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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 14.03.2014 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f_{n}:[0; \infty) \rightarrow \IR; [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] |
Hallo,
ich möchte die punktweise und glm. konvergenz obiger Funktionenfolge zeigen. Wäre supi, wenn jemand meinen Lösungsvorschlag verbessert:
Mein Lösungsvorschlag:
Punktweise Konvergenz:
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x)=\limes_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n}(x) [/mm] konvergiert punktweise gegen f(x) mit f(x)=0.
Zur gleichmäßigen konvergenz:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)}|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0; \infty)} |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}-0|=\lim_{n \rightarrow \infty}|\underbrace{\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}}_{=:h(x)}|=\*\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
*[Nebenrechnung/Überlegung:
ich brauche nun das sup von h(x). Mit der ersten Ableitung bekomme ich das leider nicht hin. Deshalb folgende Überlegung:
[mm] h(x)=\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] wird am größten für x am kleinsten. Also für x = 0 . Dann ist [mm] h(0)=\bruch{1}{n}. [/mm] Größer kann h(x) garnicht werden.]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig.
Stimmt das so??? Was sagt ihr dazu???
Danke!
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 14.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip richtig, aber besser ist du zeigst,direkt dass die beiden Faktoren für JEDES feste x einen GW haben mit lim [mm] e^{-x/n}=1 [/mm] und lim1/n=0 ausserdem [mm] e^-{x/n}
dann hast du direkt die glm Konvergenz ,die die punktweise einschließt.,
Gruß leduart
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