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Funktionen: Wiederholung aus der 10. Kl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Sa 08.01.2011
Autor: KarlMarx

Aufgabe
[mm] \textbf{a)} [/mm] Was versteht man unter einer Funktion? Gib die mathematische Definition sowie zwei Beispiele aus dem Alltag an.

[mm] \textbf{b)} [/mm] Welche Arten von Funktionen und welche Möglichkeiten zu deren algebraischer Darstellung kennst Du? Gib zu jeder Art ein Beispiel an.

[mm] \textbf{c)} [/mm] Was versteht man unter einer Zuordnungsvorschrift und worin besteht der Unterschied zu einer Funktionsgleichung?

[mm] \textbf{d)} [/mm] Gegeben sind die Funktionen:

[mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}x [/mm] + 1$        [mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] 2x^2 [/mm] + 3x - [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]
[mm] $f_3(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$ $f_4(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}x^3-x$ [/mm]

Stelle die Graphen der Funktionen in einem Koordinatensystem dar und berechne ihre Achsenschnittpunkte. Ermittle (so vorhanden) die gegenseitigen Schnittpunkte der Funktionen graphisch und wenn möglich auch rechnerisch.
Viel Erfolg!



Viel Erfolg!

        
Bezug
Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mo 10.01.2011
Autor: Profi_jdr_10

zu a):

Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zwei (oder mehr?) Werte einander zugeordnet werden.

Beispiel 1: [mm]f(x)= x[/mm], wobei x=Anzahl Gegenstände
                    und    f(x)=Betrag in Euro
Dies ist eine lineare Zuordnung, der Betrag f(x) steigt proportional zur Anzahl x.

Beispiel 2: [mm]f(x)= 1,004^x[/mm], wobei f(x)= Zinsfaktor
                       und    x= Anzahl der Perioden
Dies ist eine Exponentialfunktion für die gesamten Zinsen, die bei einem Prozensatz von 0,4% über x Perioden anfallen.



zu b):

lineare Funktion: f(x)= mx+b
Exponentialfunktion: f(x)= a*b^(x+c)
Logarithmusfunktion: f(x)= a*log[b(x+c)]+d
Sinusfunktion: f(x)= a*sin[b(x+c)]+d



zu c):

Bei einer Zuordnungsvorschrift werden einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet. Eine Funktion ist eine besondere Zuordnung, bei der jedem x-Wert höchstens ein y-Wert zugeordnet werden kann.



zu d):

Diese Aufgabe werde ich noch schriftlich machen und später einscannen.






Hier ist der Link zu den Scans: http://rapidshare.com/files/442004531/Scannen0001.pdf
Allerdings habe ich nicht alles gelöst, so wusste ich nicht, wie ich den Schnittpunkt mit der x-Achse von f2 und f4 berechne.
Außerdem habe ich einige Schnittpunkte nicht ausrechnen können, da ich nicht weiß, wie man Gleichungen 3. oder 4. Grades löst.

Bezug
                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:58 Di 11.01.2011
Autor: KarlMarx

Soll ich zu den ersten Aufgabenteilen schon was anmerken oder lieber noch auf den Rest warten?

Bezug
                        
Bezug
Funktionen: eigene Lösungsansätze ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:41 Di 11.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Soll ich zu den ersten Aufgabenteilen schon was anmerken
> oder lieber noch auf den Rest warten?


Guten Tag, Genosse Marx !

Nach den Regeln des Matheraums wird von dir wie von jedem
anderen Nutzer erwartet, nicht bloß eine Serie von Aufgaben-
stellungen hier herein zu stellen, sondern vor allem dann
deine eigenen Lösungsansätze und Angaben darüber, wo du
damit noch Schwierigkeiten hast.


LG     Al-Chwarizmi


Bezug
                                
Bezug
Funktionen: der Genosse kann es
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:22 Di 11.01.2011
Autor: Loddar

Hallo Al-Chwarizmi!


