Funktionen mit ZWS < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 26.09.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Bekanntlich hat erfüllt ja jede Ableitung einer Funktion, auch wenn diese nicht stetig ist, die Zwischenwerteigenschaft. Die Frage, die wir uns gestellt haben: geht es andersrum? Kann ich zu jeder Funktion, die den ZWS erfüllt, eine Stammfunktion finden? Dabei kann man sich imo erstmal auf beschränkte Ableitungen beschränken, die auf einem beschränkten Intervall defineirt sind.
Als einen ansatz würde es für die Widerlegung reichen, eine nicht meßbare funktion "anzugeben", die den ZWS erfüllt - denn die ableitungen sind ja meßbar.
Als einen Schritt in Richtung das dies stimmt, jkönnte man zeigen, dass die Menge der Unstetigekeitsstellen abzählbar ist, also die Funktion meßbar, und sich dann mit Integrationstheorie die Stammfunktion besorgen.
Ideen?
SEcki
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Hallo SEcki,
ich habe ein paar Fragen und Anmerkungen zu deinem Problem.
> Hallo,
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> Bekanntlich hat erfüllt ja jede Ableitung einer Funktion,
> auch wenn diese nicht stetig ist, die
> Zwischenwerteigenschaft.
Was für voraussetzungen stellst du an die funktion, differenzierbar, schwach differenzierbar, ...?
> Die Frage, die wir uns gestellt
> haben: geht es andersrum? Kann ich zu jeder Funktion, die
> den ZWS erfüllt, eine Stammfunktion finden?
Du betrachtest also (im einfachsten Fall) alle funktionen [mm] $f:[a,b]\to \IR$, [/mm] für die man zu [mm] $y\in [/mm] [f(a),f(b)]$ ein [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] finden kann mit $f(x)=y$, richtig verstanden?
> Dabei kann man
> sich imo erstmal auf beschränkte Ableitungen beschränken,
> die auf einem beschränkten Intervall defineirt sind.
>
> Als einen ansatz würde es für die Widerlegung reichen, eine
> nicht meßbare funktion "anzugeben", die den ZWS erfüllt -
> denn die ableitungen sind ja meßbar.
Geht das nicht relativ leicht? definiere zunächst auf dem halben intervall [mm] $[a,a+\bruch{b-a}{2}]$ [/mm] eine funktion mit zwischenwerteigenschaft und setze diese funktion dann beliebig obskur auf der zweiten hälfte fort, wobei die funktionswerte natürlich im bildbereich der ersten intervallhälfte bleiben müssen.
> Als einen Schritt in Richtung das dies stimmt, jkönnte man
> zeigen, dass die Menge der Unstetigekeitsstellen abzählbar
> ist, also die Funktion meßbar, und sich dann mit
> Integrationstheorie die Stammfunktion besorgen.
Hier stellt sich mir die frage, wie in welchem sinne du von stammfunktion sprichst. nimm zum beispiel die dirichlet-fkt. , also eine funktion, die für rationale argumente $1$ ist und sonst $0$. Diese funktion ist integrierbar,also insbesondere auch meßbar. Aber was ist die stammfunktion? Ich denke, hier muß man entscheiden, ob man sich in klassischen funktionräumen bewegen möchte, dh. (stückweise) stetige oder diffbare funktionen, oder in den moderneren Lebesgue bzw. Sobolevräumen.
Wenn du von punktweiser gleichheit sprichst, halte ich die aussage aber für falsch.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich habe ein paar Fragen und Anmerkungen zu deinem
> Problem.
Gut, ich setze nacher wieder die Frage auf unbeantwortet - ich glaube nicht, dass hier schon die Lösung war.
> Was für voraussetzungen stellst du an die funktion,
> differenzierbar, schwach differenzierbar, ...?
Normale Differenzierbarkeit: der Differenzenquotient konvergiert für alle x. (die Standarddefinition von Stammfunktion.). Falls es damit nicht möglich ist, kann man versuchen die schwächste Differenzierbarkeitsversion zu nehmen und schauen, ob es mit ihr noch geht.
> Du betrachtest also (im einfachsten Fall) alle funktionen
> [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm], für die man zu [mm]y\in [f(a),f(b)][/mm] ein
> [mm]x\in[a,b][/mm] finden kann mit [mm]f(x)=y[/mm], richtig verstanden?
