Funktion umstellen? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe die FUnktion
[mm] f(x,y,z)=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3
[/mm]
und ich soll Extrema finden.
Aber mit der FUnktion nun abzuleiten, dazu brauche ich ja ewig.
Also muss ich wohl etwas umstellen, aber ich sehe nicht was. Habt ihr einen Tipp?
Ich dachte eventuell an quadratische Ergänzung, aber ich habe das noch nie gemacht, nur an einem Beispiel und das war recht einfach. Außerdem habe ich hier ja [mm] z^3, [/mm] da ist ja mit quqdratischer Ergänzung eh nicht zu machen.
Lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Warum willst Du hier umstellen? Oder warum meinst Du, dass die Ableitungen "ewig brauchen"?
Die partiellen Ableitungen lassen sich doch blitzschnell finden, da man hier nur die  Potenzregel braucht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 25.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich mache es mir wahrsch selbst zu schwer.. danke!
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Aber dann hab ich doch noch eine Frage.
Ich tu mir sehr schwer bei solchen Funktionen die Nullstellen, also die stationären Punkte zu berechnen :(
$ [mm] f(x,y,z)=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3 [/mm] $
Die Ableitungen zu erst:
nach x: -4x+2y-2
nach y: 2x-6y-4
nach z: [mm] -3z^2+3
[/mm]
für -4x+2y-2=0 habe ich
-4x+2y=2
2(-2x+y)=2, also (-1/2,0)
Bei 2x-6y=4 und 2(x-3y)=4 und x-3y=2 habe ich (5,1)
Bei z habe ich:
[mm] -3z^2+3=0, [/mm] also [mm] z^2=1, [/mm] damit z=+ oder -1
Muss ich dann schreiben
(-1/2,0,1) und (-1/2,0,-1) sowie
(5,1,1) und (5,1,-1)?
Kann ich so vorgehen? Ich tu mir da noch schwer, gibt es Tricks, die ich anwenden kann?
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Dann bekomme ich für x=-1 und für y=-1, für z habe ich + und - 1.
-2 1 | 1
0 -2,5 | 2,5 => y=-1
in 1 einsetzen:
-2x-1=1 => x=-1
Sind meine Punkte dann
(-1,-1,1) und (-1,-1,-1)? Weil [mm] 3z^2=3 [/mm] waren und damit [mm] z^2=1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du bekommst drei Gleichungen.
[mm] f_{x,y,z}=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3
[/mm]
[mm] f_{x}'=-4x+2y-2
[/mm]
[mm] f_{y}'=2x-6y-4
[/mm]
[mm] f_{z}'=3z²+3
[/mm]
Damit bekommst du folgendes GLS
[mm] \vmat{-4x+2y-2=0\\2x-6y-4=0\\3z²=3}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{-2x+y=1\\2x-6y=4\\z²=1}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{-2x+y=2\\-5y=5\\z=\pm1}
[/mm]
Also alles korrekt
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 So 25.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
> Hallo
>
> Du bekommst drei Gleichungen.
>
> [mm]f_{x,y,z}=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3[/mm]
>
> [mm]f_{x}'=-4x+2y-2[/mm]
> [mm]f_{y}'=2x-6y-4[/mm]
> [mm]f_{z}'=3z²+3[/mm]
>
> Damit bekommst du folgendes GLS
>
> [mm]\vmat{-4x+2y-2=0\\2x-6y-4=0\\3z²=3}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{-2x+y=1\\2x-6y=4\\z²=1}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{-2x+y=2\\-5y=5\\z=\pm1}[/mm]
>
> Also alles korrekt
>
> Marius
Okay, die stationären Punkte sind also:
-1,-1,1 sowie
-1,-1,-1
nun stelle ich die 3x3 Hesse-Matrix auf:
-4 2 0
0 -6 0
0 0 -6z
Ich wäre jetzt zur Bestimmung der Definitheit so vorgegangen: (ich habe nur noch die Variable z, also setze ich nur noch z ein)
-4<0
[mm] det_1: [/mm] -6*-6>0
[mm] det_2: [/mm] -4*-6*-6z für z=1: 18>0, für z=-1: 30>0
Wie ist nun die Interpretationsregel bei 3x3 Matrizen? WÄre es hier dann ein Minimum, weil die Determinanten beide >0 sind und links oben <0 steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Dann bin ich beruhigt :)
Aber jetzt frage ich mich: Wie bestimme ich hier nun Extrema? Bei 2 Variablen kann ich die Hessematrix aufstellen, aber hier?
Oder stelle ich hier auch die Hessematrix auf? Nur wie sieht diese dann aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Auch hier darfst Du die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix aufstellen, welche bei 3 Variablen lautte:
[mm] $$H_f [/mm] \ = \ [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} }$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 25.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Okay, danke!
Aber ich muss wohl erstmal das Schema bei 2 Variablen verstehen. Ich warte mal ab, ob mir jemand bei den Fragen helfen kann, dann wende ich mich nochmal dieser Aufgabe zu.
