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Funktionalmatrix: Altklausur-Aufgabe #2
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:36 Sa 21.09.2013
Autor: ggT

Aufgabe
Gegeben sei: [mm] $f:\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] mit
$f(x,y) := (xcosy, xsiny)$

a) Berechne die Funktionalmatrix $Df(x,y)$.
b) Beschreibe möglichst einfach die Menge $K$ aller $(x,y)$, für die $Df(x,y)$ invertierbar ist.
c) Finde eine Offene Teilmenge C von [mm] \IR^2, [/mm] so dass f(C) nicht offen in [mm] \IR^2 [/mm] ist und begründe.





Ich hoffe, die Funktionalmatrix sollte so erst einmal richtig sein, bei b) und c) komme ich dann nicht so wirklich weiter.

zu a)
[mm] $f_{1x} [/mm] = cosy$
[mm] $f_{1y} [/mm] = -xsiny$
[mm] $f_{2x} [/mm] = siny$
[mm] $f_{2y} [/mm] = xcosy$

$Df := [mm] \pmat{ cosy & -xsiny \\ siny & xcosy }$ [/mm]

zu b)
Hm, hier muss ich dann "einfach" die Matrix invertieren? Oder muss ich vorher erst irgendwas berechnen, um das direkt "sehen zu können"?

zu c)
Hier hab ich leider überhaupt keine Ahnung wie das gehen soll. Sehe so eine Aufgabe dieses Semester das erste Mal.


Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Funktionalmatrix: a), b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Sa 21.09.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben sei: [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit
>  [mm]f(x,y) := (xcosy, xsiny)[/mm]
>  
> a) Berechne die Funktionalmatrix [mm]Df(x,y)[/mm].
>  b) Beschreibe möglichst einfach die Menge [mm]K[/mm] aller [mm](x,y)[/mm],
> für die [mm]Df(x,y)[/mm] invertierbar ist.
>  c) Finde eine Offene Teilmenge C von [mm]\R^2,[/mm] so dass f(C)
> nicht offen in [mm]\R^2[/mm] ist und begründe.
>  
> Ich hoffe, die Funktionalmatrix sollte so erst einmal
> richtig sein, bei b) und c) komme ich dann nicht so
> wirklich weiter.
>  
> zu a)
>  [mm]f_{1x} = cost[/mm]
>  [mm]f_{1y} = -rsint[/mm]
>  [mm]f_{2x} = sint[/mm]
>  [mm]f_{2y} = rcost[/mm]
>  
> [mm]Df := \pmat{ cost & -rsint \\ sint & rcost }[/mm]

???? Mit [mm] $f=(f_1,f_2)$ [/mm] ist

    [mm] $J_f(x,y)=\pmat{\partial f_1(x,y)/\partial x, & \partial f_1(x,y)/\partial y \\ \partial f_2(x,y)/\partial x, & \partial f_2(x,y)/\partial y},$ [/mm]

also

    [mm] $J_f(x,y)=\pmat{\cos(y), & -x \sin(y) \\ \sin(y), & x \cos(y)}$ [/mm]

Was da Dein [mm] $r,t\,$ [/mm] soll: Keine Ahnung... (Was bringt eine Umbenennung [mm] $x=r\,$ [/mm]
und [mm] $y=t\,$?) [/mm]

>  
> zu b)
>  Hm, hier muss ich dann "einfach" die Matrix invertieren?
> Oder muss ich vorher erst irgendwas berechnen, um das
> direkt "sehen zu können"?

"Können" kann man viel, müssen muss man wenig. Für $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen gibt
es explizit eine Formel für die Inverse - insbesondere erkennt man anhand
der Formel auch, wann sie (nicht) existiert.

Zudem gibt es aber einen  tollen Zusammenhang, der besagt, was die
Determinante einer Matrix mit der Invertierbarkeit zu tun hat. Bekannt?
Oder mal gehört und (schon) wieder vergessen? Schlag's mal nach...

Hilfreich ist es auf jeden Fall, [mm] $\det(J_f(x,y))$ [/mm] auszurechnen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Funktionalmatrix: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:35 So 22.09.2013
Autor: ggT

Oh sorry, da oben bin ich einfach mit den Aufgaben etwas durcheinander gekommen, meinte da natürlich $x$ und $y$, anstatt $r$ und $t$...