Ich glaube schon, dass der "Genosse" die Aufgabe selber lösen kann. Er hat diese Aufgabe hier als Übungsaufgabe für andere eingestellt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Di 11.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich glaube schon, dass der "Genosse" die Aufgabe selber
> lösen kann. Er hat diese Aufgabe hier als Übungsaufgabe
> für andere eingestellt.


Dann bitte ich um Entschuldigung - ich hatte mal wieder die
Überschrift gar nicht beachtet ...

LG    Al

Bezug
                                        
Bezug
Funktionen: Irritierendes
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 Di 11.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Ich glaube schon, dass der "Genosse" die Aufgabe selber
> lösen kann. Er hat diese Aufgabe hier als Übungsaufgabe
> für andere eingestellt.

Hallo,

das ist hochlobesam. Genosse Marx sei gepriesen.
Insbesondere beeindruckt die weise Voraussicht, mit welcher er vor der Einschulung der jetzigen Elftkläßler Aufgaben eingestellt hat, welche hier in Ruhe reifen durften wie ein guter Wein.

Aber mich irritiert etwas in höchstem Maße:

wie kann es eigentlich sein, daß Genosse Marx hier vor 11 Jahren gepostet hat,
wenn es das Forum doch erst seit knapp 8 Jahren gibt,
er erst seit 2006 hier angemeldet ist,
und wie kann es sein, daß auf die vermeintliche Frage erst nach 11 Jahren geantwortet wird, wo doch alle hier so eifrig sind?

Irgendwas ist hier nicht ganz koscher, oder?

Gruß v. Angela




Bezug
                                                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Di 11.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Aber mich irritiert etwas in höchstem Maße:
>  
> wie kann es eigentlich sein, daß Genosse Marx hier vor 11
> Jahren gepostet hat,
> wenn es das Forum doch erst seit knapp 8 Jahren gibt,
>  er erst seit 2006 hier angemeldet ist,
>  und wie kann es sein, daß auf die vermeintliche Frage
> erst nach 11 Jahren geantwortet wird, wo doch alle hier so
> eifrig sind?
>  
> Irgendwas ist hier nicht ganz koscher, oder?
>  
> Gruß v. Angela


Spätwirkung eines verirrten Exemplars des "Millennium Bug" ?


;-)    Al

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Di 11.01.2011
Autor: KarlMarx

Moin, liebe Gemeinde!

Deine Entschuldigung nehme ich natürlich gern an, Al-Chwarizmi - zumal (bei mir) über der Aufgabe nicht der magenta-farbene Hinweis angezeigt wird, dass es sich um eine Übungsaufgabe und nicht um ein Hilfegesuch handelt. Ich meine allerdings, dass dieser Hinweis unmittelbar nach dem Einstellen dort noch stand.
Zusätzlich habe ich den Eindruck, dass das von Angela zu Recht bemerkte falsche Datum direkt nach dem Posting auch noch nicht dort stand. Mich beschleicht das Gefühl, dass da irgendwas gehörig schief gelaufen sein muss, denn habt Ihr Euch meinen ersten Post mal in der Einzelansicht angesehen? Da stehen sage und schreibe 142 Änderungen von matux im Protokoll und zwar bis auf zwei Ausnahmen immer fein säuberlich abwechselnd:

11.01. 20:23 (Frage) beantwortet matux
11.01. 20:04 (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe matux  


Ich habe keinen Plan, welcher Wurm hier am Werke war. Aber ich weiß mit Sicherheit, dass ich die Aufgabe am 08.01.2011 um kurz nach 19 Uhr eingestellt habe.

Gruß, der Genosse.

Edit: Nanu, nun steht der magenta-farbene Hinweis auf einmal wieder da.


Bezug
                                                                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Di 11.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Edit: Nanu, nun steht der magenta-farbene Hinweis auf
> einmal wieder da.


Hallo,

Dein Post scheint wirklich ein recht fideles Eigenleben zu führen.
Mir ist das etwas unheimlich.
Ich werde mal Marc alarmieren.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                        
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:42 Mi 12.01.2011
Autor: Marc

Hallo zusammen,

> Dein Post scheint wirklich ein recht fideles Eigenleben zu
> führen.
>  Mir ist das etwas unheimlich.
>  Ich werde mal Marc alarmieren.

