Funktionen Folge, Beppo-Levi < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(X,\mathbal{B},\mu)$ [/mm] ein Maßraum.
a) Zeigen Sie, dass für jede Folge messbarer Funktionen
[mm] $f_n: X\to[0,\infty]$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_X \sum_{n=1}^\infty f_n\, d\mu=\sum_{n=1}^\infty\int_X f_n\, d\mu$
[/mm]
b) Sei [mm] $f:X\to\[0,\infty]$ [/mm] messbar. Zeigen Sie, dass dann durch
[mm] $\mu_f(A):=\int_A f\, d\mu$ [/mm] für jedes [mm] $A\in\mathcal{B}$ [/mm] ein Maß auf [mm] $\mu_f$ [/mm] definiert wird. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme an einer Stelle nicht weiter.
Ich möchte gerne den Satz von Beppo-Levi benutzen um die Aussage aus a) zu zeigen.
Dazu stelle ich die Reihe als Folge von Partialsummen dar.
Mein Beweisansatz ist bisher der Folgende:
Sei [mm] $f:=\sum_{n=1}^\infty f_n$.
[/mm]
Sei [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n f_k$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} s_n=f$.
[/mm]
Da [mm] $f_n: X\to [0,\infty]$, [/mm] gilt
[mm] $s_1\leq s_2\leq s_3\leq\dotso$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Die [mm] $s_n$ [/mm] sind als Summe messbarer Funktionen ebenfalls messbar. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Beppo-Levi erfüllt.
Also:
[mm] $\int_X \sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu=\int_X \lim_{n\to\infty} s_n\, d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X s_n\, d\mu$ [/mm] (hier habe ich Beppo-Levi benutzt)
Damit erhalte ich nun erstmal
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_X \sum_{k=1}^n f_k\, d\mu$
[/mm]
Das Problem was ich nun habe ist, dass ich irgendwie die Summe im Integranden loswerden muss und aus dem Limes eine Summe zu machen.
Ich denke, dass mein Ansatz daher ungeeignet ist.
Ich führe die Folge der Partialsummen ein, weil ich den Satz von Beppo-Levi anwenden möchte und denke, dass man dies auch an irgendeiner Stelle tun muss.
Dies kommt mir nun im letzten Schritt aber wieder in die Quere und ich habe nicht wirklich etwas gewonnen.
Ist der Ansatz also unbrauchbar?
Wie könnte man alternativ den Satz von Beppo-Levi anwenden, oder braucht man ihn gar nicht?
Über eure Meinung würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hiho,
> Damit erhalte ich nun erstmal
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\int_X \sum_{k=1}^n f_k\, d\mu[/mm]
Wieso machst du nicht weiter?
[mm]=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \int_X f_k\, d\mu =\sum_{k=1}^\infty \int_X f_k\, d\mu[/mm]
Gruß,
Gono
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Hi,
mir ist nicht ganz klar, weshalb ich diesen Schritt ebenfalls tun kann? Deshalb habe ich auch daran nicht gedacht, auch wenn es ja durchaus einleuchtend ist.
Anscheinend wird hier noch einmal Beppo-Levi angewandt. Doch wie genau? Den Satz haben wir für Grenzwertprozesse bewiesen. Nun ist
[mm] $\sum_{k=1}^n \dotso$ [/mm] ein "endlicher Grenzwert" salopp gesagt.
Ok, wenn es hart auf hart kommt, könnte ich auch
[mm] $\sum_{k=1}^\infty f_k=\sum_{k=1}^n f_k$, [/mm] wobei für alle [mm] $k\geq [/mm] n$ ich einfach eine Funktion, welche Konstant Null ist, addieren könnte.
Dann hätte ich wieder einen Grenzwertprozess.
Wahrscheinlich wird das nicht nötig sein, aber wie gesagt, wie genau begründet sich dieser Schritt?
Dann zu der b)
Damit es [mm] $\mu_f$ [/mm] ein Maß ist, muss ich zeigen, dass
1) [mm] \mu_f(\emptyset)=0
[/mm]
und
2) [mm] $\mu_f(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)=\sum_{k=1}^\infty \mu_f(A_k)$
[/mm]
zeigen. Wobei die [mm] $A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] j$ gilt.
1) ist trivial
Die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] zu zeigen ist nicht so einfach.
Gedacht habe ich mir erstmal folgendes:
[mm] $A:=\bigcup_{k=1}^\infty A_k$ [/mm] (natürlich paarweise disjunkt)
[mm] $\mu_f(A)=\mu_f(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)=\int_{\bigcup_{k=1}^\infty A_k} f\, d\mu$
[/mm]
Nun würde ich so vorgehen, dass ich f wieder als Grenzwert einer Funktionenfolge darstelle, also [mm] $f=\lim_{n\to\infty} f_n$, [/mm] wobei [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Folge messbarer Funktionen sein soll.
Irgendwie muss ich es ja auf den Fall aus a) zurückführen.
