Funktionen injektiv/surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 06.02.2010 | | Autor: | MaxW |
| Aufgabe | X und Y seien endliche Mengen mit Anz(X) = Anz (Y) = n, und f: X --> Y sei eine Abbildung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
i) f ist injektiv
ii) f ist surjektiv
iii) f ist bijektiv
Beweis: Es sei X = {x1, ...., xn}. i) --> ii): Da f injektiv ist, müssen die Werte f(x1), ..., f(xn) [mm] \in [/mm] Y unterschiedlich sein. Es sind demnach n Elemente. Da die Menge Y ebenfalls aus n Elementen besteht folgt unmittelbar Y = {f(x1), ...., f(xn)}
ii)--> i): Da f surjektiv ist, gilt Y = {f(x1), ..., f(xn)}. Wegen Anz (Y) = n folgt unmittelbar f(xi) [mm] \not= [/mm] f (xj) für alle i, j [mm] \in [/mm] {1, ..., n} mit i [mm] \not= [/mm] j. Damit ist f aber injektiv.
i), ii) --> iii) folgt aus Definition. |
Frage 1:
Beweis sagt, dass, wenn f injektiv ist, die Werte f(x1), ..., f(xn) [mm] \in [/mm] Y unterschiedlich sein. f (x1), ..., f(xn) geben, sofern ich das richtig überblicke, die Werte aus der Bildmenge an, die der Urmenge zugeordnet sind. Folgt aber die Erkenntnis, dass derartige Werte unterschiedlich sein müssen, nicht schon allein daraus, dass f eine Funktion darstellt und bei einer Funktion grundsätzlich immer nur ein einziger Wert aus der Bildmenge der Urmenge zugeordnet werden darf?
Angenommen die Menge X = {1,2,3,4} und Y = {3,3,4,5}. Wie im obigen Satz ist Anz (X) = Anz (Y).
Wenn nun jedem Wert aus X ein Wert aus Y zugeordnet werden soll ergibt sich doch schon daraus, dass die Elemente aus Y unterschiedliche sein müssen, denn sonst würde einem Wert aus X zwei Werte aus Y zugeordnet werden, was ja nach der Definition einer Funktion nicht sein darf. Also wenn 1 oder 2 oder 3 oder 4 [mm] \in [/mm] X der Wert 3 der Y-Menge zugeordnet werden würde, müssten diesem X Wert ja beide 3en aus der Y-Menge zugeordnet werden. Das folgt doch nicht erst daraus, dass die Funktion injektiv ist.
Die anderen Dinge im Beweis sind erstmal egal.
Als Anmerkung, meine Mathekentnisse sind beschränkt, studiere Rechtswiss. und mache diese BWL-Mathe sachen nur aus Spaß, weswegen es mir mehr auf das Verstehen dieser Grundlagen ankommt.
Beste Grüße
Maximilian
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Also, was du wahrscheinlich meinst, ist, dass eine Funktion f:X->Y immer jedem Element aus der Definitionsmenge X genau ein Element aus Y zuordnet, also z. B. könnte f:X->Y, X={1,2,3}, Y={3,4,5} so zuordnen:
1->3
2->4
3->5
Das geht nicht:
1->3
1->4
2->5
weil dann der 1 zwei Elemente zugeordnet werden würden, aber das geht schon:
1->3
2->3
3->4
denn zwei mal dasselbse Bild darf schon rauskommen (solange die Funktion nicht injektiv sein soll)
Und das in diesem Fall nicht das gesamte "Y" genutzt wird, ist auch nicht schlimm. Das muss es nämlich nicht. Für die Bildmenge f(X) gilt nämlich im Allgmeinen: [mm] f(X)\subseteq [/mm] Y - sie kann also auch kleiner sein als Y.
So, hilft das erstmal?
Übrigens: Bei deinem Y={3,3,4,5} gilt Y={3,3,4,5}={3,4,5} und damit Anz(Y)=3. Die Anzahl der Elemente einer Menge meint immer die Anzahl der verschiedenen(!) Elemente in einer Menge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 06.02.2010 | | Autor: | MaxW |
super, danke, was ich überhaupt nicht wusste, dass die Anzahl der Menge die verschiedenen Elemente meint. Damit wird alles klar! danke
beste Grüße
Maximilian
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