Auf dem zugehörigen Arbeitsblatt war als Veröffentlichungsdatum eines im Jahre 2000 eingetragen, so dass Matux den Artikel zurückdatiert und dann immer wieder als überfällig markiert hatte. Warum es überhaupt möglich war, ein Datum der Vergangenheit einzustellen, erschließt sich mir gerade nicht, aber ich hatte mir bestimmt etwas dabei gedacht ;-)

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                                                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:31 Mi 12.01.2011
Autor: KarlMarx

Gut, wenn das ein Einzelfall bleibt, lassen wir es erstmal darauf beruhen, würde ich sagen. Dann können Julian und ich uns wohl wieder der Aufabe widmen...

Zu Antwort a)
Ich sehe noch keine mathematische Definition, und Deine Umschreibung ist nicht treffend. Richtig ist, dass Werte einander zuzuordnen sind, überlege aber bitte, wie genau welche Werte einander zugeordnet werden.
Dein Beispiel 1 ist bestenfalls ein ziemlich ungünstiges Beispiel für eine Funktion - so eine Zuordnung bezeichnet man als Folge. Beispiel 2 passt.

Zu Antwort b)
Da fehlt auf jeden Fall eine große Gruppe von Funktionen, aus der Du mit der linearen Funktion nur einen Spezialfall genannt hast. In welche Funktionsgruppe gehört sie?

Zu Antwort c)
Bei einer beliebigen Zuordnung können beliebig viele Werte einander wild durcheinander zugeordnet werden. Dass das bei der Funktion nicht sein darf schreibst Du richtig. Mit diesem Wissen solltest Du die Frage unter a) eigentlich gut lösen können.

Gruß, Kalle.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Mi 12.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Zu Antwort a)
>  Ich sehe noch keine mathematische Definition, und Deine
> Umschreibung ist nicht treffend. Richtig ist, dass Werte
> einander zuzuordnen sind, überlege aber bitte, wie genau
> welche Werte einander zugeordnet werden.
>  Dein Beispiel 1 ist bestenfalls ein ziemlich ungünstiges
> Beispiel für eine Funktion - so eine Zuordnung bezeichnet
> man als Folge. Beispiel 2 passt.


Hallo Kalle,

Zahlenfolgen gehören als Spezialfälle (mit Definitionsbereich [mm] \IN) [/mm]
selbstverständlich auch zu den Funktionen. Nur die Formel war
unzureichend:  $\ f(x)=x$ würde dann passen, wenn der Stückpreis
1€ beträgt. Im Allgemeinen hätten wir, mit dem Stückpreis $\ p$ ,
die Gleichung  $\ f(x)=p*x$ . Dies ginge übrigens auch dann, wenn
$\ x$ eine nicht unbedingt ganzzahlige Mengenangabe und $\ p$ der
Preis pro Mengeneinheit ist.
Funktionen, welche eine direkte Proportionalität beschreiben, sind
vermutlich sogar die am meisten benützten Funktionen überhaupt
(ohne dass dabei immer der Funktionsbegriff erwähnt wird).

Steht bei Beispiel 2 das $\ x$ für die (ganzzahlige) Anzahl der Verzin-
sungsperioden, so handelt es sich übrigens auch dabei "nur" um
eine Zahlenfolge.


LG    Al

Bezug
                                                                                                
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Mi 12.01.2011
Autor: KarlMarx

Moin Al!

Yup, stimmt ja alles. Nur sind Folgen noch nicht dran und insofern ist eine Folge als Beispiel für eine Funktion ungünstig.

Gruß, Kalle.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Fr 14.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Moin Al!
>  
> Yup, stimmt ja alles. Nur sind Folgen noch nicht dran und
> insofern ist eine Folge als Beispiel für eine Funktion
> ungünstig.
>  
> Gruß, Kalle.