Wie ich das genau machen möchte, muss ich mir aber noch überlegen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Mo 23.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> mir ist nicht ganz klar, weshalb ich diesen Schritt
> ebenfalls tun kann? Deshalb habe ich auch daran nicht
> gedacht, auch wenn es ja durchaus einleuchtend ist.
> Anscheinend wird hier noch einmal Beppo-Levi angewandt.
Nein. Es ist viel einfacher:
$ [mm] \int_X \sum_{k=1}^n f_k\, d\mu [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \int_X f_k\, d\mu$
[/mm]
> Doch wie genau? Den Satz haben wir für Grenzwertprozesse
> bewiesen. Nun ist
>
> [mm]\sum_{k=1}^n \dotso[/mm] ein "endlicher Grenzwert" salopp
> gesagt.
> Ok, wenn es hart auf hart kommt, könnte ich auch
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty f_k=\sum_{k=1}^n f_k[/mm], wobei für alle
> [mm]k\geq n[/mm] ich einfach eine Funktion, welche Konstant Null
> ist, addieren könnte.
> Dann hätte ich wieder einen Grenzwertprozess.
> Wahrscheinlich wird das nicht nötig sein, aber wie
> gesagt, wie genau begründet sich dieser Schritt?
>
> Dann zu der b)
>
> Damit es [mm]\mu_f[/mm] ein Maß ist, muss ich zeigen, dass
>
> 1) [mm]\mu_f(\emptyset)=0[/mm]
>
> und
>
> 2) [mm]\mu_f(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)=\sum_{k=1}^\infty \mu_f(A_k)[/mm]
>
> zeigen. Wobei die [mm]A_i\cap A_j=\emptyset[/mm] für [mm]i\neq j[/mm] gilt.
>
> 1) ist trivial
>
> Die [mm]\sigma[/mm]-Additivität zu zeigen ist nicht so einfach.
> Gedacht habe ich mir erstmal folgendes:
>
> [mm]A:=\bigcup_{k=1}^\infty A_k[/mm] (natürlich paarweise
> disjunkt)
>
> [mm]\mu_f(A)=\mu_f(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)=\int_{\bigcup_{k=1}^\infty A_k} f\, d\mu[/mm]
>
> Nun würde ich so vorgehen, dass ich f wieder als Grenzwert
> einer Funktionenfolge darstelle, also [mm]f=\lim_{n\to\infty} f_n[/mm],
> wobei [mm](f_n)_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Folge messbarer Funktionen sein soll.
> Irgendwie muss ich es ja auf den Fall aus a)
> zurückführen.
> Wie ich das genau machen möchte, muss ich mir aber noch
> überlegen
$\int_{\bigcup_{k=1}^\infty A_k} f\, d\mu= \summe_{k=1}^{\infty}\int_{A_k}} f\, d\mu$
FRED
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Edit: Ok, hat sich denke ich erübrigt...
Wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass
[mm] $\int f+g=\int f+\int [/mm] g$
Damit ist es klar.
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Hi,
ich möchte nun den Aufgabenteil b) lösen.
Sei $f: [mm] X\to[0,\infty]$ [/mm] messbar.
Zeigen Sie, dass dann durch [mm] $\mu_f(A):=\int_A f\,d\mu$ [/mm] für jedes [mm] $A\in\mathcal{B}$ [/mm] ein Maß auf [mm] $\mu_f$ [/mm] auf $X$ definiert wird.
Dazu muss ich zeigen, dass
1) [mm] \mu_f(\emptyset)=0 [/mm]
2) Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen [mm] $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] gilt
[mm] $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$.
[/mm]
Der Teil 1) ist trivial. Ein Integral über einer Nullmenge ist Null.
zu 2)
Zeigen muss ich [mm] $\int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} f\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f\,d\mu$
[/mm]
Vorgegangen bin ich wie folgt:
Sei [mm] $A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. [/mm] Die [mm] $A_n$ [/mm] sollen nach wie vor paarweise disjunkt sein.
Ich definiere mir nun eine Funktionenfolge [mm] $f_n$ [/mm] wie folgt:
[mm] $f_n:=f\cdot \chi_{A_n}$ [/mm] wobei [mm] $\chi$ [/mm] die Charakteristische Funktion ist.
Die [mm] $f_n$ [/mm] sind messbar.
Es ist
[mm] $\int_A f\,d\mu=\int_{A} f\,d\mu=\int_{A}\left(f\cdot\chi_{A_1}+f\cdot\chi_{A_2}+\dotso+f\cdot\chi_{A_n}\right)\,d\mu=\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f\cdot\chi_{A_n}\,d\mu=\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu$
[/mm]
Nach Aufgabenteil a) gilt nun
[mm] $\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_A f_n\,d\mu$
[/mm]
Also
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \int_A f_n\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_A f\cdot \chi_{A_n}\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \mu_f(A_n)$
[/mm]
Geht das so in Ordnung?
