Funktionenfolge (-1)^n/nx < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 11.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Ist die Reihe punktweise konvergent und/oder gleichmäßig konvergent?
[mm] f_{n}: ]0,\infty[ \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \rightarrow f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^{n}}{nx} [/mm] |
Meine einschätzung dazu ist, daß sie auf dem gesamten Intervall punktweise konvergent ist, denn der limes gegen unendlich ist für alle x und n Null.
Gleichmäßig konvergent ist sie nicht, bzw nicht auf dem intervall ]0,1[. Beweisen kann ich das aber nicht... Im Kopf schwebt mir aber vor, daß die differenz von [mm] |f_{n}(x)-f(x)|> \varepsilon [/mm] wird.
Kann mir jemand helfen meine Gedanken zu mathematisieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 11.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Reihe punktweise konvergent und/oder gleichmäßig
> konvergent?
> [mm]f_{n}: ]0,\infty[ \rightarrow \IR,[/mm] x [mm]\rightarrow f_{n}(x)[/mm]
> := [mm]\bruch{(-1)^{n}}{nx}[/mm]
> Meine einschätzung dazu ist, daß sie auf dem gesamten
> Intervall punktweise konvergent ist, denn der limes gegen
> unendlich ist für alle x und n Null.
Lass "und n" weg, dann ist es richtig.
> Gleichmäßig konvergent ist sie nicht, bzw nicht auf dem
> intervall ]0,1[. Beweisen kann ich das aber nicht... Im
> Kopf schwebt mir aber vor, daß die differenz von
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|> \varepsilon[/mm] wird.
>
> Kann mir jemand helfen meine Gedanken zu mathematisieren?
Nimm mal an [mm] (f_n) [/mm] würde auf (0, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig konvergieren, dann müßte gelten:
[mm] a_n [/mm] = sup{ [mm] |f_n(x)| [/mm] : x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] } --> 0 für n --> [mm] \infty
[/mm]
Wegen | [mm] f_n(1/n)| [/mm] = 1 für jedes n ist aber [mm] a_n \ge [/mm] 1, Widerspruch.
FRED
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Ich sehe gerade, daß die Frage auf dem Aufgabezettel mißverständlich formuliert war. ich soll nicht die Folge [mm] f_{n} [/mm] betrachten, sondern :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx}
[/mm]
Gilt da das eben bewiesene auch?
Ich kann das doch nicht mit dem Weierstraß abschätzen? oder doch? aber wie?
oder muß ich da das etwas stachelige dirichlet-kriterium nehmen, weils ne alternierende reihe ist???? oder nehm ich den verdichtungssatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel |
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> Ich sehe gerade, daß die Frage auf dem Aufgabezettel
> mißverständlich formuliert war. ich soll nicht die Folge
> [mm]f_{n}[/mm] betrachten, sondern :
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx}[/mm]
>
>
>
>
> Gilt da das eben bewiesene auch?
> Ich kann das doch nicht mit dem Weierstraß abschätzen?
> oder doch? aber wie?
> oder muß ich da das etwas stachelige dirichlet-kriterium
> nehmen, weils ne alternierende reihe ist???? oder nehm ich
> den verdichtungssatz?
nimm' ![[]](/images/popup.gif) Leibniz (Weierstraß wäre hier schlecht, denn [mm] $\sum 1/n=\infty$)
[/mm]
P.S.:
Die Frage, ob Deine Reihe glm. konvergiert, ist damit natürlich noch nicht geklärt. Such' evtl. mal nach Kriterien, wo man die Grenzfunktion nicht explizit braucht, also sowas wie Cauchykr. für Reihen edit: besser: für glm. Konvergenz von Funktionenreihen, Satz 15.8...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich sehe gerade, daß die Frage auf dem Aufgabezettel
> mißverständlich formuliert war. ich soll nicht die Folge
> [mm]f_{n}[/mm] betrachten, sondern :
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx}[/mm]
>
>
>
>
> Gilt da das eben bewiesene auch?
> Ich kann das doch nicht mit dem Weierstraß abschätzen?
> oder doch? aber wie?
> oder muß ich da das etwas stachelige dirichlet-kriterium
> nehmen, weils ne alternierende reihe ist???? oder nehm ich
> den verdichtungssatz?
bevor Du irgendwelche Kriterien auf (Funktionen-)Reihen/(Funktionen-)Folgen ... anwendest, wäre es sinnvoll, zu prüfen, ob die Voraussetzungen überhaupt gegeben sind. Bei dem Cauchyschen Verdichtungssatz steht drin:
Es sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] eine monoton fallende Folge mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN_0$. [/mm] Genau dann konvergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$, [/mm] wenn...
Für (jedes) festes $x > 0$ hat Deine Reihe die Gestalt [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx} \equiv \sum_{n=1}^\infty a_n$, [/mm] d.h. [mm] $a_n=\frac{(-1)^n}{nx}\,.$
[/mm]
Diese Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] besteht aus unendlich vielen echt negativen Folgegliedern [mm] ($a_n [/mm] < 0$ für alle ungerade [mm] $\,n\,$), [/mm] zudem ist sie nicht monoton fallend...
Denke bitte daran, bevor Du ein Kriterium anwendest, zu prüfen, ob die Voraussetzungen des Kriteriums überhaupt gegeben sind. Ansonsten prüfst Du einfach auf unsinnige Weise, was im Endeffekt genauso effektiv ist, wie wenn Du gar nichts prüfen würdest; denn dein Beweis benutzt dann nichtvorhandene Voraussetzungen und ist ergo dann meist nicht mehr zu retten; also einfach falsch!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 13.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Sa 13.12.2008 | | Autor: | iks |
Hallo Susann!
