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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | Sei[mm][/mm] [mm]f(x):=\begin{cases} x, x\in\IQ \\
-x, x\in\ \IR\setminus\IQ\end{cases}[/mm]
Zeigen Sie : a.) f ist stetig in 0
b.) f ist nicht stetig in allen Punkten [mm]x\neq0[/mm]. |
Hallo,
Beh.:i.) [mm]f(x)=x [/mm] ist in [mm]x_0=0 [/mm] stetig
ii.)[mm]f(x)=-x[/mm] ist in [mm]x_0=0[/mm] stetig
Beweis: i.) denn für [mm]x>0[/mm] ist [mm] \limes_{x\rightarrow0} f(x)= \limes_{x\rightarrow0}x=\underbrace{0}_{f(0)=0}= \limes_{x\rightarrow0}x= \limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm]
...
Ich brauche eine Idee und ein Feedback, ob das hier schonmal richtig ist. Wie zeige ich, dass f nicht stetig in allen Punkten ungleich 0 ist?
LG
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Hiho,
> Beh.:i.) [mm]f(x)=x[/mm] ist in [mm]x_0=0[/mm] stetig
> ii.)[mm]f(x)=-x[/mm] ist in [mm]x_0=0[/mm] stetig
ich denke, dass du das als gegeben voraussetzen kannst.
> Ich brauche eine Idee und ein Feedback, ob das hier
> schonmal richtig ist. Wie zeige ich, dass f nicht stetig in
> allen Punkten ungleich 0 ist?
Erstmal die Stetigkeit in 0:
Zeige: [mm] $\lim_{\substack{x\to 0\\ x\in\IQ}} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{\substack{x\to 0\\ x\in\IR\setminus\IQ}} [/mm] f(x) = f(0)$
Mach dir klar, dass [mm] $\lim_{\substack{x\to 0\\ x\in\IQ}} [/mm] f(x)$ nur eine Kurzschreibweise ist für:
"Für alle [mm] $(x_n)_{n\in\IN} \subset \IQ$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = 0$ betrachten wir [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)$"
[/mm]
Mach dir dann klar, dass wenn
[mm] $\lim_{\substack{x\to 0\\ x\in\IQ}} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{\substack{x\to 0\\ x\in\IR\setminus\IQ}} [/mm] f(x) = f(0)$
gilt du es bereits für alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN} \subset \IR$ [/mm] gezeigt hast. (warum?)
Also gilt dann: [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] f(x) = f(0)$ und damit die Stetigkeit
Zu zweitens: Als Vorbetrachtung nimm dir mal einen festen Wert, bspw 5 und berechne:
[mm] $\lim_{\substack{x\to 5\\ x\in\IQ}} [/mm] f(x)$ sowie [mm] $\lim_{\substack{x\to 5\\ x\in\IR\setminus\IQ}} [/mm] f(x)$
Was gilt dann für [mm] $\lim_{x\to 5} [/mm] f(x)$? Was folgt daraus für die Stetigkeit in 5?
Und nun verallgemeiner das ganze von 5 auf ein beliebiges [mm] $x_0\not= [/mm] 0$
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Zelda |
Ein fettes DANKE! Und bis später...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Zur Stetigkeit in 0:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist |f(x)|=|x|. Somit: f(x) [mm] \to [/mm] 0=f(0) für x [mm] \to [/mm] 0.
FRED
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