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Funktionen auf konvexen Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Mi 13.01.2010
Autor: ms2008de

Aufgabe
Sei f eine reelle Funktion, definiert auf einer offenen, konvexen Menge E [mm] \subset \IR^n [/mm] mit [mm] (D_{1}f)(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] E. Beweisen Sie, dass f(x) nur von [mm] x_{2},..., x_{n} [/mm] abhängig ist.

Hallo,
tut mir leid, aber ich komm bei dieser Aufgabe auf gar keinen echten Ansatz, bin schon am Verzweifeln. Ich hoffe dennoch, dass jemand von euch mir einen ersten Tipp geben kann mit dem ich dann weitermachen kann...

Vielen Dank jedenfalls schon mal im voraus.

Viele Grüße

        
Bezug
Funktionen auf konvexen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mi 13.01.2010
Autor: fred97

Wir halten mal [mm] x_2, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] fest und betrachten

             $I:= [mm] \{t \in \IR: (t,x_2,...,x_n) \in E \}$ [/mm]

Mache Dir klar, dass $I$ ein ein offenes Intervall in [mm] \IR [/mm] ist (dazu benötigst Du, dass E offen und konvex ist).

Nun definiere $g:I [mm] \to \IR$ [/mm] durch $g(t) := [mm] f(t,x_2,...,x_n)$ [/mm]

Was kannst Du aus der  Vor. $ [mm] (D_{1}f)(x)=0 \forall [/mm]  x  [mm] \in [/mm]  E$ für die Ableitung $g'$ folgern ?

Und was dann für $g$ selbst ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Funktionen auf konvexen Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Do 14.01.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
> Wir halten mal [mm]x_2,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] fest und betrachten
>  
> [mm]I:= \{t \in \IR: (t,x_2,...,x_n) \in E \}[/mm]
>  
> Mache Dir klar, dass [mm]I[/mm] ein ein offenes Intervall in [mm]\IR[/mm] ist
> (dazu benötigst Du, dass E offen und konvex ist).
>  
> Nun definiere [mm]g:I \to \IR[/mm] durch [mm]g(t) := f(t,x_2,...,x_n)[/mm]
>  
> Was kannst Du aus der  Vor. [mm](D_{1}f)(x)=0 \forall x \in E[/mm]
> für die Ableitung [mm]g'[/mm] folgern ?
>  
> Und was dann für [mm]g[/mm] selbst ?

Dass g´=0 ist, unabhängig vom t. Dann hab ich den Pseudo-Mittelwertsatz verwendet und damit gezeigt, dass auch g unabhängig vom t ist und somit auch f.

Vielen Dank nochmal für deinen Tipp.
Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Funktionen auf konvexen Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Do 14.01.2010
Autor: fred97


> Pseudo-Mittelwertsatz


wie geht denn der ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Funktionen auf konvexen Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:05 Do 14.01.2010
Autor: ms2008de


>
> > Pseudo-Mittelwertsatz
>
>
> wie geht denn der ?

Sei f:[a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] stetig und differenzierbar auf (a,b). Dann existiert ein [mm] \xi \in [/mm] (a,b) mit: [mm] \|f(b) [/mm] - [mm] f(a)\| \le \| f'(\xi )\|(b-a) [/mm]

Viele Grüße

Bezug
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