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Funktionen mit Scharparameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 04.03.2006
Autor: Jay.Kay

Aufgabe
Geg.: [mm] f(x)=-c^{-2}x³+3x [/mm]   c [mm] \IR+ [/mm]

Bestimmen sie Lage und Art der Nullstellen in Abhängigkeit von c.

hallo miteinander!
also ich habe gerechnet:

[mm] 0=-\bruch{1}{c^2}x³+3x [/mm]

x ausklammern =>  [mm] x_{1}=0 [/mm]
dann habe ich die mitternachtsformel benutz um den rest zu finden

[mm] x_{1,2}= \bruch{0 \pm \wurzel{0²-4(-\bruch{1}{c²})3}}{2(-\bruch{1}{c²})} [/mm]

ich habe ein ergebnis vorliegen wie es weitergehen kann und ich verstehe nicht wie man zu diesem schritt kommt:
             [mm] =\bruch{\pm 2*\wurzel{3}}{c}:(-\bruch{2}{c²}) [/mm]

ich bitte um hilfe
danke!

Hiermit versichere ich, dass ich diese aufgabe in keinem anderen forum reingestellt habe!

        
Bezug
Funktionen mit Scharparameter: weiter zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 04.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Jay.Kay!


Dein Ansatz und Dein Weg sind völlig richtig (auch wenn es etwas einfacher ginge: siehe am Ende). Du musst Deine Formel lediglich etwas weiter zusammenfassen:

[mm]x_{1,2}= \bruch{0 \pm \wurzel{0²-4*\left(-\bruch{1}{c²}\right)*3}}{2*\left(-\bruch{1}{c²}\right)}[/mm]

[mm]x_{1,2}= \bruch{\pm \wurzel{\bruch{4}{c²}*3}}{-\bruch{2}{c²}}[/mm]


Und nun wenden wir folgendes an: [mm] $\wurzel{a*b} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a}*{b}$ [/mm] sowie [mm] $\wurzel{\bruch{4}{c^2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{2}{c}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{c}$ [/mm]

[mm]x_{1,2}= \pm\bruch{\wurzel{\bruch{4}{c²}}*\wurzel{3}}{-\bruch{2}{c²}}[/mm]

[mm]x_{1,2}= \pm\bruch{\bruch{2}{c}*\wurzel{3}}{-\bruch{2}{c²}}[/mm]





Hier mal mein Lösungsansatz:

[mm] $f_c(x) [/mm] \ = \ [mm] -c^{-2}*x^3+3x [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{x^3}{c^2}+3x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x^3}{c^2}+\bruch{3x*\blue{c^2}}{\blue{c^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x^3+3c^2*x}{c^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x*\left(x^2-3c^2\right)}{c^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x*\left(x+\wurzel{3c^2}\right)*\left(x-\wurzel{3c^2}\right)}{c^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x*\left(x+\wurzel{3}*c\right)*\left(x-\wurzel{3}*c\right)}{c^2}$ [/mm]


Und nun kann man in dieser faktorisierten Form die Nullstellen "ablesen" ...


Gruß
Loddar


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