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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | Zeigen sie das [mm] f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2) [/mm] in (0,0) kein lokales Mimimum besitzt, aber sämtliche Einschränkungen auf einer Geraden durch den Nullpunkt [mm] g(t)=f(tx_0,ty_0) [/mm] in (0,0) lokale isolierte Minima haben. |
Hi!
Als erstes habe ich die Hessematrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ -6y+24x^2 & -6x \\ -6x & 2 } [/mm]
H(0,0)= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] also sind die Eigenwerte 0 und 2, d-h- die Hessematrix ist positiv semidefinit. Das sagt mir ja jetzt nichts über Extrema oder? Also immer wenn die Hessematrix positiv oder negativ semidefinit ist hab ich noch nichts erreicht. Ich habe einen Tipp zu dieser Aufgabe gefunden: Um zu zeigen dass in (0,0) kein lok. Minimum liegt schau ich mir die Funktion an. Sei nun [mm] x^2
Diesen Tipp verstehe ich nicht, Wie kann man so folgern? Weiterhin wird mit der geraden argumentiert:
Sei y=tx
[mm] (tx-x^2)(tx-2x^2)<0 [/mm] für x<t<2x [mm] (x^2 [/mm] ausklammern und dann die Klammer nach [mm] x^2 [/mm] wieder faktorisieren)
bzw x=ty ...
Kann mir das jmd erklären?
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Hallo doom0852,
ein Blick auf die Funktionsgleichung [mm] f(x,y)=(y-x^2)*(y-2\,x^2)
[/mm]
könnte einen auf die Idee bringen, einmal nachzuschauen,
was passiert, wenn man Punkte (x|y) mit [mm] y=1.5\,x^2 [/mm] betrachtet,
also Punkte, die auf einer Parabel liegen, welche zwischen
den Parabeln [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=2\,x^2 [/mm] liegt ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
Naja für alle x ist [mm] y=1.5x^2 [/mm] positiv.
Das Gleiche gilt für [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=2x^2. [/mm] Da [mm] 1.5x^2 [/mm] dazwischen liegt und für [mm] y=x^2 [/mm] bzw [mm] y=2x^2 [/mm] f(x,y)=0 wird, bedeutet doch dass dazwischen kein Minimum existieren kann, oder? Aber was hat das jetzt mit der Aufgabe zu tun? Und vor allem mit dEr Geraden.
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> Naja für alle x ist [mm]y=1.5x^2[/mm] positiv.
Darum ging es mir aber nicht.
> Das Gleiche gilt für [mm]y=x^2[/mm] und [mm]y=2x^2.[/mm] Da [mm]1.5x^2[/mm]
> dazwischen liegt und für [mm]y=x^2[/mm] bzw [mm]y=2x^2[/mm] f(x,y)=0 wird,
> bedeutet doch dass dazwischen kein Minimum existieren kann,
> oder? Aber was hat das jetzt mit der Aufgabe zu tun? Und
> vor allem mit dEr Geraden.
Mein Tipp geht dahin: Wenn P(x|y) auf der Parabel mit
der Gleichung [mm] y=1.5\,x^2 [/mm] liegt, dann wird f(x,y) negativ,
falls [mm] x\not=0 [/mm] (Beweise dies zunächst einmal !). Daraus kann
man dann auch schließen, dass in (0|0) kein Minimum der
Funktion f liegen kann (überlege dir, weshalb !).
Dann kommt der zweite Teil der Aufgabe: betrachte die
Funktion, beschränkt auf eine beliebige Gerade durch
den Nullpunkt, und zeige, dass die entstehende Funktion
im Nullpunkt stets ein lokales Minimum hat.
Als Hilfe für die anschauliche Vorstellung könnte es
durchaus sinnvoll sein, sich den graphischen Verlauf
der Funktionsfläche von f (auch unter Zuhilfenahme
der Vorüberlegungen mittels der 3 Parabeln) klar zu
machen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
Ok soweit so gut für y setze ich [mm] 1.5x^2 [/mm] ein und sehe dann einfach direkt durch das was folgt [mm] 1/4*x^4 [/mm] <0 . Aber ich hab mal die Funktion geplottet ich sehe da nirgends Parabeln. Und ich kanns mir ums Verrecken(sorry) nicht mehr vorstellen, warum ich jetzt qweiß dass da kein Minimum ist! Ein guter Tipp wäre mir jetztrecht, da ich es morgen abgeben muss und noch andere Aufgaben bearbeiten muss. Danke!
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> Ok soweit so gut für y setze ich [mm]1.5x^2[/mm] ein und sehe dann
> einfach direkt durch das was folgt [mm]1/4*x^4[/mm] <0 . Aber ich
> hab mal die Funktion geplottet ich sehe da nirgends
> Parabeln.
Hallo,
entlang der ganzen Parabeln [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=2\,x^2 [/mm] verschwindet
die Funktion f (d.h. da hat sie Nullstellen).
Zwischen diesen beiden Parabeln liegt aber die dritte (und
unendlich viele weitere), entlang deren die Funktion negative
Werte annimmt. Insgesamt gibt dies ein zangenförmiges
Gebiet in der x-y-Ebene, das bis an den Nullpunkt heran
reicht - dort "beißt" die Zange - wo f(x,y)<0 ist. In beliebiger
Nähe zu (0|0) liegen also Punkte mit negativen Funktionswerten.
Deshalb kann f in (0|0) kein Minimum mit dem Wert 0 haben.
Wenn man sich dem Nullpunkt aber nicht entlang einer gekrümmten
Linie nähert, sondern geradlinig, kann man dabei z.B. nicht
in das Gebiet mit negativen f-Werten eindringen, und es ergibt
sich ein lokales Minimum in (0|0). Zu diesem Nachweis kannst
du zwei beliebige von 0 verschiedene Konstanten C und D
voraussetzen und x:=t*C , y:=t*D setzen. Betrachte dann
die entstehende Funktion F(t):=f(x(t),y(t)) in der Umgebung
der Stelle t=0 !
LG Al-Chw.
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