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| Aufgabe | Sei g: A -> B und f: B -> C
Zeigen Sie , dass falls f und g beides injektive Funktionen sind , auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv ist. |
Hallo , ich komme bei der Aufgabe nicht so ganz klar.
Ich weiß , wann eine Funktion injektiv ist :
[mm] \forall [/mm] a, a' [mm] \in [/mm] A , a [mm] \not= [/mm] a' => f(a) [mm] \not= [/mm] f(a')
Das Ding ist , ich weiß jetzt nicht , wie ich diese formale Definition auf die Aufgabe anwenden soll. Mir fehlt da so der praktische Bezug.
Wie ist bei so einer Aufgabe vorzugehen ?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo doc,
> Sei g: A -> B und f: B -> C
> Zeigen Sie , dass falls f und g beides injektive
> Funktionen sind , auch f [mm]\circ[/mm] g injektiv ist.
> Hallo , ich komme bei der Aufgabe nicht so ganz klar.
>
> Ich weiß , wann eine Funktion injektiv ist :
> [mm]\forall[/mm] a, a' [mm]\in[/mm] A , a [mm]\not=[/mm] a' => f(a) [mm]\not=[/mm] f(a')
Oder per Kontraposition: [mm]f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'[/mm]
>
> Das Ding ist , ich weiß jetzt nicht , wie ich diese
> formale Definition auf die Aufgabe anwenden soll. Mir fehlt
> da so der praktische Bezug.
>
> Wie ist bei so einer Aufgabe vorzugehen ?
Streng nach Def.
Von wo nach wo bildet [mm]f\circ g[/mm] ab?
Dann nimm dir zwei Elemente aus der Definitionsmenge [mm]x,x'[/mm] von [mm]f\circ g[/mm] her, für die du annimmst, dass [mm](f\circ g)(x)=(f\circ g)(x')[/mm] gilt.
Daraus musst du folgern, dass [mm]x=x'[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich muss mich erstmal an diese "Art" von Funktion gewöhnen , im Abi hatte ich nur f(x) = irgendwas aus der Definitionsmenge.
Aber hier habe ich ja quasi keine Funktionslgleichung gegeben und deswegen fällt mir das schwer , hier irgendwie voranzukommen.
Könntest du mir bitte ein Beispiel zeigen , wo die Funktionen konkrete Werte annehmen. Ich kann mir das echt schwer vorstellen.
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Hallo,
ich erachte es für sinnvoll, wenn du die Rückfragen beantwortest ...
1) kläre, von wo nach wo [mm] $f\circ [/mm] g$ abbildet.
Was bedeutet überhaupt [mm] $f\circ [/mm] g$ - was wird zuerst, was als zweites angewendet.
2) Gehe vor nach Definition, dazu sind diese bsphaften Aufgaben gedacht. Allein um den Umgang mit den Definitionen zu üben.
Das ist nicht sonderlich schwer ...
Mache dir 1) und 2) mal klar und versuche mal einen Ansatz.
Das hilft dir fürs Verständnis am meisten ...
Wir können das ja zusammen Schritt für Schritt machen ...
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank.
Also:
f [mm] \circ [/mm] g bedeutet g(f(x)).
g geht von A nach B
f geht von B nach C
Da fällt mir diese Transitivität bei den Relationen ein ( a->b , b->c, => a->c , vielleicht kann man das so ähnlich in Bezug auf Funktionen benutzen)
Ich bin mir nicht sicher , aber wenn f und g an sich injektiv sind , dann sollte auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv sein...
Mehr fällt mir leider nicht ein..
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank.
> Also:
> f [mm]\circ[/mm] g bedeutet g(f(x)).
Nein, andersherum, das bedeutet "f nach g", zuerst wird also g angewendet, dann f
Und [mm]g[/mm] bildet ab von A nach B, f von B nach C
Es bildet also [mm]f\circ g[/mm] ab von A über B (mittels g) nach C (mittels f)
> g geht von A nach B
> f geht von B nach C
>
> Da fällt mir diese Transitivität bei den Relationen ein (
> a->b , b->c, => a->c , vielleicht kann man das so ähnlich
> in Bezug auf Funktionen benutzen)
>
> Ich bin mir nicht sicher , aber wenn f und g an sich
> injektiv sind , dann sollte auch f [mm]\circ[/mm] g injektiv
> sein...
Nun ist geklärt:
[mm]f\circ g: A\to B\to C[/mm], also [mm]A\to C[/mm]
Nimm also 2 beliebige [mm]c_1,c_2\in \blue A[/mm] her mit [mm](f\circ g)(c_1)=(f\circ g)(c_2)[/mm]
Zeigen müssen wir [mm]c_1=c_2[/mm]
Dazu formen wir um: [mm](f\circ g)(c_1)=(f\circ g)(c_2)[/mm]
[mm]\gdw f(\red{g(c_1)})=f(\red{g(c_2)})[/mm] das ist die Definition der Verkettung.