Ja, also die Determinante darf nicht 0 sein, sonst ist es nicht invertierbar.
Dann berechne ich mal die Determinante:

$det(Df(x,y))=cos(y)*x cos(y) - (-x sin(y))*sin(y))$
[mm] $=x(cos(y))^2+x(sin(y))^2=x[(cos(y))^2+(sin(y))^2]$ [/mm]

Das heißt also, $x [mm] \not= [/mm] 0$ muss schonmal gelten.
Dann hab ich von oben ja noch übrig:
[mm] $(cos(y))^2+(sin(y))^2 \not= [/mm] 0$
bzw.
[mm] $(cos(y))^2 \not= -(sin(y))^2$ [/mm]
Nur wie bekomm ich das jetzt aufgelöst, kann ja die Wurzel nicht ziehen, wegen dem Minus auf der rechten Seite der Gleichung, ist aber auch schon spät, vielleicht hab ich einfach nur nen Brett vorm Kopf. :)

Bezug
                        
Bezug
Funktionalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:01 So 22.09.2013
Autor: Helbig

Hallo ggT,

> Oh sorry, da oben bin ich einfach mit den Aufgaben etwas
> durcheinander gekommen, meinte da natürlich [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm],
> anstatt [mm]r[/mm] und [mm]t[/mm]...
>  
> Ja, also die Determinante darf nicht 0 sein, sonst ist es
> nicht invertierbar.
>  Dann berechne ich mal die Determinante:
>  
> [mm]det(Df(x,y))=cos(y)*x cos(y) - (-x sin(y))*sin(y))[/mm]
>  
> [mm]=x(cos(y))^2+x(sin(y))^2=x[(cos(y))^2+(sin(y))^2][/mm]
>  
> Das heißt also, [mm]x \not= 0[/mm] muss schonmal gelten.

Halb richtig! $x [mm] \ne [/mm] 0$ ist nicht nur notwendig sondern auch hinreichend für die Invertierbarkeit.

>  Dann hab ich von oben ja noch übrig:
>  [mm](cos(y))^2+(sin(y))^2 \not= 0[/mm]
>  bzw.
>  [mm](cos(y))^2 \not= -(sin(y))^2[/mm]
>  Nur wie bekomm ich das jetzt
> aufgelöst, kann ja die Wurzel nicht ziehen, wegen dem
> Minus auf der rechten Seite der Gleichung, ist aber auch
> schon spät, vielleicht hab ich einfach nur nen Brett vorm
> Kopf. :)

Ja! Und was für ein dickes! Der Satz des Pythagoras räumt das Brett weg!

Gruß,
Wolfgang


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Funktionalmatrix: Rückfrage und c)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:27 So 22.09.2013
Autor: ggT

Oh, ja da hatte ich tatsächlich eins vorm Kopf. :)

Da [mm] $(cosy)^2+(siny)^2=1$ [/mm] kann es natürlich nicht $0$ werden und spielt somit keine Rolle bei der Invertierbarkeit.
Also ist dann tatsächlich $x [mm] \not= [/mm] 0$ die einzige Bedingung.

Wie gebe ich das jetzt am Besten an?
$K = {f(x,y) | x [mm] \not= [/mm] 0; x,y [mm] \in \IR}$ [/mm]
ist das so ok?

und hätte bei der c) einer nen Tipp, wie ich der offenen Teilmenge mache, da habe ich keine Idee

Bezug
                                        
Bezug
Funktionalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 So 22.09.2013
Autor: Marcel

Hallo,

zur Rückfrage:

> Wie gebe ich das jetzt am Besten an?
>  [mm]K = \{f(x,y) | x \not= 0; x,y \in \IR\}[/mm]
>  ist das so ok?

Nein; warum schreibst Du denn [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] da in die Menge? Die Menge aller [mm] $\red{(x,y)} \in \IR^2,$ [/mm] für die
[mm] $J_f(x,y)=...$ [/mm] (siehe Rechnung) invertierbar ist, schreibst Du einfach so:

    [mm] $K=\{(x,y):\;\; x \not=0;\;x,y \in \IR\}$ [/mm] (schreibt ihr Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Zeilenvektoren?
    Ansonsten kannst Du ja transponieren...)

Oder etwa so:

    [mm] $K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;J_f(x,y) \text{ ist invertierbar}\}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; x \not=0\}$ ($=\{(x,y):\;\; x \not=0;\;x,y \in \IR\}=...$ $\leftarrow$ da gibt's noch viele Notationsalternativen!) P.S. Man würde vielleicht auch besser $K=K_f$ schreiben - dann erkennt man besser, dass $K\,$ mit $f\,$ "in Zusammenhang steht"! Gruß, Marcel [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Funktionalmatrix: Teilaufgabe c) Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:57 So 22.09.2013
Autor: ggT

Hallo,

ja die Schreibweise gefällt mir dann glaub ich am Besten:
$ [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; x \not=0\} [/mm] $

Ja, dann bliebe bei der Aufgabe nur noch die Teilaufgabe c). Könntet ihr mir da nen Ansatz oder Ähnliches geben, weil ich da wirklich so gar nicht weiter weiß oder wird das dann ein zeilenlanger Beweis, dann sehe ich da wenig Chancen.
Ich weiß jetzt nicht groß wie ich die Aufgabe interpretieren soll, f(C) soll ja nicht offen sein, das würde für mich heißen, dass es irgendwie den Rand mit einschließt, aber so richtig kann ich damit nichts anfangen...

Gruß ggT

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionalmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 25.09.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Funktionalmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 25.09.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Funktionalmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mi 25.09.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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