Dann möchte ich aber trotzdem hoffen, dass du nachher die
Folgen nicht als ein total neues Konzept deklarieren wirst,
sondern als einen Spezialfall des Funktionsbegriffs !


LG    Al


Bezug
                
Bezug
Funktionen: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Fr 14.01.2011
Autor: KarlMarx

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Zu Funktionen und Folgen (Aufgabenteil a))
Wie Al-Chwarizmi schon anmerkte, zählen die Folgen auch zu den Funktionen - es sind aber ganz besondere Funktionen:
Wie Du weißt, hat jede Funktion einen Definitions- und einen Wertebereich. Wenn die unabhängige Variable $x$ und die abhängige Variable $y$ ist, so ist die Menge aller $x$-Werte, für die Funktionsgleichung erfüllt (definiert) ist, der Definitionsbereich. Die Menge aller $y$-Werte, die sich mit der Funktionsgleichung daraus ergeben, ist der Wertebereich. Nun werden im Allgemeinen ab der 9. Klasse die Reellen Zahlen als Grundmenge beider Variablen genommen. Ist das nicht der Fall, so handelt es sich um eine Folge.
Wenn Du, wie in Deinem Beispiel 1, also eine Stückzahl (sagen wir Brötchen) einem Gesamtpreis zuordnest, ist das eine Folge, weil der Bäcker nur ganze Brötchen verkauft und keine (reellen) Bruchteile. Oder hast Du deinem Bäcker schon mal gesagt: "Ich hätte gern $2\sqrt 5$ Brötchen."? Dem Definitionsbereich einer Folge liegen also nicht die Reellen Zahlen, sondern eine kleinere Zahlenmenge zu Grunde; meist (aber nicht immer) sind es die Natürlichen Zahlen. Für den Brötchenkauf sind im Falle des Brötchenkaufs sicherlich die Natürlichen Zahlen, weil der Bäcker auch keine negativen Brötchen anbietet. Egal ist für die Entscheidung, ob eine Folge vorliegt oder nicht, welche Menge dem Wertebereich zu Grunde liegt.

Zu Deiner Definition der Funktion: Das hast Du leider gerade verdreht.
Zunächst einmal ist wichtig, dass nur in eine Richtung zugeordnet wird und im Allgemeinen ordnet man die $x$-Werte den $y$-Werten zu. Jedem (für die Funktion definierten) $x$ wird also genau ein $y$ zugeordnet. Dagegen kann die Funktionsgleichung mit einem einzigen $y$-Wert und beliebig vielen $x$-Werten erfüllt sein.
Die Variablen können natürlich auch mal anders heißen - zum Beispiel $s$ und $t$: dann ordnet man jeder Zeit $t$ einen zurückgelegten Weg $s$ zu. Unabhängig von den Buchstaben der Variablen stellt jedoch diejenige Variable den Definitionsbereich, die zugeordnet wird - man nennt sie auch unabhängige Variable. Um das genauer zu fassen, spricht man (wenn man's richtig macht) auch nicht von $x$ und $y$, sondern von Elementen des Definitionsbereiches und Elementen des Wertebereiches (letzte heißen auch Funktionswerte). Mit dieser allgemeinen Ausdrucksweise lautet die Definition einer Funktion wie folgt (und diese solltest Du unbedingt auswendig lernen):
Jedem Element des Definitionsbereiches wird genau ein Element des Wertebereiches zugeordnet.


