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| Aufgabe | 1. Bestimme in f(x)=mx+t die Koeffizienten m und t so, dass gilt:
a) f(f(x))=f(x)
b) f(f(x))=x
2. Bestimme in f(x)= [mm] \bruch{ax+b}{cx+d} [/mm] die Koeffizienten a, b, c und d so, dass f(f(x))=x ist. |
Hallo Ihr lieben,
ich sitze jetzt schon längere Zeit vor diesen Aufgaben und finde einfach keine passende Lösung für 1 a oder geschweige denn 2. Für ein b hätte ich m=1 und t=0 im Angebot, welche ich durch probieren herausgefunden habe. Gibt es irgend eine Formel oder wie finde ich die Koeffizienten?!
Viel Dank schon einmal im Voraus.
Lg Kathi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kathi!
Für $f(x) \ = \ m*x+t$ gilt:
$$f[f(x)] \ = \ m*(m*x+t)+t \ = \ [mm] m^2*x+m*t+t [/mm] \ = \ [mm] m^2*x+t*(m+1)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Meinen Berechnungen nach macht die 1a nur dann Sinn, wenn m=0 ist, dann ist der x-Wert egal und wir haben abhängig vom y-Achsenabschnitt den Punkt (0/t), weil wir nach dem Gleichsetzen von
[mm] m^{2}x+mt+t=mx+t
[/mm]
t=t
erhalten. Somit wäredie Bedingung f(f(x))=f(x) doch erfüllt oder??
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Hallo, du hast also die Funktion f(x)=t Steffi
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Mir ist klar, dass ich dann f(x)=t erhalte.
Meine Frage ist jetzt eben, ob es da irgend eine Formel gibt oder ob einem da nur das einfache und zeitaufwendige ausprobieren bleibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 09.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Du führst einen "Koeffizeintenvergleich" durch.
Es steht da: $ m [mm] \cdot [/mm] x + t = [mm] m^2 \cdot [/mm] x + t [mm] \cdot(m [/mm] +1)$
Du kannst das anssehen, als zwei Geraden, die genau aufeinander liegen. Dazu muss die Steigung gleich sein, also $m = [mm] m^2$. [/mm] Außerdem muss der Achsenabschnitt gleich groß sein, also $t = t [mm] \cdot [/mm] (m +1)$.
Aus diesen beiden Bedingungen kannst Du nun herleiten, welche Werte für m und t möglich sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo chrisno, als zweite Gleichung ist doch aber 1=m+1 anzugeben, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Sa 09.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Das kann man so oder so sehen. Ich sehe das konstante Glied eines Polynoms in x. Diese Sicht halte ich im Moment für geeigneter, da so an das Vertändnis der Geradengleichung angeknüpft wird. Natürlich kann man das auch als Funktion in zwei Variablen sehen.
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