Funktionen injektiv usw. ? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:07 Do 09.09.2010 | | Autor: | Prinzessin83 |
| Aufgabe |
Sind folgende Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv. Kurz begründen.
f1: [mm]\IR^+ \to \IR^+_{0} , x\mapsto x^{4}[/mm]
f2: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}, (x_{1},_{2})\mapsto (-x_{1},-x_{2})[/mm]
f3: [mm]S_{4} \to \IN [/mm], [mm]\sigma\mapsto \sigma(1)+\sigma(2)+\sigma(3)+\sigma(4);[/mm]
f4: [mm](a,b) | a,b[/mm] [mm]\epsilon (1,...,4), a
b i=a
a i=b
Wusste hier nicht wie man die große Klammer macht.
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Hallo Leute,
ich bin im 1. Semester und solche Aufgaben sind für mich total neu und weiß nicht wie man sowas beweist.
Also was injektiv, surjektiv und bijektiv bedeutet habe ich eigentlich verstanden.
f1 ist bijektiv, weil jedes Element vom Wertebereich 1 mal getroffen wird. Also eine eindeutige Zuordnung.
f2 ist injektiv. Ich kann das nicht genau erklären weil es nach Gefühl ist. Jede Zahl wird ja quadriert und so gibt es immer z.B. für +2 oder -2 das gleiche Ergebnis.
Mit f3 und f4 komme ich gar nicht klar. Weiß nicht wie man mit so abstrakten Dingern umgeht.
In der Vorlesung sieht das so ,,logisch" aus bei Beispielen.
Zur 2.
Was will man mit der Aussage sagen? Ich verstehe das gar nicht.
Vielen vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Prinzessin83,
[mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm] sind leider gar nicht lesbar, bessere das mal nach, die geschweiften Klammern kannst du mit \{bzw. \}machen.
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<DIV class=task>
> Sind folgende Funktionen injektiv, surjektiv oder
> bijektiv. Kurz begründen.
>
> f1: [mm]\IR^+ \to \IR^+_{0} , x\mapsto x^{4}[/mm]
> f2: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}, (x_{1},_{2})\mapsto (-x_{1},-x_{2})[/mm]
>
> f3: [mm]S_{4} \to \IN [/mm], [mm]\sigma()\mapsto \sigma(1)+\sigma(2)+\sigma(3)+\sigma(4)
[/mm]
>
> f4: [mm]{(a,b)|a,b[/mm] [mm]\epsilon {1,...,4},a
> [mm](a,b)\mapsto \sigma
[/mm]
> mit
> [mm]\sigma(i):=
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
<SPAN style="COLOR: red">Eingabefehler: </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">"{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">Markierung)</SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung </SPAN>
> <SPAN style="COLOR: red">gefunden (siehe rote Markierung)</SPAN>
>
> <SPAN style="COLOR: red">{</SPAN>i i nicht element {a,b}
> b i=a
> a i=b
>
> Wusste hier nicht wie man die große <SPAN style="COLOR: red">{</SPAN> macht.
> </DIV>
> Hallo Leute,
>
> ich bin im 1. Semester und solche Aufgaben sind für mich
> total neu und weiß nicht wie man sowas beweist.
>
> Also was injektiv, surjektiv und bijektiv bedeutet habe ich
> eigentlich verstanden.
>
> f1 ist bijektiv, weil jedes Element vom Wertebereich 1 mal
> getroffen wird. Also eine eindeutige Zuordnung.
Du meinst GENAU einmal getroffen ...
Beweis,Begründung?
Benutze die Definition!
Für die Surjektivität müsstest du zu einem beliebigen [mm]z\in\IR_0^+[/mm] (also aus dem Zielbereich) ein [mm]x\in\IR^+[/mm] (aus dem Urbildbereich)angeben mit [mm]f_1(x)=z[/mm]
Wie sieht's mit [mm]z=0[/mm] aus?
Welche positive reelle Zahl wird darauf abgebildet?
>
> f2 ist injektiv. Ich kann das nicht genau erklären weil es
> nach Gefühl ist. Jede Zahl wird ja quadriert und so gibt
> es immer z.B. für +2 oder -2 das gleiche Ergebnis.
Wo wird denn da quadriert?
Oben steht doch [mm]f_2:\IR^2\to\IR^2, (x_1,x_2)\mapsto(-x_1,-x_2)[/mm]
Das [mm]\IR^2[/mm] bezeichnet das karthesische Produkt von [mm]\IR[/mm] mit sich, also [mm]\IR\times\IR[/mm].
Bedeutet, dass die Urbilder und Bilder jeweils Paare (Tupel) von reellen Zahlen sind ...
Mit der Injektivität hast du aber recht.
Schreibe dir (und uns) mal die Defionition von Injektivität auf und versuche sie geradeheraus anzuwenden ...
Wie sieht's mit der Surjektivität aus?
Überlege auch mal, was [mm] $f_2$ [/mm] denn geometrisch "macht" 
>
> Mit f3 und f4 komme ich gar nicht klar.