Zu b)
Genau - die Polynome meinte ich! Das ist doch die Funktionsgruppe, mit welcher Du bisher bei weitem am meisten Kontakt hattest, oder nicht?
Innerhalb dieser Gruppen unterscheidet man zunächst die ganzrationalen und die gebrochenrationalen Polynome. Während bei letzten mindestens ein $x$ im Nenner auftaucht, kommt es bei den ganzrationalen ausschließlich im Zähler vor. Weiter benennt man die Polynome mit einem Grad (oder auch Ordnung) und meint damit die (betragsmäßig) höchste auftretende Potenz.
Wir kümmern uns erstmal um die ganzrationalen Polynome:
Eine lineare Funktion, wie Du sie als Beispiel gegeben hast, ist also ein ganzrationales Polynom 1. Grades (oder auch 1. Ordnung), weil dort $x^1$ als höchste Potenz vorkommt. Das nächst höhere Polynom ist die Parabel mit $x^2$ als höchster Potenz und ein ganzrationales Polynom 3. Grades hat also als höchste Potenz $x^3$. So kann man das weiter bis in alle Ewigkeit treiben - ein Polynom 187. Grades wäre z.B. $f(x) = x^{187} - 2\,x^4 + 5$.
Ein Beispiel für ein gebrochenrationales Polynom ist die in der Aufgabe gegebene Funktion $f_3(x) = \frac{1}{x}$, die Du - wenn auch richtig - leider nur ansatzweise gezeichnet hast. Wie verläuft die Funktion denn im Intervall $[-1; 1]$? Du hast ja schon richtig erkannt, dass sie bei $x=0$ nicht definiert ist. Das ist eine Definitionslücke und in diesem Fall auch eine Polstelle. Worin der Unterschied besteht, behandeln wir im Zuge der gebrochenrationalen Polynome. Oder weißt Du das vielleicht schon?


Zu Deinem pdf
Wertetabellen und graphische Darstellung
Die Wertetabellen hast Du richtig erstellt - schön! Nicht ganz so schön ist die graphische Darstellung: Ich hoffe, Du hast nur zu Gunsten der Lesbarkeit nach dem Scannen mit Füller gezeichnet? Gezeichnet wird ansonsten immer mit einem harten und spitzen Bleistift und wenn man farblich etwas hervorheben möchte, geschieht das mit einem gut angespitzten Buntstift. Außerdem ist die Größe Deines Koordinatensystems (KOS) ungünstig: Warum ist es in horizontaler Richtung (wo Du gut mehr Platz gebrauchen könntest) so klein? Das Blatt bietet doch so viel Raum - nutze den. Eine Längeneinheit im KOS muß bei Weitem nicht immer einem Zentimeter entsprechen. Vielmehr paßt man die Skalierung so an, dass einerseits das Blatt Papier gut ausgenutzt wird und andererseits alle wichtigen und gewünschten Punkte sichtbar sind.

Achsenschnittpunkte
Die Schnittpunkte mit der y-Achse hast Du alle richtig abgelesen. Weißt Du auch, wie sie berechnet werden? Denn viele Funktionen sind so angenehm, dass man die Punkte ablesen kann.
Die Nullstelle der Funktion $f_1$ hast Du richtig berechnet, die der Funktion $f_3$ allerdings nicht. Wenn Du Dir Deine Zeichnung anschaust, siehst Du ja, dass der Graph die x-Achse auf keinen Fall bei $x=1$ schneidet. So eine kurze Plausibilitätskontrolle kann ich nur immer wärmstens empfehlen, denn Du bekommst sie (so Du schon eine Skizze oder Zeichnung hast) kostenlos und ohne Aufwand. Wenn Du dann noch einen Blick auf Deine Rechnung wirfst, siehst Du denke ich, wo der Fehler ist. Ich schreibe hier die Rechnung kurz auf:

$0 = f_3(x)$

$0 = \frac{1}{x}  \quad |\cdot x$

$0 = 1 \qquad \leftarrow \text{falsche Aussage!}$

Die Funktion hat also keine Nullstelle. Kann sie auch nicht, denn welchen Wert wolltest Du denn für $x$ einsetzen, damit $\frac{1}{x} = 0$ ist? Die Funktion schmiegt sich an die $x$-Achse an, und zwar für $x \to \infty$ von oben und für $x \to -\infty$ von unten. Setze einfach mal für $x$ einen großen Wert (z.B. 10000) ein und berechne den Funktionswert. Es kommt nie $0$ heraus, auch wenn einige Taschenrechner das vielleicht suggerieren, weil sie auf null runden. Ein wissenschaftlicher Taschenrechner, wie er von der Schule empfohlen wird, rundet aber selbst sehr kleine Werte wie $1:1000000000$ nicht auf $0$, sondern schreibt dafür $1\cdot 10^{-8}$. Taschenrechner, die runden, bzw. solche Einstellungen an Taschenrechnern sollte man tunlichst meiden, da sie dem Eleven falsche Genauigkeit vorgaukeln und er ja schließlich selbst runden können soll.

