Funktion schneidet x-Achse < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 26.02.2014 | | Autor: | NinaAK13 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit [mm] f(x)=x^3-2x^2-3x+10 [/mm] die x-Achse nur im Punkt S(-2/0) schneidet. |
Ich hätte den Punkt in die Funktion eingesetzt,
also: [mm] 0=(-2)^3-2(-2)^2-3*(-2)+10.
[/mm]
Wenn aber dann auf beiden Seiten 0 rauskommt, dann habe ich ja nur bewiesen, dass der Punkt auf der Funktion liegt, aber doch nicht, dass es der einzige Punkt ist? Wie kommen ich darauf, dass es der einzige Punkt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mi 26.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Nina,
> Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
> [mm]f(x)=x^3-2x^2-3x+10[/mm] die x-Achse nur im Punkt S(-2/0)
> schneidet.
> Ich hätte den Punkt in die Funktion eingesetzt,
> also: [mm]0=(-2)^3-2(-2)^2-3*(-2)+10.[/mm]
> Wenn aber dann auf beiden Seiten 0 rauskommt, dann habe
> ich ja nur bewiesen, dass der Punkt auf der Funktion liegt,
> aber doch nicht, dass es der einzige Punkt ist?
Ja, das hast du richtig verstanden. Übrigens sagt man in so
einem Fall, dass [mm] $x_0:=-2$ [/mm] eine Nullstelle von der Funktion
$f$ ist, denn es gilt:
[mm] f(x_0)=0.
[/mm]
> Wie ich darauf, dass es der einzige Punkt ist?
Ich sehe gerade, dass du die Aufgabe unter "Oberstufe
(Klassen 11-13)" gestellt hast. Deshalb antworte ich mal so:
Du kannst es einfach "ausrechnen", denn du weißt bereits,
dass [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle ist, also kannst du mit der Polynom-
division alle anderen relevanten Nullstellen betrachten.
Zeige also, dass du mit der Polynomdivision folgendes erhältst:
[mm] f(x):(x-x_0)=(x^3-2x^2-3x+10):(x-(-2))=x^2-4x+5
[/mm]
Demnach gilt also folgendes:
[mm] f(x)=(x+2)(x^2-4x+5)
[/mm]
Jetzt betrachte die Nullstellen der Funktion und verwende
folgenden Satz: Ein Produkt ist Null, falls einer der Faktoren
Null ist. Der erste Faktor ist nicht mehr relevant (wieso?).
Betrachte also folgende Funktion auf Nullstellen:
[mm] \Phi(x)=x^2-4x+5
[/mm]
Folgere also, dass [mm] \Phi [/mm] keine reellen Nullstellen besitzt.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mi 26.02.2014 | | Autor: | NinaAK13 |
Vielen Dank! Ich werde mich morgen erstmal genauer mit der Polynomdivision beschäftigen, da ich das in der Schule noch gar nicht hatte...
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 26.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Vielen Dank! Ich werde mich morgen erstmal genauer mit der
> Polynomdivision beschäftigen, da ich das in der Schule
> noch gar nicht hatte...
> Viele Grüße!
Das ist kein Problem. Schau dir trotzdem die Polynomdivision
an, denn sie ist sehr wichtig! Dennoch kannst du es (hier),
da wir es mit einem "kleinen" Polynom zu tun haben, umgehen.
$f$ ist ein Polynom dritten Grades. Da du bereits mit [mm] $x_0=-2$
[/mm]
eine Nullstelle bewiesen hast, suchst du nach einer Funktion
zweiten Grades [mm] \Phi [/mm] mit
[mm] (x+2)*\Phi(x)=f(x).
[/mm]
Wenn wir nun mit [mm] $(x+2)\not=0$ [/mm] auf beiden Seiten teilen würden,
kämen wir auf die Polynomdivision. Das wollen wir hier aber
nicht. Die Funktion [mm] \Phi [/mm] ist eine Funktion zweiten Grades
und wir können sie charakterisieren mit
[mm] \Phi(x)=ax^2+bx+c [/mm] mit [mm] a,b,c\in\IR [/mm] und [mm] a\not=0.
[/mm]
Gesucht sind also [mm] a,b,c\in\IR [/mm] und [mm] a\not=0 [/mm] mit
[mm] (x+2)(ax^2+bx+c)=x^3-2x^2-3x+10
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x+2)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c.