Ich auch nicht, was aber eher an der schlechten Lesbarkeit liegt ...
Bessere das mal aus (siehe Hinweise oben)
> Weiß nicht wie man
> mit so abstrakten Dingern umgeht.
> In der Vorlesung sieht das so ,,logisch" aus bei
> Beispielen.
>
> Zur 2.
>
> Was will man mit der Aussage sagen? Ich verstehe das gar
> nicht.
>
Was ist denn 2. ??
Ich sehe das nicht ...
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
> Vielen vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Hier die 2. Aufgabe die ich vergessen habe zu kopieren.
f: X -> Y und g: Y -> X sind zwei Abbildungen.
[mm] fog=id_{Y} [/mm] und g o f = [mm] id_{X} [/mm] => f und g sind bijektiv.
Das soll ich beweisen. |
Hallo Schachuzipus. Zuerst mal Danke für die Antwort.
Habe f3 und f4 korrigiert.
Als kleine Begründung könnte ich zu f1 ja auch schreiben, dass es eine Parabel ist ? Und da wird nun mal jedes Element im Wertebereich genau 1 mal getroffen.
Wie meinst du das mit z=0 ? Wenn [mm] f_{1}(x)=0 [/mm] dann muss x=0 sein ?
Surjektivität: die Zielmenge y hat mindestens 1 Urbild x.
Injektivität: die Zielmenge hat höchstens 1 Urbild x.
Bei [mm] f_{2} [/mm] habe ich versucht mir das mal in einer x-y-Achse einzuzeichnen.
Ist das nicht eine Gerade? Ich habe das jetzt mal ganz naiv gemacht. Also z.B. bei x=1 -> y=-1 usw...
Die 2. Aufgabe habe ich ganz vergessen zu kopieren... Habe sie hier angefügt.
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Hallo nochmal,
> Hier die 2. Aufgabe die ich vergessen habe zu kopieren.
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> f: X -> Y und g: Y -> X sind zwei Abbildungen.
> [mm]fog=id_{Y}[/mm] und g o f = [mm]id_{X}[/mm] => f und g sind bijektiv.
>
> Das soll ich beweisen.
> Hallo Schachuzipus. Zuerst mal Danke für die Antwort.
> Habe f3 und f4 korrigiert.
Ich hatte schon angefangen, das etwas auszubessern, komme aber erst heute Abend dazu, das näher anzuschauen.
Jetzt nur Kurztipps zum Rest ...
>
> Als kleine Begründung könnte ich zu f1 ja auch schreiben,
> dass es eine Parabel ist ? Und da wird nun mal jedes
> Element im Wertebereich genau 1 mal getroffen.
Hmm, naja, das ist halt sehr schwammig.
>
> Wie meinst du das mit z=0 ? Wenn [mm]f_{1}(x)=0[/mm] dann muss x=0
> sein ?
Ich wollte damit widerlegen, dass [mm]f_1[/mm] surjektiv ist.
Wenn [mm]f_1[/mm] surjektiv wäre, so gäbe es nach Definition "surjektiv" zu jedem Element [mm]y[/mm] des Bildbereiches, also zu jedem [mm]y\in\IR_0^+[/mm] ein Element [mm]x[/mm] des Urbildbereiches, also ein [mm]x\in\IR^+[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm]
Insbesondere gäbe es zu [mm]y=0\in\IR^+_0[/mm] ein [mm]x\in\IR^+[/mm] mit [mm]f_1(x)=x^4=0[/mm]
Und das kann doch nicht sein, denn dieses [mm]x[/mm] müsste 0 sein, das ist aber nicht im Urbildbereich!
>
> Surjektivität: die Zielmenge y hat mindestens 1 Urbild x.
> Injektivität: die Zielmenge hat höchstens 1 Urbild x.
Versuche, das mal etwas mathematisch genauer auszudrücken. So krümmen sich die Fußnägel, das ist mehr als schwammig...
Wie gesagt, schaue dir mal die Definitionen von injektiv/surjektiv an und verusche, die anzuwenden.
Probiere mal, die Injektivität von [mm]f_1[/mm] zu zeigen ...
>
> Bei [mm]f_{2}[/mm] habe ich versucht mir das mal in einer x-y-Achse
> einzuzeichnen.
> Ist das nicht eine Gerade?
Schon, ich meinte eher, dass du dir überlegen solltest, was die Abbildung geometrisch tut.
Sie schickt einen Punkt [mm](x,y)[/mm] der Ebene [mm](\IR^2)[/mm] auf den Punkt [mm](-x,-y)[/mm], das ist geometrisch eine ....
> Ich habe das jetzt mal ganz
> naiv gemacht. Also z.B. bei x=1 -> y=-1 usw...
Nein, es werden stets Paare (Tupel) von reellen Zahlen auf Paare (Tupel) abgebildet, die Abb. geht doch von [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm]
Es werden Punkte der Ebene auf Punkte der Ebene abgebildet ...
>
> Die 2. Aufgabe habe ich ganz vergessen zu kopieren... Habe
> sie hier angefügt.
Ok, das geht wieder über die Definitionen von injektiv/surjektiv.
