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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgende Funktion f auf dem angegebenen Intervall monoton wachsen ist:
f: [-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] f(x) := [mm] x^4 [/mm] + [mm] e^x [/mm] |
Hallo zusammen :)
Mein ansatz war folgender:
Die linke Grenze des Intervalls in f(x) einsetzen.
Anschließend die rechte Grenze (1) in f(x) einsetzen.
Nun vergleiche ich beide Werte.
Monoton wachsend heißt ja:
[mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
Bzw. auf meine Funktion hier übertragen:
f(-1) [mm] \le [/mm] f(1) // gilt zu prüfen...
Habe dies eingesetzt und die Ungleichung stimmte.
In meinen Augen also monoton wachsend.
Das Ergebnis jedoch ist "nicht monoton wachsend".
Könnt ihr mir bitte sagen wo mein Fehler liegt?
lg,
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist in gebirgiger Gegend unterwegs. du stellstbei km -1 fest wie hoch du bist bei km +1 bist du 2m höher alsbei km -1 anfang. Bist du garantiert immer gestiegen?
zeichne mal nur die fkt [mm] y=x^4 [/mm] von -0,5 bis 1 steigt die immer?
Monoton steigend heisst es geht immer ununterbrochen rauf! du siehst nur auf den Anfang und den Endpunkt also bei deiner Wanderung die Luftlinie, nicht den Weg.
monoton wachsend heisst:
für jedes x1<x2 ist f(x1)<f(x2) nun rechne mal den Wert deiner fkt bei x1=-1 und x2=-0,5 aus!
Gruss leduart
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hm...
Du hast natürlich Recht...
Da war ich wohl mit meiner Übrlegung völlig falsch :)
Gibt es denn eine Formel mit der ich das Prüfen kann?
Ich kann ja nicht "alle" Werte in meinem Intervall einsetzen und testen.
Danke, lg
steffi
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Hallo Stefanie,
na, was bedeutet denn monotones Wachstum auf dem Intervall $I=[-1,1]$?
Doch, dass die Steigung, also die erste Ableitung der Funktion $f'(x) \ [mm] \ge [/mm] 0$ ist für alle [mm] $x\in [/mm] I$
Berechne mal die Ableitung und schaue, ob das wohl der Fall ist...
LG
schachuzipus
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Oki..
Ich leite also meine Funktion ab und kriege ein f'(x).
Setze ich dann wieder hier "nur" die Intervallsgrenzen ein und schaue ob es größer 0 ist?
Auch hier kann ich ja nämlich nicht "alle möglichen" Werte einsetzen.
Lg,
steffi
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Hallo,
[mm] f'(x)=4x^{3}+e^{x}
[/mm]
untersuche jetzt, wann dieser Term kleiner als Null bzw. größer als Null ist, die Intervallgrenzen benötigst du nicht, du bekommst einen Wert [mm] x_0, [/mm] für den gilt [mm] -1
Steffi
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Das ganze wird zusammen mit dem e immer größer null...
Die [mm] 4x^3 [/mm] könnte ich gleich Null setzen...
Oder was meinst Du genau?
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Hallo.
Ich war mal so frei eine allgemeine Lösung zu deinem Problem aufzuschreiben:
Du willst folgende Funktion prüfen: f(x) := [mm] x^4 [/mm] + [mm] e^x
[/mm]
Deine allgemeine Annahme ist schon richtg: f(n+1) > f(n)
Das Intervall auf dem wir uns bewegen lassen wir erst mal links liegen und setzen unsere n einfach in die Funktion ein:
f(n+1) > f(n)
[mm] (n+1)^4 [/mm] + e^(n+1) > [mm] n^4 [/mm] + [mm] e^n [/mm] | [mm] -n^{4} [/mm] | -e^(n+1)
[mm] (n+1)^4 [/mm] - [mm] n^4 [/mm] > -e^(n+1) + [mm] e^n
[/mm]
[mm] (n+1)^4 [/mm] - [mm] n^4 [/mm] > [mm] -e^n [/mm] * e + [mm] e^n [/mm] | [mm] -e^n [/mm] ausklammern
[mm] (n+1)^4 [/mm] - [mm] n^4 [/mm] > [mm] -e^{n} [/mm] (e - 1)
hm... bis hierhin und jetzt steh ich aufm schlauch. Das sah aufm Zettel vorhin so gut aus ^^ ... Wär nett wenn das jemand auf Fehler prüft...
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Hallo,
[mm] f(x)=x^{4}+e^{x} [/mm] rot gezeichnet
[mm] f'(x)=4x^{3}+e^{x} [/mm] blau gezeichnet
[Dateianhang nicht öffentlich]
ist die 1. Ableitung größer Null, so ist die Funktion monoton steigend
ist die 1. Ableitung kleiner Null, so ist die Funktion monoton fallend
willst du nun untersuchen, wann die 1. Ableitung kleiner bzw. größer Null ist, so benötigst du die Nullstelle,
[mm] 0=4x^{3}+e^{x}
[/mm]
[mm] x_0=-0,528251872453204
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] kannst du mit dem Newton-Verfahren berechnen, ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Beweis, dass etwas monoton (steigend oder fallend) ist, ist oft nicht so einfach, vorallem wenn die Ableitung keine einfache fkt. ist, deren Vorzeichen man einfach "sieht"
Aber zum nachweis, dass sie nicht monoton ist genügen 3 Punkte, bei dir etwa x=-1, x=-0,5 x=0 dann sieht man schon dass sie mal kleiner mal größer wird. Mehr war hier von dir nicht verlangt.
wenn du f' ansiehst, solltest du direkt sehen, dass das für grosse neg. x sicher negativ ist, für pos. x immer pos ist. also muss es irgendwo das Vorzeichen wechseln. dann kann man f'(-1) und f'(0) ausrechnen, siehe da, verschiedene vorzeichen, also nicht monoton!
Gruss leduart
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![[a]](uploads/forum/00362879/forum-i00362879-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Datei-Anhang