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Ich stelle die Frage mal hinten an, vielleicht geht sie so sonst unter
> Hallo
>
> Du bekommst drei Gleichungen.
>
> [mm]f_{x,y,z}=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3[/mm]
>
> [mm]f_{x}'=-4x+2y-2[/mm]
> [mm]f_{y}'=2x-6y-4[/mm]
> [mm]f_{z}'=3z²+3[/mm]
>
> Damit bekommst du folgendes GLS
>
> [mm]\vmat{-4x+2y-2=0\\2x-6y-4=0\\3z²=3}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{-2x+y=1\\2x-6y=4\\z²=1}[/mm]
> [mm]\gdw\vmat{-2x+y=2\\-5y=5\\z=\pm1}[/mm]
>
> Also alles korrekt
>
> Marius
Okay, die stationären Punkte sind also:
-1,-1,1 sowie
-1,-1,-1
nun stelle ich die 3x3 Hesse-Matrix auf:
-4 2 0
0 -6 0
0 0 -6z
Ich wäre jetzt zur Bestimmung der Definitheit so vorgegangen: (ich habe nur noch die Variable z, also setze ich nur noch z ein)
-4<0
[mm] det_1: [/mm] -6*-6>0
[mm] det_2: [/mm] -4*-6*-6z für z=1: 18>0, für z=-1: 30>0
Wie ist nun die Interpretationsregel bei 3x3 Matrizen? WÄre es hier dann ein Minimum, weil die Determinanten beide >0 sind und links oben <0 steht?
Lieben Dank :)
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> Ich stelle die Frage mal hinten an, vielleicht geht sie so
> sonst unter
>
> > Hallo
> >
> > Du bekommst drei Gleichungen.
> >
> > [mm]f_{x,y,z}=-2x^2+2xy-2x-3y^2-4y-z^3+3z-3[/mm]
> >
> > [mm]f_{x}'=-4x+2y-2[/mm]
> > [mm]f_{y}'=2x-6y-4[/mm]
> > [mm]f_{z}'=3z²+3[/mm]
> >
> > Damit bekommst du folgendes GLS
> >
> > [mm]\vmat{-4x+2y-2=0\\2x-6y-4=0\\3z²=3}[/mm]
> > [mm]\gdw\vmat{-2x+y=1\\2x-6y=4\\z²=1}[/mm]
> > [mm]\gdw\vmat{-2x+y=2\\-5y=5\\z=\pm1}[/mm]
> >
> > Also alles korrekt
> >
> > Marius
>
> Okay, die stationären Punkte sind also:
>
> -1,-1,1 sowie
> -1,-1,-1
>
> nun stelle ich die 3x3 Hesse-Matrix auf:
>
> -4 2 0
> 0 -6 0
> 0 0 -6z
>
> Ich wäre jetzt zur Bestimmung der Definitheit so
> vorgegangen: (ich habe nur noch die Variable z, also setze
> ich nur noch z ein)
>
> -4<0
> [mm]det_1:[/mm] -6*-6>0
> [mm]det_2:[/mm] -4*-6*-6z für z=1: 18>0, für z=-1: 30>0
>
> Wie ist nun die Interpretationsregel bei 3x3 Matrizen? WÄre
> es hier dann ein Minimum, weil die Determinanten beide >0
> sind und links oben <0 steht?
Hallo,
bei 3x3-Matrizen schaut man sich am besten die Hauptminoren an, das sind die Determinanten der linken oberen Untermatrizen der 3x3-Matrix.
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}.
[/mm]
1, Hauptminor: det(1)
2. Hauptminor [mm] det\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 5 }
[/mm]
3. Hauptminor : [mm] \pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}
[/mm]
Die Regel für 3x3-Matrizen::
Alle Hauptminoren positiv ==> Minimum
gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> Maximum
Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==> Sattelpunkt.
Gruß v. Angela
>
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Und wann hätte ich gar keinen der 3 Fälle?
>
> bei 3x3-Matrizen schaut man sich am besten die Hauptminoren
> an, das sind die Determinanten der linken oberen
> Untermatrizen der 3x3-Matrix.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}.[/mm]
>
> 1, Hauptminor: det(1)
>
> 2. Hauptminor [mm]det\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 5 }[/mm]
>
> 3. Hauptminor : [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}[/mm]
>
> Die Regel für 3x3-Matrizen::
>
> Alle Hauptminoren positiv ==> Minimum
>
> gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> Maximum
>
> Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==>
> Sattelpunkt.
>
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> Und wann hätte ich gar keinen der 3 Fälle?
Hallo,
ömm - wenn keiner der drei Fälle zutrifft.
Wenn z.B. die det der Matrix =0 ist.
Gruß v. Angela
>
> >
> > bei 3x3-Matrizen schaut man sich am besten die Hauptminoren
> > an, das sind die Determinanten der linken oberen
> > Untermatrizen der 3x3-Matrix.
