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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \in \IN_0, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] und [mm] f_q(x)=|x|^q.
[/mm]
Für welche q [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f\in H^{m,p}(Omega)?
[/mm]
a) Omega = [mm] B_1(0) \subset \IR^n
[/mm]
b) Omega = [mm] \IR^n \setminus B_1(0). [/mm] |
Hi!
Für n=1 und m=0 haben wir ein Beispiel gerechnet. Der Fall ist an sich ja einfach und klar:
(bei a)) [mm] \integral_{Omega}{|f_q(x)|^p dx} [/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{1}{x^{p*q}dx}
[/mm]
Also folgt q > [mm] -\bruch{1}{p}.
[/mm]
Für n>1 war der Tipp, Kugelkoordinaten zu benutzen, da man dann ja nur noch ein r hat und das Intgral je nach Fall von 0-1 oder [mm] 1-\infty [/mm] laufen lassen muss.
Aber wie benutzt man nun die Kugelkoordinaten? Wo bringt man die ganzen cos und sin unter?
Und dann fehlen für den Fall m>0 ja auch noch die schwachen Ableitungen... Da habe ich grad auch noch keine Idee, wie genau man die nachrechnet.
Ich bin für jeden Tipp dankbar!
Gruß,
die Prinzessin
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Hallo,
> Sei n [mm]\in \IN,[/mm] m [mm]\in \IN_0,[/mm] 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] und
> [mm]f_q(x)=|x|^q.[/mm]
> Für welche q [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f\in H^{m,p}(Omega)?[/mm]
> a) Omega =
> [mm]B_1(0) \subset \IR^n[/mm]
> b) Omega = [mm]\IR^n \setminus B_1(0).[/mm]
>
> Hi!
>
> Für n=1 und m=0 haben wir ein Beispiel gerechnet. Der Fall
> ist an sich ja einfach und klar:
> (bei a)) [mm]\integral_{Omega}{|f_q(x)|^p dx}[/mm] =
> [mm]2\integral_{0}^{1}{x^{p*q}dx}[/mm]
> Also folgt q > [mm]-\bruch{1}{p}.[/mm]
> Für n>1 war der Tipp, Kugelkoordinaten zu benutzen, da
> man dann ja nur noch ein r hat und das Intgral je nach Fall
> von 0-1 oder [mm]1-\infty[/mm] laufen lassen muss.
>
> Aber wie benutzt man nun die Kugelkoordinaten? Wo bringt
> man die ganzen cos und sin unter?
>
die ganzen cos und sin brauchst du hier nicht, da es sich um eine rotationssymmetrische fkt. $f(|x|)$ handelt. integrale ueber solche kann man leicht auf 1-dim. integrale zurueckfuehren (schau zb. mal im forster, analysis 3, nach), in etwa so
[mm]\int_{B_R(0)} f(|x|)\,dx = C_n \int_0^R f(r)r^{n-1}\,dr[/mm]
mit [mm] $B_R(0)\subset \mathbb{R}^n$ [/mm] und einer geeigneten konstanten [mm] $C_n$.
[/mm]
> Und dann fehlen für den Fall m>0 ja auch noch die
> schwachen Ableitungen... Da habe ich grad auch noch keine
> Idee, wie genau man die nachrechnet.
lasse die ableitungen erstmal aussen vor und checke die aussagen nur fuer [mm] $L^p$. [/mm] Fuer das integral auf der einheits-kugel musst du sowieso ein grenzwert-argument machen, also auf [mm] $B_1(0)\setminus B_\epsilon(0)$ [/mm] integrieren und dann zeigen, dass fuer [mm] $\epsilon \to [/mm] 0$ der grenzwert existiert. Dh. auf den betrachteten integrations-gebieten ist die funktion klassisch diffbar, und schwache ableitung=starke ableitung.
Die starke ableitung von [mm] $f_q$ [/mm] ist aber ja wieder von aehnlicher struktur und es gilt so etwas wie [mm] $|\nabla f_q|\le|q|\cdot |f_{q-1}|$ [/mm] (bis auf konstanten, rechne das nochmal nach), also kannst fuer die allgemeinen [mm] $H^{m,p}$ [/mm] sehr leicht mit den ergebnissen fuer [mm] $L^p$ [/mm] argumentieren...
gruss
Matthias
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Hi!
