Funktionalmatrix von fog < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 30.09.2004 | | Autor: | MAOAM |
Hallo allerseits,
Bald habe ich mein Vordiplom in Mathe und stehe vor dieser wahrscheinlcih einfachen aber für mich nicht machbaren Frage, denn ich weiss nicht was verlangt wird. Also kann mir da jemand auf die Sprünge helfen:
wie sieht die Funktionalmatrix von fog aus?
[mm] f:\IR^{m} \to\IR^{n}
[/mm]
[mm] g:\IR^{l} \to\IR^{n}
[/mm]
vielen Dank im Vorraus, Sergej.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:26 Do 30.09.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Sergej!
> Hallo allerseits,
>
> Bald habe ich mein Vordiplom in Mathe und stehe vor dieser
> wahrscheinlcih einfachen aber für mich nicht machbaren
> Frage, denn ich weiss nicht was verlangt wird. Also kann
> mir da jemand auf die Sprünge helfen:
> wie sieht die Funktionalmatrix von fog aus?
> [mm]f:\IR^{m} \to\IR^{n}
[/mm]
> [mm]g:\IR^{l} \to\IR^{n}
[/mm]
> vielen Dank
> im Vorraus, Sergej.
Du meinst mit fog sicher $f [mm] \circ [/mm] g$. Dann bestimmt man die Funktionalmatrix von $f [mm] \circ [/mm] g$ durch Matrizenmultiplikation der Funktionalmatrizen von $f$ und $g$. Offenbar stimmen die Zielbereich bei dir nicht, weil die Funktion $f$ so beschrieben werden müsste:
$f: [mm] \IR^n \to \IR^m$. [/mm] Warum? Nun stelle dir mal einen Vektor im [mm] $\IR^l$ [/mm] vor. Den veränderst du mit deiner Funktion $g$ zunächst in einen Vektor im [mm] $\IR^n$. [/mm] Und nun soll deine Funktion $f$ von diesem Vektor in einen anderen Zielbereich gehen, z.B. [mm] $\IR^m$. [/mm] Ich hoffe das ist dir klar. Sonst gibt es nämlich auch bei der Matrizenmultiplikation Probleme, weil die Typen der Matrizen nicht zueinander passen.
Wenn dann $M(g)$ die Funktionalmatrix zu $g$ ist und und $M(f)$ die zu $f$ (jeweils mit den kanonischen Basen versehen), dann ist die Funktionalmatrix zu $f [mm] \circ [/mm] g $ die Matrix [mm]M(f\circ g) = M(g)\cdot M(f)[/mm].
Ich hoffe keinen Fehler übersehen zu haben ansonsten Frage mitte noch einmal nach.
Gruß Micha
PS: An alle Tutoren: Es wäre gut, wenn mir jemand die Antwort als korrekt markiert, wenn alles ok ist 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sergej,
> Bald habe ich mein Vordiplom in Mathe und stehe vor dieser
> wahrscheinlcih einfachen aber für mich nicht machbaren
> Frage, denn ich weiss nicht was verlangt wird. Also kann
> mir da jemand auf die Sprünge helfen:
> wie sieht die Funktionalmatrix von fog aus?
> [mm]f:\IR^{m} \to\IR^{n}
[/mm]
> [mm]g:\IR^{l} \to\IR^{n}
[/mm]
> vielen Dank
> im Vorraus, Sergej.
Wie Hathorman schon anmerkte, stimmen hier die Dimensionen nicht, denn der Bildbereich von g muss mit dem Definitionsbereich von f zusammenfallen.
Mit Funktionalmatrix ist hier die Jacobi-Matrix gemeint.
Für die Verkettung zweier Funktionen gibt es auch hier eine Kettenregel:
Sei [mm] $f:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] und [mm] $g:\IR^l\to\IR^n$ [/mm] und [mm] $x_0\in\IR^l$ [/mm] und [mm] $y_0:=g(x_0)\in\IR^n$
[/mm]
Dann ist [mm] $f\circ [/mm] g$ eine Abbildung [mm] $\IR^l\to\IR^n$ [/mm] die Funktionalmatrix von [mm] $f\circ [/mm] g$ bzgl. Standardbasen definiert als:
[mm] $\mathcal{J}(f\circ g;x_0)=\pmat{ \bruch{\partial (f\circ g)_1}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial (f\circ g)_1}{\partial x_l}(x_0)\\\vdots&\ddots&\vdots\\ \bruch{\partial (f\circ g)_m}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial (f\circ g)_m}{\partial x_l}(x_0)}$
[/mm]
Wenn nun [mm] $\mathcal{J}(g;x_0)$ [/mm] und [mm] $\mathcal{J}(f;y_0)$ [/mm] die Jocobi-/Funktionalmatrizen von g und f sind (immer bzgl. fest gewählter Basen der drei Vektorräume), dann gilt für die Funktionalmatrix der Verkettung:
[mm] $\mathcal{J}(f\circ g;x_0)=\mathcal{J}(f;y_0)*\mathcal{J}(g;x_0)$
[/mm]
An alle: Bitte korrigieren!
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 02.10.2004 | | Autor: | MAOAM |
Aha, ok jetzt wird mir das schon klarer, vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 So 03.10.2004 | | Autor: | MAOAM |
Ok richtig, $f [mm] \circ [/mm] g$ geht von $ [mm] \IR^{l}\to\IR^{m}$. [/mm]
Doch was ist mit der Kettenregel an f(g(x))? Ist die Ableitung nicht f'(g(x))*g'(x) ?
Also müsste es dann nicht so sein:
[mm] \mathcal{J}(f\circ g;x_0)=\pmat{ \bruch{\partial (f\circ g)_1}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial (f\circ g)_1}{\partial x_l}(x_0)\\\vdots&\ddots&\vdots\\ \bruch{\partial (f\circ g)_m}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial (f\circ g)_m}{\partial x_l}(x_0)} \pmat{ \bruch{\partial g_1}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial g_1}{\partial x_l}(x_0)\\\vdots&\ddots&\vdots\\ \bruch{\partial g_n}{\partial x_1}(x_0)&\ldots&\bruch{\partial g_n}{\partial x_l}(x_0)} [/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 03.10.2004 | | Autor: | MAOAM |
Hallo Steffan,
Danke für deine schnelle Antwort!
Ich hoffe dass ich es jetzt verstanden habe.... :)
liebe Grüsse, Sergej.
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