Nicht ganz - die eigenschaft soll auch für alle Teilintervalle gelten. Deswegen ...
> Geht das nicht relativ leicht? definiere zunächst auf dem
> halben intervall [mm][a,a+\bruch{b-a}{2}][/mm] eine funktion mit
> zwischenwerteigenschaft und setze diese funktion dann
> beliebig obskur auf der zweiten hälfte fort, wobei die
> funktionswerte natürlich im bildbereich der ersten
> intervallhälfte bleiben müssen.
reicht das nicht, da auf der zweiten Intervall-Hälfte sie den ZWS nicth erfüllt.
> Hier stellt sich mir die frage, wie in welchem sinne du von
> stammfunktion sprichst. nimm zum beispiel die
> dirichlet-fkt. , also eine funktion, die für rationale
> argumente [mm]1[/mm] ist und sonst [mm]0[/mm]. Diese funktion ist
> integrierbar,also insbesondere auch meßbar. Aber was ist
> die stammfunktion?
Im obigen Sinne (punktweise ableitung) existiert keine, da der ZWS nicht erfüllt wird.
> Ich denke, hier muß man entscheiden, ob
> man sich in klassischen funktionräumen bewegen möchte, dh.
> (stückweise) stetige oder diffbare funktionen, oder in den
> moderneren Lebesgue bzw. Sobolevräumen.
In einem klassischen Funktionenraum - also zu jeder Funktion, die dn ZWS erfüllt, suche ich eine Funktion aus dem VR der einmal diffbaren Funktionen, deren Ableitung jene Funktion ist.
> Wenn du von punktweiser gleichheit sprichst, halte ich die
> aussage aber für falsch.
Das kann gut sein - ich muss blos ein Gegenbeispiel finden. Vielleicht finde ich ja eine Eigenschaft, die die Ableitungen von Stammfunktionen alle haben (ähnlich wie dem ZWS), aber von eienr Funktion, die eben den ZWS erfüllt, nicht erfüllt wird.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 27.09.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> > Du betrachtest also (im einfachsten Fall) alle funktionen
> > [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm], für die man zu [mm]y\in [f(a),f(b)][/mm] ein
> > [mm]x\in[a,b][/mm] finden kann mit [mm]f(x)=y[/mm], richtig verstanden?
>
> Nicht ganz - die eigenschaft soll auch für alle
> Teilintervalle gelten. Deswegen ...
Meinst du das wirklich so? das ist aber eine sehr starke forderung, die, wenn mich jetzt nicht alles täuscht, auch die stetigkeit der funktion impliziert. denn wenn eine funktion eine unstetigkeitsstelle besitzt, wird sie lokal die ZW-eigenschaft nicht erfüllen.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meinst du das wirklich so? das ist aber eine sehr starke
> forderung, die, wenn mich jetzt nicht alles täuscht, auch
> die stetigkeit der funktion impliziert.
Das glaube ich nicht (wir haben, muss ich mir noch ansehen, soagr eine funktion, die diese Eiegnschaft erfüllt und nirgends 8!9 stetig ist.): Was ist die Ableitung von [m]x^2\sin{\bruch{1}{x}}[/m]? Die erfüllt die ZWS, ist aber nicht stetig. außerdem: wenn deines Aussage wahr wäre, so wäre Diffbarkeit und stetige Diffbarkeit dasselbe.
> denn wenn eine
> funktion eine unstetigkeitsstelle besitzt, wird sie lokal
> die ZW-eigenschaft nicht erfüllen.
Das ist nicht so richtig - sie muss um diese Stelle oszielieren.
> Viele Grüße
> Matthias
Aber Danke für deine anregungen bisher!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 29.09.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
> > Meinst du das wirklich so? das ist aber eine sehr starke
> > forderung, die, wenn mich jetzt nicht alles täuscht, auch
> > die stetigkeit der funktion impliziert.
>
> Das glaube ich nicht (wir haben, muss ich mir noch ansehen,
> soagr eine funktion, die diese Eiegnschaft erfüllt und
> nirgends 8!9 stetig ist.): Was ist die Ableitung von
> [m]x^2\sin{\bruch{1}{x}}[/m]? Die erfüllt die ZWS, ist aber nicht
> stetig. außerdem: wenn deines Aussage wahr wäre, so wäre
> Diffbarkeit und stetige Diffbarkeit dasselbe.