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe mir mal das betreffende Kapitel im erwähnten Buch vorgeknöpft und bin so weit gekommen:
[mm] \integral_{B_1(0)\subset\IR}{|f_q(x)|^p dx} [/mm] = [mm] c\integral_0^1{f(r)^pr^{n-1} dr} [/mm] = [mm] c\integral_0^1{r^{pq+n-1} dr}
[/mm]
Da c eine Konstante < [mm] \infty [/mm] ist (?) muss ich nur auf die Beschränkheit des Integrals eingehen. Und mit der Folgerung wie im Beispiel lande ich dann wieder bei pq+n-1>-1 [mm] \Rightarrow [/mm] q > [mm] -\bruch{n}{p}
[/mm]
Richtig soweit?
Aber was passiert bei b)? Ich kann doch genau so sagen [mm] \integral_{\IR\setminus B_1(0)}{|f_q(x)|^p dx} [/mm] = [mm] c\integral_1^\infty{f(r)^pr^{n-1} dr}, [/mm] oder? Aber dann kann ich die Beschränkheit nicht so abschätzen wie im Beispiel, weil das ja nur für Integrale von 0 bis 1 gilt, oder?
Deine Ausführungen bzgl der Ableitungen habe ich noch nicht ganz durchblickt... Also es ist möglich zu zeigen, dass f in den jeweiligen Gebieten klassisch diff'bar ist (und damit natürlich schwach diff'bar)?! Und das geht anhand eines Grenzwertes über das Integral?
Gruß,
die Prinzessin
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Hallo,
> Hi!
>
> Vielen Dank für deine Antwort!
> Ich habe mir mal das betreffende Kapitel im erwähnten
> Buch vorgeknöpft und bin so weit gekommen:
> [mm]\integral_{B_1(0)\subset\IR}{|f_q(x)|^p dx}[/mm] =
> [mm]c\integral_0^1{f(r)^pr^{n-1} dr}[/mm] =
> [mm]c\integral_0^1{r^{pq+n-1} dr}[/mm]
> Da c eine Konstante < [mm]\infty[/mm]
> ist (?) muss ich nur auf die Beschränkheit des Integrals
> eingehen. Und mit der Folgerung wie im Beispiel lande ich
> dann wieder bei pq+n-1>-1 [mm]\Rightarrow[/mm] q > [mm]-\bruch{n}{p}[/mm]
> Richtig soweit?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aber was passiert bei b)? Ich kann doch genau so sagen
> [mm]\integral_{\IR\setminus B_1(0)}{|f_q(x)|^p dx}[/mm] =
> [mm]c\integral_1^\infty{f(r)^pr^{n-1} dr},[/mm] oder? Aber dann kann
> ich die Beschränkheit nicht so abschätzen wie im
> Beispiel, weil das ja nur für Integrale von 0 bis 1 gilt,
> oder?
du erhaelst den gleichen integranden wie bei a), nur musst du jetzt schauen fuer welche exponenten das uneigentliche integral existiert! das geht wieder ueber ein grenzwert-argument. betrachte das integral bis $R$ statt bis [mm] \infty [/mm] und lasse R dann gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
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> Deine Ausführungen bzgl der Ableitungen habe ich noch
> nicht ganz durchblickt... Also es ist möglich zu zeigen,
> dass f in den jeweiligen Gebieten klassisch diff'bar ist
> (und damit natürlich schwach diff'bar)?! Und das geht
> anhand eines Grenzwertes über das Integral?
>
was ich meine ist folgendes: [mm] $f_q$ [/mm] ist ausser in $0$ ueberall (klassisch) diffbar. solange du also integralgebiete betrachtest, die nicht die 0 enthalten, brauchst du dir ueber schwache ableitungen keine gedanken machen, da die funktion stark diffbar ist. das ist aber auch hier der fall: selbst wenn du von 0 bis 1 integrierst, integrierst du eigentlich von [mm] $\epsilon$ [/mm] bis 1 und gehst dann zum grenzwert ueber. bedenke das f bei 0 einen Pol haben kann!
gruss
Matthias
> Gruß,
> die Prinzessin
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