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Hiho,
> Nach Aufgabenteil a) gilt nun
>
> [mm]\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_A f_n\,d\mu[/mm]
Aufpassen: Du hast in a) die Aussage nur für A=X gezeigt!
> [mm]\int_A f\,d\mu=\int_{A} f\,d\mu=\int_{A}\left(f\cdot\chi_{A_1}+f\cdot\chi_{A_2}+\dotso+f\cdot\chi_{A_n}\right)\,d\mu=\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f\cdot\chi_{A_n}\,d\mu=\int_{A} \sum_{n=1}^\infty f_n\,d\mu[/mm]
> Geht das so in Ordnung?
Mit einer kleinen Modifikation ja:
[mm]\int_A f\,d\mu=\int_{X} f\chi_A \,d\mu = \int_{X}\left(f\cdot\chi_{A_1}+f\cdot\chi_{A_2}+\dotso+f\cdot\chi_{A_n}\right)\,d\mu[/mm]
Und jetzt weiter wie bisher.
Gruß,
Gono
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Ah ok. So wie du es schreibst, mit der Charakteristischen Funktion, macht es für mich Sinn. Bzw. erkenne ich den Unterschied.
Aber spielt es tatsächlich eine Rolle, ob da nun ein A oder ein X steht?
Das ist doch nur ein anderer Bezeichner.
Ich sehe also nicht wirklich warum ich hier aufpassen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Du hast offenbar die folgende Definition(!) vergessen: für $f:X [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty]$ [/mm] messbar und $A [mm] \in \mathcal{B} [/mm] $ ist
[mm] $\int_A f\, d\mu [/mm] := [mm] \int_X f*\chi_A\, d\mu [/mm] $.
FRED
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Nein, das ist mir durchaus bewusst.
Was ich nicht verstehe ist, weshalb ich
[mm] $\int_A f=\int_X f\cdot\chi_A$
[/mm]
schreiben muss. Das diese Gleichheit gilt, ist mir klar.
Zwar habe ich in a) es nur für eine Menge X gezeigt, aber ist es nun zwingend notwendig, dass ich auch hier die Menge X habe? Es ist doch nur ein anderer Bezeichner.
Das ist gerade mein Problem. Kann auch sein, dass ich irgendwas missverstehe.
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Hiho,
> Zwar habe ich in a) es nur für eine Menge X gezeigt, aber
> ist es nun zwingend notwendig, dass ich auch hier die Menge
> X habe? Es ist doch nur ein anderer Bezeichner.
Also vorweg: Grundsätzlich kannst du das so machen, aber: Ohne Erklärung würde ich dir da auf jedenfall Punkte abziehen, denn wenn du dir mal klar machst, was du alles ohne ein Wörtchen einfach so zusätzlich voraussetzt ohne es zu zeigen, ist das schon "harter Tobak".
Für den Satz wurde vorausgesetzt, dass:
1.) $(X,B,P)$ Maßraum
2.) [mm] f_n [/mm] meßbar
3.) [mm] $f_n: [/mm] X [mm] \to [0,\infty]$ [/mm]
Nun hast du obiges also gegeben und möchtest aber den Satz verwenden für eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] X$.
D.h. rein formal brauchst du folgendes:
1.) Einen neuen Maßraum [mm] $(A,B_A,P_A)$
[/mm]
2.) [mm] f_n [/mm] meßbar bezüglich des neuen Maßraums
3.) [mm] $f_n: [/mm] A [mm] \to [0,\infty]$
[/mm]
Das ist zwar alles machbar, aber du kannst das oben ja mal modellieren, dass es sauber passt, denn so klar ist das alles gar nicht.
Die erste Frage ist schon, was nimmst du denn als [mm] $B_A$? [/mm] B selbst funktioniert nicht, da [mm] B_A [/mm] Teilmenge der Potenzmenge des zugrundeliegenden Raums sein muss, hier also [mm] $\mathcal{P}(A)$. [/mm] B selbst ist das nicht.
Bei [mm] P_A [/mm] ist es deutlich einfacher. Man kann sich leicht überlegen, dass [mm] $P_A [/mm] := [mm] P|_{B_A}$ [/mm] das gewünschte liefert.
Dann musst du zeigen, dass die von dir definierten [mm] $f_n$ [/mm] die Meßbarkeitsbedingung bezüglich des neuen Maßraums genügen.
Bei dir wäre das also [mm] $f\chi_{A_n}$ [/mm] muss [mm] $B_A$ [/mm] - meßbar.
Da f nur B-meßbar ist, ist das erstmal gar nicht so klar.
Dass [mm] $f\chi_{A_n} [/mm] : A [mm] \to [0,\infty]$ [/mm] gilt, ist widerum recht schnell klar, da [mm] $A_n \subseteq [/mm] A$.
Also: Zeig es mal, dann darfst du es auch anwenden 
Gruß,
Gono
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Danke für die Erklärung.
Ich bin überzeugt.
Vielen Dank für die Hilfe, ich denke ich habe keine weiteren Fragen mehr zu der Aufgabe.
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