>
Du hast recht. man sollte sich nicht zu sehr auf seine intuition verlassen. funktionen, die diffbar aber nicht stetig diffbar sind, werden von der intuition nämlich gerne ausgeblendet....
> > denn wenn eine
> > funktion eine unstetigkeitsstelle besitzt, wird sie lokal
> > die ZW-eigenschaft nicht erfüllen.
>
> Das ist nicht so richtig - sie muss um diese Stelle
> oszielieren.
ja, korrekt.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Do 29.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meinst du das wirklich so? das ist aber eine sehr starke
> forderung, die, wenn mich jetzt nicht alles täuscht, auch
> die stetigkeit der funktion impliziert. denn wenn eine
> funktion eine unstetigkeitsstelle besitzt, wird sie lokal
> die ZW-eigenschaft nicht erfüllen.
Kurz eine Skizze, wie man eine Funktion erhält, die überall die ZWs erfüllt - sogar jedes offenen Intervall auf ganz [m]\IR[/m] (!) abbildet: Man führt auf den rellen Zahlöen einen Äquiv.relation ein: [m]x\sim y\gdw x-y\in \IQ[/m]. Diese Relation hat "gleicheviele" (dh es existiert eine Bijektion g) Elemente wie die rellen Zahlen selber. Nun bilde ich das [m]f:\|R\to \|R,x\mapsto g([x])[/m]. Das erfüllt dann die Eiegenschaften - da die rationalen Zahlen dicht liegen, gibt es in jedem offenen Intervall jede Äquiv-klasse.
Ich neheme mal an, das diese Funktion noch nichtmal meßbar ist, aber direkt sehen tue ich es egrad enicht. Aber da muss doch bald ein Widerspruch herkommen ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo SEcki,
ich kann zwar auch nicht sagen, ob die von Dir "konstruierte" ;) Funktion meßbar ist, aber vielleicht reicht es ja schon aus, daß die Lösungsmenge von f(x)=0 (also die Aquivalenzklasse [mm] $g^{-1}(0)$) [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt:
Vermutung: Gilt für eine differenzierbare Funktion [mm] $F:\IR\to\IR$, [/mm] daß $F'$ auf einer dichten Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] verschwindet, so ist F konstant.
Vermutlich ist der Beweis hierfür ganz elementar. Ich sehe es bloß gerade nicht... :/
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Mathe-Forum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Galois,
ich glaube, nach Lebesgue-Integration liefert die Ableiten die Ausgangs-Funktion nur "fast überall". Wenn man sicher sein will, muss f gleichmäßig stetig und die Ableitung muss fast überall 0 sein, damit der Schluss "f = konst." trägt.
Gruß, Richard
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Hallo zusammen,
die von Eckhard eingeführte Äquivalenzrelation hat Vitali (ca. 1915) benutzt um nicht meßbare Menegen zu konstruieren:
x~y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in \IQ
[/mm]
Eine Auswahlmenge X aus der Partition [mm] \{[x] / x \in [0; 1] \} [/mm] ist nicht meßbar, falls das Maß nicht trivial ist: Denn hätte sie ein Maß, ließe sich das Intervall [0;1] durch abzählbar viele X + q mit q [mm] \in \IQ [/mm] überdecken, also
maß(X) = 0 und damit [mm] maß(\IR) [/mm] = 0 oder maß([0; 1]) = [mm] \infty [/mm] .
Die Funktion [mm]f: x -> x_{[]} + q[/mm] ist für eine gegeben Auswahlmenge X eindeutig bestimmt, wenn [mm] x_{[]} [/mm] das Auswahlelement zu [x] ist, und [mm]q = x - x_{[]}[/mm] .
f ist dann die Identität.
Dann dürfte ggf.
g: x -> [mm] x_{[]}+q/2 [/mm] eine nichtmeßbare Funktion sein, deren Bild doch ein nichtleeres Inneres hat.
Kann's im Augenblick leider nicht prüfen, ggf. später...
