Funktionen untersuchen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Ich stecke gerade in den Vorbereitungen zu einer Analysis Klausur und habe eine eher allgemeine Frage zu einem Aufgabetyp.
Gegeben sei eine Funktion [mm] f:\IR^{2}\rightarrow \IR, (x,y)\mapsto [/mm] f(x,y).
Zu untersuchen ist die Funktion auf STETIGKEIT, DIFFEFRENZIERBARKEIT und PARTIELLE DIFFERENZIERBARKEIT.
Zuerst zum letzten Punkt...
Ist es richtig, dass ich für partielle Differenzierbarkeit zeigen muss dass
1) [mm] \bruch{\partial}{\partial y}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} [/mm] und
2) [mm] \bruch{\partial}{\partial x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
[/mm]
existieren für 1) festes x und 2) festes y?
Leider lässt sich aus differentieller Differenzierbarkeit ja dann nicht schließen, ob sie differenzierbar ist. Wie muss man dann hier ansetzen? Und wenn ich weiß, dass die Funktion differenzierbar ist kann ich ja daraus schließen, dass sie stetig ist.
Hier mal ein Bsp.:
f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0) und [mm] f(x,y)=\bruch{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0)
Ich hab versucht zu zeigen oder zu wiederlegen, dass sie differenzierbar ist, in dem ich gerechnet habe, dass sie auch im Punkt (0,0) es dort ist oder nicht. Versuch:
1) [mm] \bruch{\partial}{\partial y}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\infinity [/mm] und
2) [mm] \bruch{\partial}{\partial x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\infinity
[/mm]
Hieraus habe ich geschlossen, dass sie nicht diff.bar ist in (0,0) und folglich dort nicht stetig
Allerdings weiß ich jetzt nichts mehr zur partiellen Differenzierbarkeit.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und mich vielleicht darauf aufmerksam macht, dass ich aufm Holzweg bin! 
Lg, Kübi
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hallo,
du kannst einfach x durch r.sin(alfa) und y r.cos(alfa) ersetzen und so lösen.
nach dem Ersetzen und Kürzungen erhälts du diese funktion [mm] \bruch{1}{cos \alpha^2.sin \alpha^2.r^2}. [/mm] wie du siehst , hast du jetzt eine funktion mit einer Variable( r)
und wenn man r durch 0 ersetzt , dann gibt es keine Lösung.
das heisst diese funktion ist im 0 nicht stetig.
und wenn man die funktion nach r ableitet dann bekommst im Nenner wieder einen Wert mit r
das heisst die funktion ist im 0 nicht differenzierbar.
und wenn die funktion nicht diff.bar ist , hat keine partielle Ableitungen im 0.
hinweis: solche funktionen kannst du mit der Definition nicht lösen(zumindest nicht leicht lösen)
deshalb wählt man diesen Weg
ok
> Hallo ihr!
>
> Ich stecke gerade in den Vorbereitungen zu einer Analysis
> Klausur und habe eine eher allgemeine Frage zu einem
> Aufgabetyp.
>
> Gegeben sei eine Funktion [mm]f:\IR^{2}\rightarrow \IR, (x,y)\mapsto[/mm]
> f(x,y).
>
> Zu untersuchen ist die Funktion auf STETIGKEIT,
> DIFFEFRENZIERBARKEIT und PARTIELLE DIFFERENZIERBARKEIT.
>
> Zuerst zum letzten Punkt...
>
> Ist es richtig, dass ich für partielle Differenzierbarkeit
> zeigen muss dass
>
> 1) [mm]\bruch{\partial}{\partial y}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}[/mm]
> und
> 2) [mm]\bruch{\partial}{\partial x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/mm]
>
> existieren für 1) festes x und 2) festes y?
>
> Leider lässt sich aus differentieller Differenzierbarkeit
> ja dann nicht schließen, ob sie differenzierbar ist. Wie
> muss man dann hier ansetzen? Und wenn ich weiß, dass die
> Funktion differenzierbar ist kann ich ja daraus schließen,
> dass sie stetig ist.
>
> Hier mal ein Bsp.:
>
> f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0) und
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}[/mm] für [mm](x,y)\not=[/mm]
> (0,0)
>
> Ich hab versucht zu zeigen oder zu wiederlegen, dass sie
> differenzierbar ist, in dem ich gerechnet habe, dass sie
> auch im Punkt (0,0) es dort ist oder nicht. Versuch:
>
> 1) [mm]\bruch{\partial}{\partial y}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\infinity[/mm]
> und
> 2) [mm]\bruch{\partial}{\partial x}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\infinity[/mm]
>
> Hieraus habe ich geschlossen, dass sie nicht diff.bar ist
> in (0,0) und folglich dort nicht stetig
>
> Allerdings weiß ich jetzt nichts mehr zur partiellen
> Differenzierbarkeit.
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> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte und mich vielleicht
> darauf aufmerksam macht, dass ich aufm Holzweg bin!
>
> Lg, Kübi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:52 Do 20.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Erstmal danke für die Antowort! Jedoch hat unser Prof. nie so gerechnet, und mir erscheint es auch komisch, x durch [mm] r\cdot cos(\alpha) [/mm] und analog y zu ersetzen, ich rechne ja schließlich nicht in Polarkoordinaten!
Gibt es da nicht doch Möglichkeiten, die Sache anders zu lösen?
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 22.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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ja, hallo
doch gibt es möglichkeiten und wie folgt
du kannst die Funktion einmal nach x (y ist wie eine konstante betrachtet)und einmal nach y (jetzt x fest ) ableiten .
jetzt hast du zwei ableitungen(sogenannte partielle Ableitungen) und wenn du bei diesen zwei Funktionen x und y durch 0 ersetzt , siehst dass du undefinierte Ausdrücke hast.
das heisst , die partiellen Ableitungen im 0 existieren nicht. wenn die Partielle Ableitungen nicht existieren dann ist die funktion nicht diff.bar(bzw. total diff.bar) im 0 und wenn nicht diff.bar ist dann auch nicht stetig .
soweit ist es klar ?
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