Funktionen finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 08.06.2010 | | Autor: | julmarie |
Finde alle Funktionen y: [mm] \IR \to \IR, [/mm] die folgende Gleichungen erfüllen:
[mm] y(t)=1+\integral_{0}^{t}{y^2 (s) ds} [/mm] für alle t>0 und [mm] y:(0,\infty \to \IR [/mm] )
jetzt muss man ja [mm] y´(t)=y^2 [/mm] (t) setzen und ermittelt den AW y(0)=1
Aber schon jetzt komme ich nicht mehr weiter, bisher haben wir immer einfache DGL gehabt, sodass man die e-Funktion nutzen konnte z.B.
y´(t)=2y(t)
y(t)= c*e^2t
deswegen komme ich nicht weiter...
ich weiß, dass ich in die Funktion dann den AW einsetzen muss und dann alle möglichen Funktionen ermitteln kann.. aber ich komme leider nicht weiter..
kann mir jemand helfen? irgendeinen ansatz geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Finde alle Funktionen y: [mm]\IR \to \IR,[/mm] die folgende
> Gleichungen erfüllen:
>
> [mm]y(t)=1+\integral_{0}^{t}{y^2 (s) ds}[/mm] für alle t>0 und
> [mm]y:(0,\infty \to \IR[/mm] )
>
>
> jetzt muss man ja [mm]y´(t)=y^2[/mm] (t) setzen
Im Quelltext sehe ich, dass Du [mm]y'(t)=y^2 (t) [/mm] geschrieben hast.
Das ist richtig. Wie bist Du darauf gekommen ?
> und ermittelt den
> AW y(0)=1
????????????????? Das ist Unfug ! 1. von einem Anfangswertproblem ist in der Aufgabenstellung nicht die Rede. 2. y ist in 0 nicht definiert, denn oben heißt es: $ [mm] y:(0,\infty) \to \IR [/mm] $
>
> Aber schon jetzt komme ich nicht mehr weiter, bisher haben
> wir immer einfache DGL gehabt, sodass man die e-Funktion
> nutzen konnte z.B.
> y´(t)=2y(t)
> y(t)= c*e^2t
>
> deswegen komme ich nicht weiter...
>
> ich weiß, dass ich in die Funktion dann den AW einsetzen
Nein. s.o.
> muss und dann alle möglichen Funktionen ermitteln kann..
Quatsch
> aber ich komme leider nicht weiter..
> kann mir jemand helfen? irgendeinen ansatz geben?
Wegen [mm]y(t)=1+\integral_{0}^{t}{y^2 (s) ds}[/mm] ist y [mm] \ge [/mm] 1 >0, somit kannst Du die DGL
[mm]y'(t)=y^2 (t) [/mm]
mit der Methode "Trennung der Veränderlichen " lösen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 08.06.2010 | | Autor: | julmarie |
$ [mm] y'(t)=y^2 [/mm] (t) $
so haben wir das in unserer Übung auch gemacht..
was ist denn die : Methode "Trennung der Veränderlichen "
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'(t)=y^2 (t)[/mm]
>
> so haben wir das in unserer Übung auch gemacht..
Mein Gott, was ist denn das für eine Begründung ?
Uli Hoeneß hat im Endspiel um die Europameisterschaft 1976 einen Elfmeter veschossen. Stell Dir mal vor, einer unserer Fußballjungs verschießt bei der kommenden Weltmeisterschaft einen Elfmeter. Nach dem Spiel wird er gefragt, wie das passieren konnte. Er antwortet: " .... so hat das der Hoeneß auch gemacht" . Da wären wir doch alle sehr zufrieden, gell ?
Spaß beiseite: aus
$ [mm] y(t)=1+\integral_{0}^{t}{y^2 (s) ds} [/mm] $
folgt durch Differentiation [mm]y'(t)=y^2 (t)[/mm]. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lässt grüßen.
> was ist denn die : Methode "Trennung der Veränderlichen "
Schau mal hier:
http://www.mathepedia.de/DGL_mit_getrennten_Variablen.aspx
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 08.06.2010 | | Autor: | julmarie |
ich stehe grad etwas auf dem Schlauch, aber trenne ich das dann so:
[mm] y´=y^2 [/mm]
[mm] \bruch{y´}{y^2} [/mm] = 1
wenn ich das dann integriere bekomme ich:
[mm] \bruch{x}{y^2} [/mm] =x
und dass ist dann wieder [mm] \bruch{1}{y^2}
[/mm]
????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Was Du da schreibst ist nicht lesbar. Der Formeleditor hat eine Vorschaufunktion !!!!!
Hast Du Dir das
http://www.mathepedia.de/DGL_mit_getrennten_Variablen.aspx
durchgelesen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 08.06.2010 | | Autor: | julmarie |
ja hab ich, der Fall ist auch leicht nachvollziehbar, aber ich bin mir für meine aufgaben bei dden getrennten Variablen nicht sich, was g(x) und h(y) sein sollen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja hab ich, der Fall ist auch leicht nachvollziehbar, aber
> ich bin mir für meine aufgaben bei dden getrennten
> Variablen nicht sich, was g(x) und h(y) sein sollen..
allgemein: $y'=g(x)h(y)$
Dein Fall: [mm] $y'=y^2$
[/mm]
Na, was ist dann wohl g und was h ?
Trennung liefert:
[mm] $\bruch{dy}{y^2}=dx$
[/mm]
Jetzt Du
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 08.06.2010 | | Autor: | julmarie |
das hatte ich ja in meinem vorletzten Beitrag auch so geschrieben, wenn ich dass jetzt integriere folgt:
[mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] = x
oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> das hatte ich ja in meinem vorletzten Beitrag auch so
> geschrieben
Der war zunächst nicht lesbar !
> , wenn ich dass jetzt integriere folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{y^2}[/mm] = x
>
> oder nicht?
Nein. Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] ist [mm] \bruch{-1}{y}
[/mm]
FRED
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