Die musst du dir unbedingt aneignen und verinnerlichen!
Ich mache mal exemplarisch vor, wie man etwa die Surjektivität von f zeigt:
f ist ne Abb. von [mm]X\to Y[/mm]
Zu zeigen ist, dass es zu jedem [mm]y\in Y[/mm] ein [mm]x\in X[/mm] gibt mit [mm]f(x)=y[/mm]
Wir geben uns also ein beliebiges aber im weiteren festes [mm]y\in Y[/mm] vor und müssen ein solches [mm]x\in X[/mm] angeben.
Was wissen wir?
U.a., dass [mm]f\circ g=id_Y[/mm]
dh. für alle [mm]z\in Y[/mm] gilt [mm](f\circ g)(z)=f(g(z))=id_Y(z)=z[/mm]
Wenn wir das bedenken und auch, dass das obige beliebige aber feste [mm]y[/mm]in Y liegt, so wählen wir das gesuchte x als [mm]x=g(y)[/mm], das ist sicher in X, denn g bildet ja von Y nach X ab.
Damit gilt [mm]\red{f(x)}=f(g(y))=(f\circ g)(y)=id_Y(y)\red{=y}[/mm] genau wie es sein sollte
Also ist [mm]f[/mm] schonmal surjektiv.
Nun gehe mal in dich, schaue dir die Definitionen genauestens und in aller Ruhe an und versuche dich am Rest.
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich bedanke mich für die Denkanstösse.
Du hast gezeigt daß f schon mal surjektiv ist.
Ich muss dann sicher zeigen, dass g injektiv ist. Denn dann wäre f o g bijektiv.
Dafür nehme ich an:
[mm] \forall x_{1}, x_{2} \varepsilon [/mm] X gilt:
[mm] f(x_{1})=f(x_{2})
[/mm]
g muss ich dann anweden um daraus [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] folgern zu können.
Ist die Idee richtig?
Eine gute Nacht wünsche ich euch noch 
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> Hallo schachuzipus,
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> ich bedanke mich für die Denkanstösse.
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> Du hast gezeigt daß f schon mal surjektiv ist.
>
> Ich muss dann sicher zeigen, dass g injektiv ist.
Hallo,
später ist auch dies zu zeigen.
Aber machen wir doch erstmal mit der Funktion f weiter und zeigen, daß diese injektiv ist.
Hierfür ist zu zeigen:
wenn es [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X gibt mit [mm] f(x_1)=f(x_2), [/mm] so folgt, daß [mm] x_1=x_2.
[/mm]
> Dafür nehme ich an:
> [mm]\forall x_{1}, x_{2} \varepsilon[/mm] X gilt:
Nein.
Sondern:
seien [mm] x_1, x_2\in [/mm] X mit
> [mm] $f(x_{1})=f(x_{2})$
[/mm]
>
> g muss ich dann anweden um daraus [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] folgern zu
> können.
>
> Ist die Idee richtig?
Ja. Mach aber genau vor, mit welcher Argumentation Du arbeitest.
Du mußt die Voraussetzungen nutzen.
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
Zeige anschließend, daß g surjektiv und injektiv ist - der Beweis hierfür hat wenig Neuigkeiten zu bieten.
Gruß v. Angela
>
> Eine gute Nacht wünsche ich euch noch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Kat86 |
Zur Betrachtung der Injektivität, Surjektivität und Bijektivität ist es sinnvoll sich Gedanken über den Wertebereich und den Definitionsbereich zu machen.
Gib sie zu jeder Funktion an.
Entspricht der Wertebereich dem Definitionsbereich?
Ist der Wertebereich kleiner als der Definitionsbereich?
Überlege, was hat das mit deinen Definitionen zu tun? (also Bild und Urbild, in welchem fall gibt es zu jedem Bild ein Urbild...)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zur Betrachtung der Injektivität, Surjektivität und
> Bijektivität ist es sinnvoll sich Gedanken über den
> Wertebereich und den Definitionsbereich zu machen.
> Gib sie zu jeder Funktion an.
>
> Entspricht der Wertebereich dem Definitionsbereich?
> Ist der Wertebereich kleiner als der Definitionsbereich?
Was hat denn das mit Injektivität, Surjektivität und Bijektivität zu tun ?????
>
> Überlege, was hat das mit deinen Definitionen zu tun?
> (also Bild und Urbild, in welchem fall gibt es zu jedem
> Bild ein Urbild...)
Zu jedem Bild gibt es ein Urbild !!!!!
Du solltest Dir mal Gedanken über die Begriffe machen, mit denen Du hantierst
FRED
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> ich bin im 1. Semester und solche Aufgaben sind für mich
> total neu und weiß nicht wie man sowas beweist.
Hallo,
das ist irritierend, denn Du hast schon vor 5 Jahren Aufgaben im Mathe-Hochschulforum gepostet.
So ganz brandneu können diese Fragestellungen also nicht für Dich sein...
Das aber nur so am Rande - spielt nicht weiter eine Rolle.
Gruß v. Angela
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