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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 01.04.2009 | | Autor: | mambo |
| Aufgabe | | Funktion f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3xy |
So ich soll die oben genannte Funktion auf Extremstellen überprüfen.
Fang ich mal an, so weit wie ich komme.
f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3xy
1. Ableitung Bilden
f x (x,y) = [mm] 3x^2- [/mm] 3y f y (x,y) = [mm] 3y^2-3x
[/mm]
f xx (x,y) = 6x f yy (x,y) = 6y
f yx (x,y) = -3 f xy (x,y) = -3
2. erste Ableitung 0 (null) setzen
[mm] 3x^2- [/mm] 3y = 0 [mm] 3y^2-3x=0
[/mm]
[mm] x^2-y [/mm] = 0 y - x = 0
Würde hier heißen, ich habe 2 Punkte (wo und wie auch immer das jetzt heißen mag bei dem ding was passiert)
-> (0,0) und (1,1)
Nun habe ich was von einer Hesse Matrix gelesen
[mm] \pmat{ f xx (x,y) & f yx (x,y) \\ f xy (x,y) & f yy (x,y) }
[/mm]
macht bei mir
[mm] \pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }
[/mm]
davon die Determinante ausrechnen = 36xy - 9
aber nun weiß ich nicht weiter ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Funktion f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] - 3xy
> So ich soll die oben genannte Funktion auf Extremstellen
> überprüfen.
>
> Fang ich mal an, so weit wie ich komme.
>
> f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] - 3xy
>
> 1. Ableitung Bilden
>
> f x (x,y) = [mm]3x^2-[/mm] 3y f y (x,y) = [mm]3y^2-3x[/mm]
> f xx (x,y) = 6x f yy (x,y) = 6y
> f yx (x,y) = -3 f xy (x,y) = -3
>
> 2. erste Ableitung 0 (null) setzen
>
> [mm]3x^2-[/mm] 3y = 0 [mm]3y^2-3x=0[/mm]
> [mm]x^2-y[/mm] = 0 y - x = 0
>
> Würde hier heißen, ich habe 2 Punkte (wo und wie auch immer
> das jetzt heißen mag bei dem ding was passiert)
>
> -> (0,0) und (1,1)
Soweit O.K.
>
> Nun habe ich was von einer Hesse Matrix gelesen
>
> [mm]\pmat{ f xx (x,y) & f yx (x,y) \\ f xy (x,y) & f yy (x,y) }[/mm]
>
> macht bei mir
>
> [mm]\pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }[/mm]
>
> davon die Determinante ausrechnen = 36xy - 9
>
> aber nun weiß ich nicht weiter ???
Wo Du auch immer etwas über die Hesse-Matrix gelesen hast , Du hättest weiter lesen sollen......
Sei [mm] H_f(x,y) [/mm] die Hesse - Matrix von f (im Punkt (x,y)). Sei [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein Punkt des Def. -Bereiches von f und es sei
[mm] f_x(x_0,y_0) [/mm] = [mm] f_y(x_0,y_0) [/mm] = 0
Dann gilt:
1. f hat in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein lokales Minimum, wenn [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] > 0 und [mm] detH_f(x_0,y_0) [/mm] > 0
2. f hat in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein lokales Maximum, wenn [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] < 0 und [mm] detH_f(x_0,y_0) [/mm] > 0
3. f hat in [mm] (x_0,y_0) [/mm] kein lokales Extremum wenn [mm] detH_f(x_0,y_0) [/mm] < 0
Bei Dir sind die fraglichen Stellen [mm] (x_0,y_0) [/mm] = (0,0) und [mm] (x_0,y_0) [/mm] = (1,1)
Jetzt bist Du dran
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 01.04.2009 | | Autor: | mambo |
soll heißen jetzt, dass ich meine punkte in die matrix einsetzen soll ?
also z.B.