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}.[/mm]
> >
> > 1, Hauptminor: det(1)
> >
> > 2. Hauptminor [mm]det\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 5 }[/mm]
> >
> > 3. Hauptminor : [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\ 4&5&6\\7&8&9}[/mm]
> >
> > Die Regel für 3x3-Matrizen::
> >
> > Alle Hauptminoren positiv ==> Minimum
> >
> > gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> Maximum
> >
> > Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==>
> > Sattelpunkt.
> >
>
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Hallo,
darf ich dann doch nochmal eine Frage zum allgemeinen Lösen von Hessematrizen stellen?
Womit fange ich denn in der Regel an? Mit der ganzen Determinante, dann immer näher an die Zahl oben links oder anders rum und wieso?
Wir haben in der Vorlesung zB gesagt, wenn die Determinante < 0 ist weiß man sofort dass die Matrix indefinit ist.. aber er hat hier nur die ganze Determinante einer 2x2 Matrix gemeint (sie war allgemein gehalten, man weiß also nicht was oben links steht).
Und Semidefinitheit verstehe ich leider immernoch nicht. Ist das, wenn eine Determinante =0 ist? Und dann kann ich im Grunde sofort aufhören zu rechnen, da ich keine Aussage treffen kann?
Hierzu hatten wir das Beispiel:
[mm] f(x,y)=x^4+y^4 [/mm] und [mm] g(x,y)=x^3+y^3
[/mm]
Hessematrizen:
für f
[mm] 12x^2 [/mm] 0
0 [mm] 12y^2
[/mm]
für g
6x 0
0 6y
Die Determinanten sind also 0
Dann wurde gesagt:
Hessematrix von f ist semidefinit, weil [mm] 12x^3\ge0 [/mm] und [mm] 144x^2y^2\ge0
[/mm]
und demnach ist auch an der Stelle (0,0) (war bei der ersten ABleitung einziger stationärer Punkt) ein GLOBALES Minimum - warum wird das hier so gemacht? Macht man das immer bei Semidefinitheit oder was soll mir dieses Verfahren zeigen?
Bei g geht das ja angeblich nicht.
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> Hallo,
>
> darf ich dann doch nochmal eine Frage zum allgemeinen Lösen
> von Hessematrizen stellen?
>
> Womit fange ich denn in der Regel an?
Hallo,
das ist natürlich im Grunde völlig egal. Ich würde aber doch mit der großen determinante beginnen, denn wenn die =0 ist, kannst Du Dir den kompletten Rest sparen, denn Du kommst in diesem Fall mit der Hessematrix nicht weiter.
Wir haben doch jetzt notiert, welche Informationen man der 2x2- bzw. 3x3-Hessematrix in welchem Fall entnehmen kann.
In den andern Fällen bringt uns die Hessematrix nichts, und ob die nun positiv semidefinit oder sonstwas ist, bringt einen nicht weiter.
> Hierzu hatten wir das Beispiel:
>
> [mm]f(x,y)=x^4+y^4[/mm] und [mm]g(x,y)=x^3+y^3[/mm]
>
> Hessematrizen:
>
> für f
> [mm]12x^2[/mm] 0
> 0 [mm]12y^2[/mm]
>
> für g
> 6x 0
> 0 6y
>
> Die Determinanten sind also 0
Ich reime mir mal zusammen, daß Ihr in beiden fällen erstaml einen kritischen Punkt bei (0|0) gefunden habt.
Die det. der Hessematrizen sind =0, wir erhalten hier also keine Informationen.
Es ist aber für alle [mm] (x,y)\in \IR^2 f(x,y)=x^4+y^4[/mm] \ge [/mm] 0= f(0,0), und daher hat die Funktion an der Stelle (0|0) ein globales Minimum - denn alle anderen Funktionswerte sind größer oder gleich dem (0|0).
Bei der Funktion g klappt das nicht. In jeder noch so kleinen Umgebung von (0|0) finde ich Punkte, deren Funktionswert negativ ist und solche, deren Funktionswert positiv ist. Also ist bei (0|0) kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt.
Dies sind solche Untersuchen, die ich meine, wenn ich sage "Man muß sich etwas anderes ausdenken, wenn die Hessematrix nicht funktioniert.".
Diese hier waren einfach, aber das kann durchaus diffizil werdenn. Allerdings nicht in Klausuren für arme WiWis.
Gruß v. Angela
.
>
> Dann wurde gesagt:
>
> Hessematrix von f ist semidefinit, weil [mm]12x^3\ge0[/mm] und
> [mm]144x^2y^2\ge0[/mm]
> und demnach ist auch an der Stelle (0,0) (war bei der
> ersten ABleitung einziger stationärer Punkt) ein GLOBALES
> Minimum - warum wird das hier so gemacht? Macht man das
> immer bei Semidefinitheit oder was soll mir dieses
> Verfahren zeigen?
>
> Bei g geht das ja angeblich nicht.
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du darauf! Verwende die ersten beiden Gleichungen als Gleichungssystem, um $x_$ und $y_$ zu bestimmen.
