Funktion mit Betrag ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Sa 18.06.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo
ich soll die Funktion f(x)=xln(|x|) auf Differenzierbarkeit untersuchen und ebenfalls untesuchen ob sich die Funktion erweitern lässt das sie überall differenzierbar ist
f(x) = xln(x) für x > gleich 0
xln(-x) für x< 0
also müssten die Ableitungen lauten f'(x)= ln(x)+1 und ln(-x)+1
Nur würde bei x=0 dasgleiche Ergebnis herauskommen und das stimmt doch nicht oder?
Bzw wie mache ich das mit der Erweiterung?
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Hallo racy90,
> Hallo
> ich soll die Funktion f(x)=xln(|x|) auf Differenzierbarkeit
> untersuchen und ebenfalls untesuchen ob sich die Funktion
> erweitern lässt das sie überall differenzierbar ist
>
> f(x) = xln(x) für x > gleich 0
> xln(-x) für x< 0
>
> also müssten die Ableitungen lauten f'(x)= ln(x)+1 und
> ln(-x)+1
>
> Nur würde bei x=0 dasgleiche Ergebnis herauskommen und das
> stimmt doch nicht oder?
Das stimmt nicht, denn der ln ist für x=0 nicht definiert.
Um die Funktion auf Differenzierbarkeit an der Stelle x=0
untersuchen zu können, muss die Funktion dort stetig sein.
>
> Bzw wie mache ich das mit der Erweiterung?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 18.06.2011 | | Autor: | racy90 |
die Funktion ist doch stetig bei 0,zumindest nach den Grenzwerten
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Hiho,
> die Funktion ist doch stetig bei 0
nein, denn sie ist bei 0 nicht einmal definiert, also kann sie dort auch nicht stetig sein.
> zumindest nach den Grenzwerten
Das hat erstmal nix mit Stetigkeit zu tun, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] f(x) $ exisitiert.
Wenn du nun allerdings weißt, dass er existiert, wie könntest du die Funktion denn nun erweitern, dass sie in Null definiert und sogar stetig ist?
[mm] $\overline{f}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} f(x), & x\not=0 \\ ? & x=0 \end{cases}$
[/mm]
Da kommt dann dein Grenzwert ins Spiel.
Du sollst ja aber prüfen, ob f sogar differenzierbar erweiterbar ist.
Der einzige Kandidat ist dann aber der, der f mindestens stetig erweitert.
Heißt: Was musst du nun noch prüfen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 18.06.2011 | | Autor: | racy90 |
den Differentialquotienten?
Aber zuerst muss ich die Funktion ja stetig machen das sie überhaupt differenzierbar sein kann
nur wie macht man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> den Differentialquotienten?
genau, mit dem musst Du arbeiten (nachdem Du die Funktion stetig erweitert hast; der Grund ist übrigens: Eine Funktion ist an allen Stellen stetig, an denen sie differenzierbar ist (umgekehrtes gilt i.a. nicht!). Wenn Du die Funktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] also differenzierbar erweitern kannst, so muss die "erweiterte Funktion" an [mm] $x_0=0$ [/mm] also insbesondere stetig sein!).
> Aber zuerst muss ich die Funktion ja stetig machen das sie
> überhaupt differenzierbar sein kann
>
> nur wie macht man das?
Du hast ja gegeben
[mm] $$f(x)=x*\ln(|x|)=\begin{cases} x*\ln(x), & \mbox{für alle rellen } x > 0 \\ x*\ln(-x), & \mbox{für alle rellen }x < 0 \end{cases}$$
[/mm]
Wenn nun eine an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetige Erweiterung von [mm] $f\,$ [/mm] existiert, also eine stetige Funktion
[mm] $$\tilde{f}: \IR \to \IR \text{ mit }\tilde{f}(x)=f(x) \text{ für alle reellen }x \not=0$$
[/mm]
so muss [mm] $\tilde{f}(0)$ [/mm] definiert sein/werden durch [mm] $\tilde{f}(0):=g$ [/mm] mit
[mm] $$g:=\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\tilde{f}(x)\,,$$
[/mm]
sofern denn [mm] $g\,$ [/mm] überhaupt existiert. Es ist also zunächst mal zu prüfen, ob
[mm] $$\lim_{x \to 0}f(x)$$
[/mm]
existiert (und falls ja, ist dieser Wert [mm] $g\,$ [/mm] zu berechnen).