So nun zur zweiten Funktion:
Du erinnerst Dich doch bestimmt noch an die pq-Formel (auch Lösungsformel für quadratische Gleichungen). Damit ist die Gleichung sofort Dein Freund:

$0 = 2x^2 + 3x - \frac{1}{2}  \quad | :2$

$0 = x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{4}$

Diese Form der quadr. Glg. ist die Null- und Normalform und es gilt: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.
Darin ist $p$ der Faktor vor dem linearen $x$ und $q$ der absolute Term (ohne $x$). Wir erhalten also mit $p = \frac{3}{2}$ und $q = -\frac{1}{4}$:

$x_{1/2} = -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{1}{4}}$

$x_{1/2} = -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{4}}$

$x_{1/2} = -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{9 + 4}{16}$

$x_{1/2} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{13}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4}$

$x_1 \approx -1,6514  \qquad \qquad x_2 \approx 0,1514$.

Selbstverständlich kann man die Gleichung auch mit quadratischer Ergänzung lösen, wenn man Spaß dran hat - viele Wege führen nach Rom. Wenn Du aber den Scheitelpunkt der Parabel nicht benötigst, ist der Weg nicht schneller und wahrscheinlich auch nicht einfacher, denn leider hast Du Dich da etwas verhaspelt. Die quadratische Ergänzung solltest Du aber auf jeden Fall wiederholen. Wenn Du Aufgaben brauchst, schicke ich Dir gern welche per Mail.

Und nun noch die vierte Funktion:
Gleichungen dritten Grades sind auch nicht unbedingt so schwer; besonders wenn sie so niedlich sind wie hier die Funktion $f_4(x)$. Hier kommt die Rechnung:

$0 = \frac{1}{4}x^3 - x  \qquad$ Wir klammern ein $x$ aus.

$0 = x\cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - 1\right)$

Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist, weswegen wir jeden Faktor einzeln gleich null setzen dürfen:

1. Faktor
$0 = x  \qquad \Rightarrow x_1 = 0$

2. Faktor
$0 = \frac{1}{4}x^2 - 1 \quad | +1$

$1 = \frac{1}{4}x^2   \quad | \cdot 4$

$x^2 = 4   \qquad | \sqrt{\,\,\,}$

$x_{2/3} = \pm 2$


Schnittpunkte der Funktionen
Obwohl zwei Schnittpunkte fehlen, sind Deine graphischen Lösungen - gemessen an der Größe der Graphik - schon sehr gut und soweit richtig. Welche fehlen? Da Du den Graphen der Funktion $f_3(x)$ nur unvollständig gezeichnet hast, hast Du auch nicht alle Schnittpunkte mit dieser Funktion gefunden. Die Parabel schneidet $f_3$ nämlich noch zweimal im Intervall $[-1; 1]$, in welchem Du $f_3$ nicht gezeichnet hast. Die rechnerischen Ansätze/Lösungen sehen im Prinzip (bis auf ein paar Kleinigkeiten) auch nicht schlecht aus. Ich rechne hier mal nur die Schnittstellen (das sind nur die $x$-Werte) aus. Die zugehörigen $y$-Werte zu bestimmen ist ja wohl kein Problem.


