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Funktionalgleichung 2: Funktionalgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Sa 21.05.2011
Autor: KingStone007

Hallo,
ich schaue mir folgende Aufgabe an als Vorbereitung auf Matheolympiaden.
Es sind alle Funktionen gesucht, die von R auf R abbilden und der folgenden Gleichung genügen:
f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²

Da ich bereits einiges zeigen konnte, werde ich die Beweise für diese Teilschritte nicht mehr mit angeben.
(1) f ist bijektiv
(2) Es gilt für alle x: f(x)=-f(-x)
(3) f(f(x))=x   Die Funktion ist also zu sich selbst invers.
(4) f(0)=0

Nun, da f(x)=x offenbar die Gleichung erfüllt, denke ich, muss man zeigen, dass dies die einzige Funktion ist, die den Bedingungen genügt. Nach dem Beweis der Schritte (1)-(4) komme ich aber nun nicht weiter.
Es wäre echt nett, wenn mir jmd. von euch helfen könnte. :)

Lg, David

        
Bezug
Funktionalgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Sa 21.05.2011
Autor: reverend

Hallo David,

scharfe Aufgabe.

Du bist fast fertig. Es gibt aber m.E. zwei Funktionen, die alle Bedingungen erfüllen.

> Es sind alle Funktionen gesucht, die von R auf R abbilden
> und der folgenden Gleichung genügen:
>  f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²
>  
> Da ich bereits einiges zeigen konnte, werde ich die Beweise
> für diese Teilschritte nicht mehr mit angeben.
>  (1) f ist bijektiv
>  (2) Es gilt für alle x: f(x)=-f(-x)
>  (3) f(f(x))=x   Die Funktion ist also zu sich selbst
> invers.
>  (4) f(0)=0

Mal anschaulich:
(2) Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
(3) Die Funktion ist spiegelsymmetrisch zur Geraden y=x.
(4) Die Funktion geht durch den Ursprung (was hier übrigens schon in (2) enthalten ist).

Die Bedingungen (2) und (3) werden nur erfüllt von folgenden zwei Funktionen:
f(x)=x
f(x)=-x

Dies folgt aus einer einfachen geometrischen Überlegung. Bedingung (2) kann, wenn auch (3) vorliegt, ja durch Spiegelsymmetrie zur Geraden y=-x ersetzt werden - analytisch gesprochen: f(-x)=-f(x).

> Nun, da f(x)=x offenbar die Gleichung erfüllt, denke ich,
> muss man zeigen, dass dies die einzige Funktion ist, die
> den Bedingungen genügt. Nach dem Beweis der Schritte
> (1)-(4) komme ich aber nun nicht weiter.
>  Es wäre echt nett, wenn mir jmd. von euch helfen könnte.
> :)

Reicht Dir das als Anstoß?

Grüße
reverend


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Funktionalgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 So 22.05.2011
Autor: KingStone007

Hallo,
ach Mist, die Funktion hatte ich übersehen. Naja, jedenfalls verstehe ich zwar die Schritte, aber wirklich bei einem Beweis komme ich leider nicht weiter.

Lg, David

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Funktionalgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 22.05.2011
Autor: reverend

Hallo David,

ich denke, der einfachste Weg ist zu zeigen, dass [mm] f'(x)=\bruch{1}{f'(x)} [/mm] sein muss. Dies folgt daraus, dass f(x) seine eigene Umkehrfunktion ist.
Versuchs mal. Die letzten Schritte sind ja nicht schwierig, der Anfang schon.

Grüße
reverend

PS: Die reinen Symmetriebedingungen werden übrigens auch von Kreisen, 2n-Ecken und einigen anderen symmetrischen geschlossen Kurven (z.B. Kleeblatt, sternförmige Funktionen etc.) in passender Lage erfüllt - sie haben allerdings drei Eigenschaften, die hier nicht passen: sie sind höchstens als implizite Funktion darstellbar (z.B. $ [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] $), sie enthalten den Ursprung nicht (außer im entarteten Fall r=0 etc.), und sie bilden nicht ganz [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR [/mm] ab. ;-)

Bezug
                                
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Funktionalgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 So 22.05.2011
Autor: fred97


> Hallo David,
>  
> ich denke, der einfachste Weg ist zu zeigen, dass
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{f'(x)}[/mm] sein muss.


