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Funktion mit Identitätssatz be: Tipp zur Aufgabe...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Fr 10.06.2011
Autor: w3rk3rhund

Aufgabe
Gesucht sind alles holomorphen Funktionen f: C --> C mit
f(e^(sqrt(2)*pi*i*n) = 1


hi,
also das is die aufgabe.
ich hab mir mal meine gedanken gemacht und auch in anderen lösungen gekramt und die schreiben, dass die menge aller z mit z = e^(sqrt(2)*pi*i*n) beschränkt und unendlich ist und sie daher nach bolzano weierstrass einen häufungspunkt hat.
Soweit versteh ichs ja noch.
Jetz beweisen sie aber mit Hilfe des Identitätssatzes, das f = 1 sein muss.
das wiederum versteh ich nicht. denn dafür braucht man doch ein folge, die gegen einen festen wert konvergiert, oder nicht??
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!


ach ja, und was ich noch nicht versteh:
wieso geht z^sqrt(2) nicht als funktion?

        
Bezug
Funktion mit Identitätssatz be: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Fr 10.06.2011
Autor: mathfunnel

Hallo w3rk3rhund!

> Gesucht sind alles holomorphen Funktionen f: C --> C mit
> f(e^(sqrt(2)*pi*i*n) = 1
>  
> hi,
>  also das is die aufgabe.
>  ich hab mir mal meine gedanken gemacht und auch in anderen
> lösungen gekramt und die schreiben, dass die menge aller z
> mit z = e^(sqrt(2)*pi*i*n) beschränkt und unendlich ist
> und sie daher nach bolzano weierstrass einen häufungspunkt
> hat.
>  Soweit versteh ichs ja noch.
>  Jetz beweisen sie aber mit Hilfe des Identitätssatzes,
> das f = 1 sein muss.
>  das wiederum versteh ich nicht. denn dafür braucht man
> doch ein folge, die gegen einen festen wert konvergiert,
> oder nicht??

Ja! Der Häufungspunkt garantiert die Existenz einer geeigneten Folge.

>  Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
>  
>
> ach ja, und was ich noch nicht versteh:
> wieso geht z^sqrt(2) nicht als funktion?

Wie ist [mm] $z^{\sqrt{2}}$ [/mm] definiert?


LG mathfunnel

Bezug
                
Bezug
Funktion mit Identitätssatz be: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 So 26.06.2011
Autor: w3rk3rhund

naja, f: C --> C mit z -> z^(sqrt(2))...?

Bezug
                        
Bezug
Funktion mit Identitätssatz be: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 26.06.2011
Autor: felixf

Moin,

> naja, f: C --> C mit z -> z^(sqrt(2))...?

und warum sollte das eine holomorphe (oder wenigstens stetige) Funktion ergeben? Und wie genau willst du [mm] $z^{\sqrt{2}}$ [/mm] fuer Zahlen $z$ definieren, die nicht reell und nicht-negativ sind? Was ist etwa [mm] $(-1)^{\sqrt{2}}$? [/mm] Oder [mm] $i^{\sqrt{2}}$? [/mm]

LG Felix


Bezug
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