Aus welcher Menge sind nun [mm]\red{g(c_1)}[/mm] und [mm]\red{g(c_2)}[/mm]?
Kläre das und benutze dann, dass [mm]f[/mm] injektiv ist.
Danach gucken wir weiter...
Gruß
schachuzipus
>
> Mehr fällt mir leider nicht ein..
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Hallo,
ja genau , also wir haben :
[mm] \gdw f(\red{g(c_1)})=f(\red{g(c_2)}) [/mm]
Ich versuchs mal:
g(c1) und g(c2) kommen aus der Menge bzw. Abbildung A->B,
da g : A->B
Und wenn ich f(g(c1)) = f(g(c2) habe und g injektiv ist , ist das doch das gleiche wie f(c1) = f(c2)
Und f is tja auch injektiv , also gilt f(c1) = f(c2) somit auch c1=c2.
Ist das so richtig ?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
> ja genau , also wir haben :
>
> [mm]\gdw f(\red{g(c_1)})=f(\red{g(c_2)})[/mm]
>
>
> Ich versuchs mal:
>
> g(c1) und g(c2) kommen aus der Menge bzw. Abbildung A->B,
nicht bzw.
Es sind [mm]g(c_1)[/mm] und [mm]g(c_2)[/mm] ELEMENTE der Menge B
Es sind ja Funktionswerte der Abbildung g
> da g : A->B
Genau, Funktionswerte unter g landen/sind aus der Menge B
>
> Und wenn ich f(g(c1)) = f(g(c2) habe und g injektiv ist ,
> ist das doch das gleiche wie f(c1) = f(c2)
Nein, das liegt daran, dass [mm]f[/mm] (!!!) injektiv ist.
Die Argumente von f, also [mm]g(c_1),g(c_2)[/mm] kommen aus dem Definitionsbereich von f, also aus B
Nennen wir mal [mm]g(c_1)=b_1[/mm] und [mm]g(c_2)=b_2[/mm] (aus B (!))
Dann gilt wegen der Injektivität von f und der Gleichheit [mm]f(b_1)=f(b_2)[/mm] auch [mm]b_1=b_2[/mm], also [mm]g(c_1)=g(c_2)[/mm]
Nun nur noch die Injektivität von g nutzen ...
Woher kommen die [mm]c_i[/mm] nochmal?
Was bedeutet g injektiv?
> Und f is tja auch injektiv , also gilt f(c1) = f(c2) somit
> auch c1=c2.
>
> Ist das so richtig ?
Nee, verdreht ...
Gruß
schachuzipus
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> Woher kommen die [mm]c_i[/mm] nochmal?
das sind beliebige [mm] c_i \in [/mm] C
> Was bedeutet g injektiv?
g(a) = g(a')
a = a' ( Kontraposition)
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Hallo nochmal,
> > Woher kommen die [mm]c_i[/mm] nochmal?
>
> das sind beliebige [mm]c_i \in[/mm] C
Ich fürchte, ich habe mich die ganze Zeit verschrieben.
Es ist ja [mm]f\circ g: A\to C[/mm], wir müssen also [mm]c_1,c_2[/mm] aus A hernehmen (aus dem Definitionsbereich der Verkettung)
> > Was bedeutet g injektiv?
>
> g(a) = g(a')
> [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] a = a' (Kontraposition)
Genau! Und gilt das hier?
Ja, denn g ist nach Vor. injektiv und die [mm]c_1,c_2[/mm] sind aus [mm]A[/mm] mit der Eigenschaft [mm]g(c_1)=g(c_2)[/mm]
Dh. wegen der Injektivität von g aber [mm]c_1=c_2[/mm], also genau das, was wir wollten.
Wir sollten die [mm]c_i[/mm] besser [mm]a_i[/mm] nennen, weil sie aus der Menge A sind, das habe ich leider einige Male falsch aufgeschrieben - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich editiere das mal in den anderen posts
Gehe das nun ein paar Male in Ruhe durch und versuche, jeden einzelnen Schritt nochmal für dich zu begründen in allen Details ...
Dann wird das auch was 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Di 19.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank für deine Hilfe , so langsam kriege ich den Dreh und die Struktur , wie man das angeht , raus.
Danke für deine ausführliche Hilfe.
Schönen Abend noch.
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Hallo nochmal,
> Wir sollten die [mm]c_i[/mm] besser [mm]a_i[/mm] nennen, weil sie aus der
> Menge A sind, das habe ich leider einige Male falsch
> aufgeschrieben -
War zum Glück nur einmal falsch aufgeschrieben ...
Hoffe, ich habe dich nicht komplett verwirrt ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 19.11.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Nien , keine Sorge , ich habe das Problem verstanden.
Ich habe auch grade paar Beispiele im Internet gefunden , die ich mir dann auch angucken werde um das Verständnis zu festigen.
Aber du hast mir auf jeden Fall geholfen ! Danke nochmal.
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