$f_1 \cap f_2$

$-\frac{3}{2}x + 1 = 2x^2 + 3x - \frac{1}{2}  \qquad | +\frac{3}{2}x - 1$

$0= 2x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}  \qquad | : 2$

$0= x^2 + \frac{9}{4}x - \frac{3}{4}  \qquad | \textrm{ pq-Formel}$

$x_{1/2} = -\frac{9}{8} \pm \sqrt{\frac{81}{64} + \frac{3}{4}} = -\frac{9}{8} \pm \sqrt{\frac{81 + 48}{64}}$

$x_{1/2} = \frac{-9 \pm \sqrt{129}}{8}$

Dies ist der genaue Wert und den solltest Du auf jeden Fall immer angeben und mit ihm auch den $y$-Wert ausrechnen. Zum Überprüfen der Ergebnisse in der Zeichnung (oder zum Einzeichnen von Punkten) kannst Du dann die gerundeten Werte nehmen:

$x_1 \approx -2,5447  \qquad \qquad x_2 \approx 0,2947$.


$f_3 \cap f_4$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{4}x^3 - x  \quad | \cdot x -1$

$0 = \frac{1}{4}x^4 - x^2 - 1$

Das ist eine Biquadratische Gleichung, da der eine Exponent ein ganzzahliges Vielfaches des anderen ist und weiter keine Terme in $x$ auftauchen. Wir führen eine Substitution (Ersetzung) durch und sagen:

$z = x^2 \quad \Rightarrow \quad z^2 = x^4$

Damit können wir die Gleichung folgendermaßen schreiben:

$0 = \frac{1}{4}z^2 - z - 1  \quad | \cdot 4$

$0 = z^2 - 4z - 4  \quad$ und schon haben wir eine schöne quadratische Gleichung.

$z_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4 + 4}= 2 \pm 2\sqrt{2}$

$z_{1/2} = 2 \left(1 \pm \sqrt{2}\right)$

Nun resubstituieren wir wieder, um $x$ auszurechnen:

$x^2 = z$

$x^2 = 2 \left(1 \pm \sqrt{2}\right)  \quad | \sqrt{\,\,\,}$

Wir rechnen zuerst mit dem Plus in der Klammer:

$x_{1/3} = \pm \sqrt{2 \left(1 + \sqrt{2}\right)} \approx \pm 2,1974$

und nun mit dem Minus:

$x_{2/4} = \pm \sqrt{2 \left(1 - \sqrt{2}\right)}$

wobei die Klammer offenbar negativ ist. Daraus folgt: $x_{2/4} \,\, \notin \,\, \mathbb{R}.$

Daher gibt es keine weiteren Lösungen.
Hinweis Im Allgemeinen kann ein Polynom $n$-ten Grades aber $n$ Nullstellen besitzen und man muß solange rechnen, bis man entweder genau $n$ Nullstellen heraus oder nachgewiesen hat, dass es eben weniger als $n$ sind (so wie hier).


$f_3 \cap f_1$

$\frac{1}{x} = - \frac{3}{2}x + 1  \quad | \cdot x - 1$

$0 = - \frac{3}{2}x^2 + x - 1  \quad | \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$

$0 = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$

$x_{1/2} = \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9}-\frac{2}{3}}$

Offenbar ist die Diskriminante (der Inhalt der Wurzel) negativ, also: $x_{1/2} \,\,\notin\,\, \mathbb{R}.$


$f_4 \cap f_2$

Nach dem Umstellen erhält man hier

$0 = x^3 - 8x^2 - 16x + 2$

und diese Gleichung ist analytisch nicht zu lösen, das heißt jedoch nicht, dass man die Schnittstellen nicht berechnen kann. Man muß numerisch rechnen! Das machen wir aber erst nach den Ableitungen, daher reichen uns hier erstmal die graphischen Lösungen.


$f_2 \cap f_3$

Bei dieser Rechnung ist Dir ein kleiner Fehler unterlaufen - so sieht es richtig aus:

$\frac{1}{x} = 2x^2 + 3x - \frac{1}{2}  \quad | \cdot x - 1$

$0 = 2x^3 + 3x^2 - \frac{1}{2}x -1  \quad | : 2$

$0 = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}$

Der Fall ist genauso gelagert wie bei $f_4$ und $f_2$. Ebenso sieht es bei $f_1$ und $f_4$ aus.


Das wars. Gruß, Kalle.

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