[/mm]
Es müssen nun folgende Eigenschaften gelten:
[mm] \alpha) $ax^3=x^3$
[/mm]
[mm] \beta) $bx^2+2ax^2=-2x^2$
[/mm]
[mm] \gamma) [/mm] $cx+2bx=-3x$
[mm] \delta) [/mm] $2c=10$
Nun erhalten wir sofort $a$ und $c$, denn es gilt:
[mm] \alpha) $ax^3=x^3\Rightarrow [/mm] a=1$,
[mm] \delta) $2c=10\Rightarrow [/mm] c=5$.
Das setzen wir nun in [mm] \gamma [/mm] ein:
[mm] \gamma) $cx+2bx=-3x=5x+2bx=-3x\Rightarrow 5+2b=-3\Rightarrow [/mm] b=-4$ für [mm] x\not=0.
[/mm]
Die Eigenschaft [mm] \beta) [/mm] brauchen wir hier sogar nicht mehr,
denn [mm] \alpha [/mm] war am Anfang sehr einfach zu erhalten.
Unsere Funktion [mm] \Phi [/mm] sieht also wie folgt aus:
[mm] \Phi(x)=ax^2+bx+c=x^2-4x+5.
[/mm]
Vielleicht nochmal zur Probe:
[mm] \Phi(x)*(x+2)=(x^2-4x+5)*(x+2)=x^3-4x^2+5x+2x^2-8x+10=x^3-2x^2-3x+10=f(x).
[/mm]
Jetzt brauchtest du keine Polynomdivision und musst nur noch
zeigen, dass die Funktion [mm] \Phi [/mm] keine reelle Nullstellen besitzt,
denn damit folgt dann sofort, dass die Funktion $f$ genau eine
reelle Nullstelle, also [mm] $x_0=-2$, [/mm] besitzt. Das solltest du aber
auf jeden Fall selbst ganz schnell hinkriegen. 
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 26.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
> [mm]f(x)=x^3-2x^2-3x+10[/mm] die x-Achse nur im Punkt S(-2/0)
> schneidet.
> Ich hätte den Punkt in die Funktion eingesetzt,
> also: [mm]0=(-2)^3-2(-2)^2-3*(-2)+10.[/mm]
> Wenn aber dann auf beiden Seiten 0 rauskommt, dann habe
> ich ja nur bewiesen, dass der Punkt auf der Funktion liegt,
> aber doch nicht, dass es der einzige Punkt ist? Wie kommen
> ich darauf, dass es der einzige Punkt ist?
Hallo,
es gibt jetzt zwei Möglichkeiten:
- Die Funktion ist vielleicht streng monoton wachsend. Dann kann sie (nachdem sie die x-Achse einmal geschnitten hat) nicht wieder "umkehren".
- Die Funktion hat zwar auch ein Intervall in dem sie monoton fällt, aber dieses Fallen ist zu Ende, bevor die x-Achse erneut erreicht wird. Da, wo das Fallen endet und das Steigen erneut beginnt, hat die Funktion einen Tiefpunkt.
In beiden möglichen Fällen muss die erste Ableitung deiner Funktion gebildet und ausgewertet werden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mi 26.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
>
> > Hallo,
> > es gibt jetzt zwei Möglichkeiten:
> > - Die Funktion ist vielleicht streng monoton
> > wachsend. Dann kann sie (nachdem sie die x-Achse einmal
> > geschnitten hat) nicht wieder "umkehren".
>
> Das war auch meine erste Idee, aber die Funktion ist nicht
> streng monoton wachsend (fallend) auf ganz [mm]\IR.[/mm] Ich frage
> mich ob das überhaupt im Abitur angesprochen wird.
> Obwohl
> mein Abitur nicht so lange her ist kann ich mich nicht
> mehr
> daran erinnern. Kann mich jemand bitte aufklären? 
>
> > - Die Funktion hat zwar auch ein Intervall in dem sie
> > monoton fällt, aber dieses Fallen ist zu Ende, bevor die
> > x-Achse erneut erreicht wird.
>
> Dann haben wir eine Funktion mit zwei Nullstellen, aber
> hier
> soll gezeigt werden, dass [mm]f[/mm] genau eine Nullstelle
> besitzt.
>
> > Da, wo das Fallen endet und
> > das Steigen erneut beginnt, hat die Funktion einen
> > Tiefpunkt.
>
> Oder vielleicht doch einen Sattelpunkt?
Hallo DieAcht,
du widersprichst dir gerade selbst. Wenn es NUR ein Sattelpunkt wäre, dann wäre diese Funktion dritten Grades ja doch streng monoton steigend.
Gruß Abakus
>
> > In beiden möglichen Fällen muss die erste Ableitung
> > deiner Funktion gebildet und ausgewertet werden.
> > Gruß Abakus
>
>
> Gruß
> DieAcht
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