Gruß Richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Fr 07.10.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich kann leider nicht auf die frage antworten - komisch, also als Mitteilung:
Erstmal: die Idee stammt von Christian Reiher (also Eghre, wem Ehre gebührt). Zuerst ändert man die Funktion so ab, das sie nur alle Werte auf einem endlichen Intervall annimmt, denn dann kann man den verallgemeinerten HDI aus der Lebesgue-Theorie verwenden. Sei f also die Funktion, F die Stammfunktion, dann gilt [m]G(a)=\int_0^a f=F(a)-F(0)[/m]. Jetzt zeige man: das so defineirte G ist linear! Dazu: es ist linear in allen rationalen Punkten, da f jede rationale Zahl als Periode hat (einfach mal nachrechnen, zB [m] m*G(1)=m*\int_0^1f=\int_0^1f +\int_1^2f...=\int_0^nf=G(n))[/m]. Da aber G stetig, ist es für alle rellen Zahlen linear, dh [m]G(a)=m*a+t[/m], also ist die Ableitung konstant - Widerspruch!
Ich hoffe, die Leute, die das interessiert verfolgt haben, wird das jetzt auch interessieren! 
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ecki!
Also, die Lösung ist absolut genial ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") (ich habe dazu unten allerdings noch dümmliche Fragen <- die haben sich hoffentlich erledigt... ), aber was mich viel mehr interessiert:
> Erstmal: die Idee stammt von Christian Reiher (also Eghre,
> wem Ehre gebührt).
Ist das etwa der Christian Reiher? ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Der erfolgreichste Teilnehmer aller Zeiten der IMO?
Ich meine, das ist so ziemlich das größte Idol aller deutschen Mathematiker, die sich für Mathe-Wettbewerbe interessieren. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Könntest du ihn nicht überreden, ab und zu mal hier hereinzuschauen und uns im Mathe-Wettbewerbsforum zu helfen? (Denn mittlerweile sind die Schüler dort so gut, dass ich die Lösungsvorschläge fast nicht mehr Korrektur lesen kann.  )
Das wäre ein Riesending für den Matheraum!
Ich denke die Frage hat sich erledigt, ich hatte dich falsch verstanden. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Jetzt zu meiner mathematisch bescheidenen Frage:
Wie genau sind die Voraussetzungen des verallgemeinerten Lebesgueschen HDI (insbesondere: kannst du etwas genauer erläutern, was es mit dem "alle Werte auf einem endlichen Intervall" auf sich hat, war das nicht eh schon erfüllt durch die Konstruktion (in jedem Intervall liegt doch jede Äquivalenzklasse) und warum ist es (erst) dann anwendbar)?
Sorry, wenn die Frage trivial ist, aber ich bin da nicht mehr so drin...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 07.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Du meinst, dass man [mm]f[/mm] durch eine neue Definition
> "beschränkt macht" (also in ein beschränktes Intervall
> abbildet) und so den Lebesgue-HDI anwenden kann (denn dort
> wird ja Beschränktheit des Integranden vorausgesetzt).
> Richtig?
Genau so - die ursprüngliche Funktion war ja unbeschränkt, also muss man sie durch was beschränktes ersetzen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Eckhard,
der Beweis ist genial!
Der Vollständigkeit halber könnte man noch ergänzen, da F' = f nur fast überall gilt und Nullmengen schon zu einem Intervall bijektiv sein können, dass Dein f nur auf Nullmengen konstant ist...
Grüße, Richard
P.S.: dass F = [mm] \integral [/mm] f überall(!) stetig sein muss und nicht nur stetig f.ü., hat mich zuerst irritiert. Kennst Du vielleicht einen einfachen Beweis dafür? R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Sa 08.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> P.S.: dass F = [mm]\integral[/mm] f überall(!) stetig sein muss und
> nicht nur stetig f.ü., hat mich zuerst irritiert. Kennst Du
> vielleicht einen einfachen Beweis dafür? R
Das war ja quasi die Vorraussetzung: ich suche eine klassische Stammfunktion, dh eine, wo überall gilt: [m]F'=f[/m]. Dann ist aber F stetig ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
dann habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden, nämlich so:
Erfüllt f auf [a, b] den ZWS überall, dann ist f Lebesgue-integrabel.
Das gilt (auch) nicht.
Allgemein ist wohl [mm]F(x) = \integral_{a}^{x}f(y)dy[/mm] für L-integrierbares f überall(!) stetig und fast überall diff.bar mit F'(x) = f(x).
Das wäre jedenfalls meine Frage gewesen.
Grüße, Richard
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