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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:23 Sa 11.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] f:A\to [/mm] B eine Funktion, und sei [mm] A_1\subseteq [/mm] A.
1) Zeigen Sie dass die Mengen [mm] f(C(A_1)) [/mm] und [mm] C(f(A_1)) [/mm] unvergleichbar sind, dass also im allgemeinen weder [mm] f(C(A_1))\subseteq C(f(A_1)) [/mm] noch [mm] f(C(A_1))\supseteq C(f(A_1)) [/mm] gilt.
2 )Zeigen Sie, dass für injektives f das Bild des Komplements im Komplement des Bildes enthalten ist, also [mm] f(C(A_1))\subseteq C(f(A_1)) [/mm] gilt.
3) Zeigen Sie, dass für surjektives f das Komplement des Bildes im Bild des Komplements liegt.
4)Wie steht es um die analoge Problemstellung für Urbilder: Wie verhält sich das Komplement des Urbilds einer Menge zum Urbild des Komplements? |
Hallo zusammen,
Mich würde freuen, wenn wer mal drüberschaut.
C steht jeweils für das Komplement
1)
x [mm] \mapsto x^2
[/mm]
[mm] \IZ \to \IZ
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \IZ_{+}...positiven [/mm] ganzen Zahlen
[mm] f(C(A_1))= f(\IZ_{-} \cup \{0\}) =\{0,1,4,9,..\} [/mm] =Q
[mm] C(f(A_1))= C(\{1,4,9,..\})=\IZ\setminus [/mm] Q
wobei Q die Quadratzahlen sind
Wie man sieht keine in anderen enthalten.
2 +3)
b [mm] \in f(C(A_1)) \gdw \exists [/mm] a [mm] \in C(A_1) [/mm] : f(a)=b
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \in (A\setminus A_1): [/mm] f(a)=b
(*) [mm] \gdw \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: f(a)= b [mm] \wedge \not\exists [/mm] a [mm] \in A_1 [/mm] : f(a)=b
(*) Nur bei Injektivität gilt =>,<= gilt immer
[mm] \gdw [/mm] b [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] b [mm] \not\in f(A_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b [mm] \in f(A)\setminus f(A_1)
[/mm]
(**) [mm] \gdw [/mm] b [mm] \in B\setminus f(A_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b [mm] \in C(f(A_1))
[/mm]
(**) <= gilt nur bei Surjektivität, => gilt immer da [mm] f(A)\subseteq [/mm] B
3) Ich denke man braucht weder surjektivität noch injektivität um Gleichheit zu erlangen.
Sei [mm] B_1 \subseteq [/mm] B
Annahme: [mm] f^{-1} (C(B_1)) [/mm] = [mm] C(f^{-1} (B_1))
[/mm]
Beweis:
a [mm] \in f^{-1} (C(B_1)) \gdw [/mm] f(a) [mm] \in C(B_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(a) [mm] \in (B\setminus B_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(a) [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(a) [mm] \not\in B_1
[/mm]
[mm] \gdw a\in f^{-1} [/mm] (B) [mm] \wedge [/mm] a [mm] \not\in f^{-1} (B_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \in A\setminus f^{-1} (B_1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \in C(f^{-1}(B_1))
[/mm]
Lieben Dank,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 13.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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