[mm] \pmat{ 6-0 & -3 \\ -3 & 6-0 } [/mm] für den Punkt (0,0)
so dass ich folgende Matrix bekomme
[mm] \pmat{ 6 & -3 \\ -3 & 6 } [/mm] Determinante = 27
und
[mm] \pmat{ 6-1 & -3 \\ -3 & 6-1 } [/mm] für den Punkt (1,1)
folgt
[mm] \pmat{ 5 & -3 \\ -3 & 5 } [/mm]
davon die Determinante berechnen und nachsehen was raus kommt?
wäre hier = 16
somit würde ich nach diene Aussage
f hat in $ [mm] (x_0,y_0) [/mm] $ ein lokales Minimum, wenn $ [mm] f_{xx}(x_0,y_0) [/mm] $ > 0 und $ [mm] detH_f(x_0,y_0) [/mm] $ > 0
ein lokales Minimum haben ...
ist das so korrekt ???
das ich den ersten teil richtig hatte da bin ich heil froh. Hab aber trotzdem noch eine Frage dazu.
Bei:
> f x (x,y) = $ [mm] 3x^2- [/mm] $ 3y
> f xx (x,y) = 6x
> f yx (x,y) = -3
Dieser Ableitung f yx (x,y) habe ich einfach geschaut in der Funktion
f (x,y) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] -3xy was stehen bleibt wenn ich x und y nicht beachte daher kam ich auf drei doch ob das so korrekt ist ??? Freut mich zwar das ich den Schritt habe nur wie es richtig geht weiß ich net.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> soll heißen jetzt, dass ich meine punkte in die matrix
> einsetzen soll ?
>
> also z.B.
>
> [mm]\pmat{ 6-0 & -3 \\ -3 & 6-0 }[/mm] für den Punkt (0,0)
Für x = 0 ist $6x= 0$ !!!! Analog für y. Die Matrix lautet also:
[mm]\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 }[/mm] für den Punkt (0,0)
>
> so dass ich folgende Matrix bekomme
>
> [mm]\pmat{ 6 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm] Determinante = 27
>
> und
>
> [mm]\pmat{ 6-1 & -3 \\ -3 & 6-1 }[/mm] für den Punkt (1,1)
>
> folgt
>
> [mm]\pmat{ 5 & -3 \\ -3 & 5 }[/mm]
Auch das ist falsch. für x=1 ist $6x= 1$
Also
[mm]\pmat{ 6 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm] für den Punkt (1,1)
>
> davon die Determinante berechnen und nachsehen was raus
> kommt?
>
> wäre hier = 16
>
> somit würde ich nach diene Aussage
>
> f hat in [mm](x_0,y_0)[/mm] ein lokales Minimum, wenn
> [mm]f_{xx}(x_0,y_0)[/mm] > 0 und [mm]detH_f(x_0,y_0)[/mm] > 0
>
> ein lokales Minimum haben ...
>
> ist das so korrekt ???
>
> das ich den ersten teil richtig hatte da bin ich heil froh.
> Hab aber trotzdem noch eine Frage dazu.
>
> Bei:
> > f x (x,y) = [mm]3x^2-[/mm] 3y
> > f xx (x,y) = 6x
> > f yx (x,y) = -3
>
> Dieser Ableitung f yx (x,y) habe ich einfach geschaut in
> der Funktion
> f (x,y) = [mm]3x^2[/mm] + [mm]3y^2[/mm] -3xy was stehen bleibt wenn ich x und
> y nicht beachte daher kam ich auf drei doch ob das so
> korrekt ist ???
[mm] f_x [/mm] erhälst Du indem Du y als konstant betrachtest und nach x differenzierst.
Bsp: f(x,y) = [mm] e^{xy}
[/mm]
Dann: [mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] ye^{xy}
[/mm]
[mm] f_{xy} [/mm] erhält Du, indem Du in [mm] f_x [/mm] die Var. x als konstant betrachtest und nach y differenzierst
in ob. Bsp.: [mm] f_{xy}(x,y) [/mm] = = [mm] xye^{xy}
[/mm]
FRED
> Freut mich zwar das ich den Schritt habe
> nur wie es richtig geht weiß ich net.
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