldigung.
>
> Aber ich versteh nicht so ganz, warum man nun a schreibt
> anstatt y. Weil man ja x,y benutzt.
Ja, [mm]x,y[/mm] variieren ja (sind beliebig), das [mm]a[/mm] ist FEST.
Der Existenzquantor für [mm]L[/mm] steht doch an erster Stelle in der Def. "Lipsch.stetig", das muss also unabh. von den folgenden Variablen gewählt werden, es soll ja dann für alle [mm]x,y...[/mm] gelten
> In diesem Beispiel ist x,a benutzt wurden und bei der
> Lipschitzkonstante ist auch a enthalten:
> Die Funktion f : [mm](0,\infty)[/mm] -> R mit
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1 ist Lipschitz-stetig in jedem a >
> 0. Dann
> setzen wir L = [mm]\bruch{2}{a^2}[/mm] , gilt
>
> | [mm](\bruch{1}{x}+1)-(\bruch{1}{a}+1)[/mm] |
> [mm]=\bruch{|a-x|}{ax}\le\bruch{|x-a|}{(1/2)*a^2}=L|x-a|[/mm] für x
> [mm]\in[/mm] {(1/2)a,(3/2)a}
>
> Ok, ich versuch schonmal mich bei Aufgabe b)
> Die Betragsfunktion ist lipschitzstetig mit L:=1
> Ich habe 2 Ideen.
> EInmal ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x-y| ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Das hatten wir bei dem Beweis
> für die Dreiecksungleichung benutzt)
Ja, das ist die umgekehrte Dreiecksungleichung und ist hier direkt zielführend!
> Ein andere Weg ist:
> [mm]||x|-|y||=\wurzel{(|x|-|y|)^2}=\wurzel{x^2-2|xy|+y^2} \le \wurzel{x^2-2xy+y^2}= \wurzel{(x-y)^2}=|x-y|=L|x-y|[/mm]
Wieso gilt das erste "="?
Wenn ich das Binom auflöse, komme ich auf [mm]\sqrt{|x|^2-2|xy|+|y|^2}[/mm]
Wieso das [mm]=| \ |x| \ - \ |y| \ |[/mm] sein soll, sehe ich nicht.
Erkläre mal den ersten Schritt, vllt. übersehe ich was Banales ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo
Dank dir. Ich glaub, ich habe jetzt verstanden, warum man a wählt und meine zweite Abschätzung ist irgendwie nicht so stimmig, aber wenn man di eumgekehrte Dreiecksungleichung anwenden kann, dann hab ich die Aufgabe ja gelöst.
Nun komm ich zu Aufgabe c)
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] |x^2-y^2|=|x-y||x+y|
[/mm]
Dann hab ich mir überlegt:
|x-y| [mm] \le [/mm] |x|-|y| [mm] \le [/mm] max(|-a|,|a|) + max(|-a|,|a|)= 2 max (|-a|,|a|)=:L
=>
[mm] \le [/mm] L|x-y|
ALso lipschitzstetig.
Zu e), also zu [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] hab ich mir überlegt
[mm] |f(x)-f(y)|=\bruch{|y-x|}{|xy|}
[/mm]
Nur wie ändere ich die Vorzeichen im Betrag?
Hat da wer ne Idee?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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