Dabei beachte man auch nochmal die Definition von [mm] $\lim_{x \to x_0}t(x):=\lim_{\substack{x \to x_0\\x \not=x_0}}t(x)\,.$
[/mm]
Oben bedeutet dass also genauer, dass Du zu prüfen hast, ob
[mm] $$\lim_{\substack{x \to 0\\x \not=0}}f(x)$$
[/mm]
existiert. Dieser Grenzwert existiert genau dann, wenn die folgenden Bedingungen (allesamt) erfüllt sind:
1.) Es existiert [mm] $g_1=\lim_{\substack{x \to 0\\x < 0}}f(x)\,.$
[/mm]
2.) Es existiert [mm] $g_2=\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x)\,.$
[/mm]
3.) Es gilt [mm] $g_1=g_2\,.$ [/mm]
(Und dann gilt [mm] $g=g_1=g_2\,.$)
[/mm]
Im Prinzip musst Du also erstmal die letzten drei Nummern durcharbeiten!
Tipp:
Zur Berechnung von [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}x*\ln(x)$ [/mm] schreibe
[mm] $$x*\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}$$
[/mm]
und wende de L'Hospital an (beachte: da steht nach der Umformung ein Ausdruck der Form [mm] $-\infty/\infty$ [/mm] (bei [mm] $x\to [/mm] 0^+$), und ferner ist [mm] $(1/x)'=-1/x^2\,$ [/mm] und [mm] $(\ln(x))'=1/x$).
[/mm]
P.S.:
Zur Kontrolle:
Du solltest [mm] $g=g_1=g_2=0$ [/mm] errechnen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 So 19.06.2011 | | Autor: | racy90 |
also die beiden Grenzwerte stimmen überein beide 0
und wie gehts nun weiter?
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> also die beiden Grenzwerte stimmen überein beide 0
>
> und wie gehts nun weiter?
jetzt hast du die stetigkeit gezeigt
somit ist
[mm] f(x)=\begin{cases} x*ln(|x|) & \mbox{für } x \not=0 \\ 0 & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
gruß tee
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> > also die beiden Grenzwerte stimmen überein beide 0
> >
> > und wie gehts nun weiter?
>
> jetzt hast du die stetigkeit gezeigt
> somit ist
> [mm]f(x)=\begin{cases} x*ln(|x|) & \mbox{für } x \not=0 \\ 0 & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
... und dann steht nun noch die Kernfrage zu klären:
Ist die nun auch an der Stelle 0 definierte und stetige
Funktion dort auch differenzierbar ?
Dabei geht es nochmals um eine Grenzwertunter-
suchung.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 19.06.2011 | | Autor: | racy90 |
das heißt ich schau mir den Differentialquotienten an bei x=0 oder?
also [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}
[/mm]
aber wenn ich hier den ln einsetze bekomme ich ja etwas undef.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 19.06.2011 | | Autor: | racy90 |
das heißt ich schau mir den Differentialquotienten an bei x=0 oder?
also [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}
[/mm]
aber wenn ich hier den ln einsetze bekomme ich ja etwas undefiniertes
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Hallo racy90,
> das heißt ich schau mir den Differentialquotienten an bei
> x=0 oder?
>
Ja.
> also [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> aber wenn ich hier den ln einsetze bekomme ich ja etwas
> undefiniertes
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 19.06.2011 | | Autor: | racy90 |
somit kann man sagen das die Funktion nicht differenzierbar bei 0 ist weil der eine Differentialquotient etwas undef. ergibt und und für f(x) =0 für x=0 ist der Differentialquotient 0
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Hallo racy90,
> somit kann man sagen das die Funktion nicht differenzierbar
> bei 0 ist weil der eine Differentialquotient etwas undef.
> ergibt und und für f(x) =0 für x=0 ist der
> Differentialquotient 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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> somit kann man sagen das die Funktion nicht differenzierbar
> bei 0 ist weil der eine Differentialquotient etwas undef.
> ergibt und und für f(x) =0 für x=0 ist der
> Differentialquotient 0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein !
was soll jetzt da "der eine Differentialquotient" (und
der andere ...) sein ?
Für alle [mm] x_0 [/mm] mit [mm] x_0\not=0 [/mm] hat der Differentialquotient,
d.h. die Ableitung [mm] f'(x_0) [/mm] , einen konkreten Zahlenwert.
Den Grenzwert, der allenfalls f'(0) liefern könnte,
hast du noch nicht untersucht. Den Wert Null hat er
aber auf keinen Fall.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Di 21.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo racy,
> somit kann man sagen das die Funktion nicht differenzierbar
> bei 0 ist weil der eine Differentialquotient etwas undef.
> ergibt und und für f(x) =0 für x=0 ist der
> Differentialquotient 0
das macht keinen Sinn. Entweder Du kennst einen Satz der Art:
"Eine Funktion ist differenzierbar in einem Häufungspunkt genau dann, wenn für jede Folge gilt, dass ..."
oder Du argumentierst mit rechts- und linksseitigen Differenzenquotienten (eigtl. ist das nur ein Spezialfall des Satzes von oben). Aber mit "etwas undefiniertem" zu argumentieren macht hier keinen Sinn, auch, wenn Du vielleicht das richtige meinst.