Hallo Rev,

f ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt.

Gruß FRED

> Dies folgt daraus, dass
> f(x) seine eigene Umkehrfunktion ist.
> Versuchs mal. Die letzten Schritte sind ja nicht schwierig,
> der Anfang schon.
>  
> Grüße
>  reverend
>  
> PS: Die reinen Symmetriebedingungen werden übrigens auch
> von Kreisen, 2n-Ecken und einigen anderen symmetrischen
> geschlossen Kurven (z.B. Kleeblatt, sternförmige
> Funktionen etc.) in passender Lage erfüllt - sie haben
> allerdings drei Eigenschaften, die hier nicht passen: sie
> sind höchstens als implizite Funktion darstellbar (z.B.
> [mm]x^2+y^2=r^2 [/mm]), sie enthalten den Ursprung nicht (außer im
> entarteten Fall r=0 etc.), und sie bilden nicht ganz [mm]\IR[/mm]
> auf [mm]\IR[/mm] ab. ;-)


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Funktionalgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 22.05.2011
Autor: reverend

Hallo Fred,


> > ich denke, der einfachste Weg ist zu zeigen, dass
> > [mm]f'(x)=\bruch{1}{f'(x)}[/mm] sein muss.
>
> Hallo Rev,
>  
> f ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt.
>  
> Gruß FRED

Mist, stimmt.
Aber wie formuliert man dann einen einfachen Weg, der aus den Voraussetzungen zu den beiden Lösungen führt?

Grüße
rev


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Funktionalgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 So 22.05.2011
Autor: KingStone007

Hmm.. Warum kann ich eigentlich nicht aus:

f(xf(x)+f(y))=y+f(x)² auch auf der rechten Seite f(x) durch x ersetzen. Würde dies irgendwie aus f(f(x))=x folgen?

Also f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²=y+x² ---> f(x)=+-x ?!

Lg, David

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Funktionalgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 So 22.05.2011
Autor: fred97


> Hmm.. Warum kann ich eigentlich nicht aus:
>
> f(xf(x)+f(y))=y+f(x)² auch auf der rechten Seite f(x)
> durch x ersetzen. Würde dies irgendwie aus f(f(x))=x
> folgen?

Im allgemeinen ist $f(f(x)) [mm] \ne f(x)^2$ [/mm]

FRED


>  
> Also f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²=y+x² ---> f(x)=+-x ?!
>  
> Lg, David


Bezug
                                                                
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Funktionalgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 So 22.05.2011
Autor: KingStone007

Naja mal formal aufgeschrieben wäre:

f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²   I

Setzen wir mal f(x)=t dann erhalten wir f(t)=f(f(x))=f(t)=x nach Bedingung (2) oder so.

Dann erhalten wir f(tf(t)+f(y))=f(x(f(x)+f(y))=y+f(t)²=y+x²   II
I und II sind offenbar gleich, also f(x)²=x² und dadurch f(x)=|x|, woraus die beiden Funktionen folgen würden.

Geht das so?

Lg, David


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Funktionalgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 22.05.2011
Autor: fred97


> Naja mal formal aufgeschrieben wäre:
>  
> f(xf(x)+f(y))=y+f(x)²   I
>  
> Setzen wir mal f(x)=t dann erhalten wir f(t)=f(f(x))=f(t)=x
> nach Bedingung (2) oder so.
>  
> Dann erhalten wir
> f(tf(t)+f(y))=f(x(f(x)+f(y))=y+f(t)²=y+x²   II
>  I und II sind offenbar gleich, also f(x)²=x² und dadurch
> f(x)=|x|,

Prima !

>  woraus die beiden Funktionen folgen würden.
>  
> Geht das so?

Fast. Wegen f(x)=-f(-x) folgt dann:  f(x)=x für alle x oder f(x)=-x für alle x

FRED

>  
> Lg, David
>    


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Funktionalgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:19 So 22.05.2011
Autor: KingStone007

Sehr nice. Danke euch! :)

Lg, David

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Bezug
Funktionalgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 So 22.05.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Sehr nice. Danke euch! :)

Na, das war aber kaum nötige Schützenhilfe.
Den eleganten Einfall für die Lösung hattest Du immerhin selbst.

Weiter so!

Grüße
reverend


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