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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Funktion minimieren
Funktion minimieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Funktion minimieren: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 04.07.2016
Autor: Pingumane

Aufgabe
Gegeben sind folgende Messwerte einer Versuchsreihe:
xi   1   e   [mm] e^{2} [/mm]
yi   1   1   9
wobei e die Eulersche Zahl ist.
Es wird vermutet, dass der gemessene Vorgang einem Gesetz der Form y(x) = a ln(x) + b [mm] ln(\bruch{x}{e}) [/mm] , x > 0 , a, b [mm] \in [/mm] R
unterliegt. Bestimmten Sie a und b so, dass die Funktion f
f(a,b) = [mm] \summe_{i=1}^{3}(y(xi) [/mm] - [mm] yi)^{2} [/mm]
minimal wird.

Ich habe zuerst die Funktion f ausgeschrieben:

f(a,b) = [mm] \summe_{i=1}^{3}(y(xi) [/mm] - [mm] yi)^{2} [/mm]

= (a ln(1) + b [mm] ln(\bruch{1}{e}) [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] + (a ln(e) + b [mm] ln(\bruch{e}{e}) [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] + (a [mm] ln(e^{2}) [/mm] + b [mm] ln(\bruch{e^{2}}{e}) [/mm] - [mm] 9)^{2} [/mm]

= [mm] (-b-1)^{2} [/mm] + [mm] (a-1)^{2} [/mm] + [mm] (2a-b-9)^{2} [/mm]

f nach a abgeleitet:
fa = 2(a-1) + 4(2a-b-9) = 10a-4b-38

f nach b ageleitet:
fb = -2(-b-1) - 2(2a-b-9) = -4a+4b+20

Beide jeweils Null setzen, Variablen ermitteln:
10a-4b-38 = 0
4b = 10a - 38

Dies in fb einsetzen:
-4a + 10a - 38 + 20 = 0
6a - 18 = 0
a = 3
-> b = -2

Das stimmt jedoch nicht mit dem Ergebnis von a = [mm] \bruch{11}{3}, [/mm] b = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] überein.
Habe ich mich verrechnet, oder ist mein Vorgehen falsch?


Liebe Grüße,
Pingumane

        
Bezug
Funktion minimieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mo 04.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich habe zuerst die Funktion f ausgeschrieben:
> = [mm](-b-1)^{2}[/mm] + [mm](a-1)^{2}[/mm] + [mm](2a-b-9)^{2}[/mm]

Du hast im letzten Summanden einen Vorzeichenfehler drin.
Findest du ihn selbst?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktion minimieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Mo 04.07.2016
Autor: Pingumane

Ohje, natürlich ist b im letzten Summanden positiv! Vielen Dank für den Hinweis, nun komme ich auf das richtige Ergebnis :)

Bezug
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