Gruß,
Marcel
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> das heißt ich schau mir den Differentialquotienten an bei
> x=0 oder?
>
> also [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> aber wenn ich hier den ln einsetze bekomme ich ja etwas
> undefiniertes
Moment mal !
Beim bloßen Einsetzen doch noch nicht - denn du hast
doch jetzt die Funktion durch die zusätzliche Fest-
legung f(0):=0 ergänzt !
Eine Symmetrieüberlegung zeigt aber jedenfalls, dass
man sich zur Untersuchung der Differenzierbarkeit
vorerst auf positive Werte von h beschränken kann
(das Verhalten auf der linken Seite folgt dann durch
Symmetriebetrachtung).
Zu untersuchen bleibt also, ob der Grenzwert
[mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}\ =\ \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(h)}{h}[/mm]
existiert.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das heißt ich schau mir den Differentialquotienten an bei
> x=0 oder?
>
> also [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> aber wenn ich hier den ln einsetze bekomme ich ja etwas
> undefiniertes
siehe auch Als Antwort.
Wir betrachten (eigentlich nur "zunächst") $x > [mm] 0\,$ [/mm] und schauen also zunächst mal, ob die nun durch $f(0):=0$ fortgesetzte Funktion (eigentlich heißt die mit meinen Bezeichnungen [mm] $\tilde{f}$) [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] rechtsseitig differenzierbar ist. Dazu prüfen wir, ob
[mm] $$\lim_{\substack{ x \to 0\\ x > 0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=:\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$
[/mm]
existiert:
Für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] (insbesondere auch für jedes noch so kleine $x > [mm] 0\,$) [/mm] gilt
[mm] $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)-f(0)}{x}=f(x)/x\,,$$
[/mm]
wobei das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil wir [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] durch [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] stetig fortgesetzt haben!
Das bedeutet aber für jedes $x > [mm] 0\,$
[/mm]
[mm] $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f(x)/x=x*\ln(x)/x=\ln(x)\,,$$
[/mm]
und bei $x [mm] \to [/mm] 0^+$ strebt also der rechtsseitige Differenzenquotient gegen [mm] $-\infty \notin \IR\,.$ [/mm] (Der linksseitige Differentialquotient ist übrigens auch [mm] $-\infty\,,$ [/mm] wie sich aus Symmetriegründen ergibt; siehe auch Als Antwort.)
Fazit: Du hast vollkommen recht, die an [mm] $x_0=0$ [/mm] (stetig) fortgesetzte Funktion kann nicht differenzierbar sein. Da aber jede an [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig fortgesetzte Funktion von [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere in [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig sein muss, ist diese stetige fortgesetzte Funktion - es gibt derer ja genau eine, wie wir gesehen haben (!) - der einzige Kandidat für eine differenzierbare Fortsetzung von [mm] $f\,.$ [/mm] Also kann [mm] $f\,$ [/mm] nicht diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt werden!
P.S.:
Hätte der rechtsseitige Differentialquotient in [mm] $\IR$ [/mm] existiert, so wäre noch zu prüfen gewesen, ob auch der linksseitige in [mm] $\IR$ [/mm] existiert, und sofern denn beide existierten und übereinstimmten, dann wäre auch die Funktion in [mm] $x_0=0$ [/mm] diff'bar (und damit auf [mm] $\IR$ [/mm] diff'bar) erweiterbar gewesen.
Gruß,
Marcel
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> Also kann [mm]f\,[/mm] nicht
> diff'bar auf [mm]\IR[/mm] fortgesetzt werden!
Hallo,
so quasi zur "Ehrenrettung" dieser Ergänzung durch die
Festsetzung f(0):=0 sollte man vielleicht noch sagen,
dass die damit entstehende Kurve in [mm] \IR^2 [/mm] eigentlich
durchaus eine stetige und differenzierbare Kurve in der
Ebene ist, wenn man sich nicht auf eine überall endliche
Ableitung [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] versteift.
Analog dazu ist z.B. ein Kreis in [mm] \IR^2 [/mm] eine überall diffe-
renzierbare Kurve - allerdings nicht als Funktionsgraph
einer Funktion [mm] x\mapsto{y} [/mm] (oder als Vereinigung zweier
solcher Graphen) betrachtet, aber als Bild einer Para-
metrisierung [mm] t\mapsto(x(t),y(t)) [/mm] . Dass die 2 Punkte des Kreises,
in welchen die Tangenten parallel zur y-Achse sind, als
"Ausnahmepunkte" gelten, liegt einzig und allein am
Koordinatensystem und nicht an dem makellosen Kreis.
LG Al-Chw.
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