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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Kuebi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Ihrs!
Ähm, ich habe glaube ich meine Zweite Frage falsch platziert!?
Ich wollte nochmals folgende Aufgabe in den Raum stellen:
Sei f : A [mm] \to [/mm] B eine Funktion. Entscheiden Sie im folgenden jeweils, ob f
surjektiv ist und ob f injektiv ist und belegen Sie Ihre Behauptung durch einen Beweis bzw.
ein Gegenbeispiel.
a) Es existiere eine Funktion g : B [mm] \to [/mm] A mit
g [mm] \circ [/mm] f = [mm] 1_{A}: [/mm] (also Identität von A)
b) Es existiere eine Funktion h : B [mm] \to [/mm] A mit
f [mm] \circ [/mm] h = [mm] 1_{B}:
[/mm]
Vielen Dank mal im Vorraus für eure Tipps!
LG
Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Dea |
Hallo!
> Sei f : A [mm]\to[/mm] B eine Funktion.
> a) Es existiere eine Funktion g : B [mm]\to[/mm] A mit
> g [mm]\circ[/mm] f = [mm]1_{A}:[/mm] (also Identität von A)
g ist das sogenannte "Linksinverse von f" (oder der "Retrakt") und nach dem Satz vom Linksinversen (so hieß er zumindest in unserer Vorlesung) gilt, dass die Existenz des Linksinversen äquivalent dazu ist, dass f injektiv ist.
Beweis:
Seien [mm] x,y\in [/mm] A mit f(x)=f(y), zu zeigen x=y ( [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv)
[mm] x=1_{A}(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(g\circ f)(y)=1_{A}(y)=y
[/mm]
(für die Äquivalenz müsste man jetzt natürlich noch die andere Richtung auch zeigen, aber die war ja in deiner Aufgabe nicht verlangt)
> b) Es existiere eine Funktion h : B [mm]\to[/mm] A mit
> f [mm]\circ[/mm] h = [mm]1_{B}:[/mm]
h ist dann das sog. Rechtsinverse (oder der "Schnitt") und nach dem Satz vom Rechtsinversen ist die Existenz vom Rechtinsversen äquivalent dazu, dass f surjektiv ist.
Beweis:
Sei [mm] b\in [/mm] B beliebig
a:=h(b)
da ist [mm] f(a)=f(h(b))=(f\circ h)(b)=1_{B}(b)=b
[/mm]
also existiert zu jedem [mm] b\in [/mm] B (mind.) ein [mm] a\in [/mm] A mit f(a)=b, d.h. f surjektiv
(auch hier bliebe die Rückrichtung noch für die Äquivalenz zu zeigen...)
Liebe Grüße,
Dea
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