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Hallo!
Ich hätte zwei kurze Fragen:
1. Wenn ich eine Funktion gegeben habe ( nur mal als Beispiel) :
f(x) = 4 + [mm] x^2 [/mm] + [mm] 3x^3 [/mm] + [mm] 2x^4
[/mm]
Dann kann ich da ja nichts mehr zusammenfassen, da alle andere Exponenten haben oder???
2. ich habe die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{1-v} [/mm] und g(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - x gegeben. Nun soll ich die Verknüpfung fog erstellen.
Heißt, ich setze g in f ein, oder?
Dann bekäme ich:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{2}{x}-x}. [/mm] Stimmt das? Wenn nicht, wie geht es richtig?
UND: Kann ich meinen Bruch noch weiter vereinfachen? Wie sieht das aus?
Ich stehe grad voll aufm Schlauch :(
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 08.11.2006 | | Autor: | ccatt |
Hallo!
> f(x) = 4 + [mm]x^2[/mm] + [mm]3x^3[/mm] + [mm]2x^4[/mm]
>
> Dann kann ich da ja nichts mehr zusammenfassen, da alle
> andere Exponenten haben oder???
Richtig, die Funktion kann so stehen gelassen werden.
> 2. ich habe die Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{1-v}[/mm] und g(x) =
> [mm]\bruch{2}{x}[/mm] - x gegeben. Nun soll ich die Verknüpfung fog
> erstellen.
> Heißt, ich setze g in f ein, oder?
Was ist die Verknüpfung fog?
ccatt
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also nochmal :0)
f(x) = [mm] \bruch{1}{1-g}
[/mm]
g(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - x
Ich habe nun die Verknüpfung f verknüpft mit g ( fog ) gemacht und erhalte:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{2}{x}-x}
[/mm]
Stimmt das so oder wie muss es richtig heißen?
Kann ich das weiter vereinfachen???
DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
[mm] f(x)=\bruch{1}{1-x} [/mm] (das muss da ein x sein :))
[mm] g(x)=\bruch{2}{x}-x
[/mm]
Und f°g heißt nur:
f(g(x)), also f hängt nicht mehr von x, sondern von [mm] \bruch{2}{x}-x [/mm] ab.
[mm] f(g(x))=\bruch{1}{1-(\bruch{2}{x}-x)}=\bruch{1}{1-\bruch{2}{x}+x}
[/mm]
Du könntest noch die Brüche im Nenner gleichnamig machen und dadurch vereinfachen.
Also:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{2}{x}+x}=\bruch{1}{\bruch{x}{x}-\bruch{2}{x}+\bruch{x²}{x}}=\bruch{1}{\bruch{x-2+x²}{x}}=\bruch{x}{x-2+x²}
[/mm]
Ist zwar nicht viel einfacher als vorher, aber naja ;)
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Hallo Teufel!
Danke für deine Antwort aber ich hab da was ganz falsch abgetippt, das oben bitte einmal komplett vergessen:
Meine Aufgabe sieht wie folgt aus:
u(x)= [mm] \bruch{1}{1-v}
[/mm]
v(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - x
So nun soll ich die Verknüpfung u verknüpft mit v darstellen.
Könntest du mir das bitte einmal Schritt für Schritt vorrechnen? Auhc mit den Vereinfachungen am Ende?
Ich bin grad total ratlos. Alles wirr in meinem Kopf :(
ICh Danke dir von ganzem Herzen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Sollte das trotzdem nicht
[mm] u(x)=\bruch{1}{1-x} [/mm] heißen? Ich würd sagen schon, aber weiter im Text:
Auf alle Fälle musst du dann [mm] \bruch{2}{x}-x [/mm] für x einsetzen (in Klammern aber!)
Denn die Verkettung u°v heißt, dass die Funktion u nicht mehr von x abhängt (u(x) =u von x, hängt also von x ab), sondern von der Funktion v(x).
Und wenn das nun so ist, dann schreibt man das u(v(x)), oder kurz: u°v, wobei g die Äußere Funktion ist und v die innere (weil man die ja in die äußere einsetzt).
Nun hängt u also nicht mehr von x, sondern von [mm] \bruch{2}{x}-x [/mm] ab. Also musst du alle xe jetzt durch [mm] \bruch{2}{x}-x [/mm] ersetzen! Wenn u mehrere xe hätte, müsstest du dann jeweils alle ersetzen. Dann hast du die Verkettungsfunktion und könntest diese, wie oben beschrieben, vereinfachen.
Aber Verkettungen kann man nicht umdrehen, das heißt, dass u°v NICHT v°u ist!
[sie sind also nicht kommutativ. [informix]]
[mm] u(v(x))=u°v=\bruch{1}{1-(\bruch{2}{x}-x)}
[/mm]
Wie du siehst, ähnelt die äußere Struktur der Funktion der Struktur von u (deshalb auch äußere Funktion ;)).
Anderes Beispiel:
[mm] f(x)=\wurzel{x}+2x
[/mm]
g(x)=3x²
[mm] f°g=\wurzel{(3x²)}+2(3x²)=\wurzel{(3x²)}+6x²
[/mm]
Oder:
[mm] g°f=3(\wurzel{x}+2x)²= [/mm] ...binomische Formel auflösen etc. ;)
Und kein Problem :)
Bei der Verkettung ist das eben nur so, dass man für x eine ganze Funktion einsetzt.
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okay, so weit ist es mir nun klar :0)
wenn du mit noch zeigen würdest wie die Vereinfachung geht die due meinst wäre ich sehr happy. Mit Brüchen tu ich mich immer unheinmlioch schwer....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Achso, ok :)
Also:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{2}{x}+x}=\bruch{1}{\bruch{x}{x}-\bruch{2}{x}+\bruch{x²}{x}}=\bruch{1}{\bruch{x-2+x²}{x}}=\bruch{x}{x-2+x²}
[/mm]
Zuerst mache ich die Brüche, die im Nenner vom "Hauptbruch" sind, gleichnamig.
Also ich erweitere alle Brüche so, dass sie im Nenner ein x haben. [mm] 1=\bruch{1}{1}\underbrace{=}_{Erweiterung mit x}\bruch{x}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{x} [/mm] sieht schon ok so aus.
[mm] x=\bruch{x}{1}\underbrace{=}_{Erweiterung mit x}\bruch{x²}{x}
[/mm]
Nun kann ich statt [mm] \bruch{x}{x}-\bruch{2}{x}+\bruch{x²}{x} [/mm] ja auch alles mit inem Bruchstrich machen.
[mm] \Rightarrow \bruch{x-2+x²}{x}
[/mm]
Also steht nun insgesamt da:
[mm] u°v=\bruch{1}{\bruch{x-2+x²}{x}}
[/mm]
Und wenn man Brüche dividiert, ist es ja, als ob man mit ihrem Kehrwert multipliziert.
[mm] u°v=\bruch{\bruch{1}{1}}{\bruch{x-2+x²}{x}}=\bruch{1}{1}*\bruch{x}{x-2+x²}=\bruch{x}{x-2+x²}
[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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