> Ich sehe gerade, daß die Frage auf dem Aufgabezettel
> mißverständlich formuliert war. ich soll nicht die Folge
> [mm]f_{n}[/mm] betrachten, sondern :
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx}[/mm]
>
>
>
>
> Gilt da das eben bewiesene auch?
> Ich kann das doch nicht mit dem Weierstraß abschätzen?
> oder doch? aber wie?
> oder muß ich da das etwas stachelige dirichlet-kriterium
> nehmen, weils ne alternierende reihe ist???? oder nehm ich
> den verdichtungssatz?
>
Glaube nicht das das schon "bewiesene" hier ausreicht. Wenn ich die pktw. Konvergenz richtig verstanden habe, lassen wir das x "fest" und bilden den Grenzwert [mm] $n\to\infty$. [/mm] D.h. für ein festes x aus dem Definitionsbereich:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{x} [/mm] ln2$
Demzufolge sollte die Grenzfunktion
[mm] $f=\frac{1}{x} [/mm] ln2$
sein. Mit Cauchykriterium kannst du dann zeigen,. das die Reihe nicht glm konvergiert. Wähle dazu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] dann ist Für alle [mm] $n>n_0$:
[/mm]
[mm] $||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}||_{\IR}\ge||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}||_{x\ge1}=||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}||=ln2>\frac{1}{2}=\varepsilon$
[/mm]
weiss nur nicht ob ichz noch ein [mm] $n_0$ [/mm] explizit angeben muss.
Vllt schaut nochmal jemand drüber.
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo iks,
> Hallo Susann!
>
> > Ich sehe gerade, daß die Frage auf dem Aufgabezettel
> > mißverständlich formuliert war. ich soll nicht die Folge
> > [mm]f_{n}[/mm] betrachten, sondern :
> >
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{nx}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > Gilt da das eben bewiesene auch?
> > Ich kann das doch nicht mit dem Weierstraß abschätzen?
> > oder doch? aber wie?
> > oder muß ich da das etwas stachelige
> dirichlet-kriterium
> > nehmen, weils ne alternierende reihe ist???? oder nehm ich
> > den verdichtungssatz?
> >
>
> Glaube nicht das das schon "bewiesene" hier ausreicht. Wenn
> ich die pktw. Konvergenz richtig verstanden habe, lassen
> wir das x "fest" und bilden den Grenzwert [mm]n\to\infty[/mm]. D.h.
> für ein festes x aus dem Definitionsbereich:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{x} ln2[/mm]
dort sollte, laut Wiki: Log. als PR, wohl eher [mm] $\frac{-\ln(2)}{x}$ [/mm] stehen; aber das ist nicht wesentlich.
> Demzufolge sollte die Grenzfunktion
>
> [mm]f=\frac{1}{x} ln2[/mm]
[mm] $$f(x)=-\ln(2)/x$$; [/mm]
aber vor allem auf [mm] $\blue{]0,\infty}[$!!!
[/mm]
> sein. Mit Cauchykriterium kannst du dann zeigen,. das die
> Reihe nicht glm konvergiert. Wähle dazu
> [mm]\varepsilon=\frac{1}{2}[/mm] dann ist Für alle [mm]n>n_0[/mm]:
>
> [mm]||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}||_{\IR}\ge||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}||_{x\ge1}=||\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}||=ln2>\frac{1}{2}=\varepsilon[/mm]
>
> weiss nur nicht ob ichz noch ein [mm]n_0[/mm] explizit angeben
> muss.
>
> Vllt schaut nochmal jemand drüber.
Also das letzte ist unsinnig. Wieso steht da eine Norm auf [mm] $\IR$? [/mm] Die [mm] $f_n$ [/mm] sind für $x=0$ gar nicht definiert; und es geht nur um die Frage der glm. Konvergenz auf [mm] $]0,\infty[$.
[/mm]
Abgesehen davon ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ [/mm] konvergent, was insbesondere beinhaltet, dass [mm] $\left|\sum_{n=n_0+1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\right| \to [/mm] 0$ bei [mm] $n_0 \to \infty$. [/mm] In Wahrheit steht also bei Deiner Abschätzung
[mm] $$\left\|\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{nx}\right\|_{\infty,]0,\infty[} \ge a_{n_0}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $a_{n_0} \ge [/mm] 0$(für (fast) alle [mm] $n_0$ [/mm] und [mm] $a_{n_0} \to [/mm] 0$ bei [mm] $n_0 \to \infty$.
[/mm]
Das bringt natürlich keine (verwertbare) Aussage. Das Problem bei Dir ist auch, dass Du oben behauptest [mm] $\left|\sum_{n=n_0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\right|=\ln(2)$ [/mm] für jedes [mm] $n_0 \in \IN$. [/mm] In Wahrheit stimmt das nur für [mm] $n_0=1$. [/mm]
Mit anderen Worten:
Du zeigst oben keineswegs, dass die Reihe das Cauchykriterium nicht erfüllt. Du zeigst natürlich auch nicht, dass sie es erfülle.
So hart das nun klingen mag, aber Deine Abschätzung zeigt eigentlich gar nichts bzgl. des Cauchykriteriums...
P.S.:
Zur Korrektur:
Man sollte sich folgendes zunächst klarmachen:
Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{nx}$ [/mm] steht ja nur für die Folge ihrer Partialsummen [mm] $s_n(x):=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{kx}$. [/mm] Zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $x > 0$ berechnen wir [mm] $s_{n+2}(x)-s_n(x)=\frac{(-1)^{n+2}}{(n+2)x}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)x}=\frac{(-1)^{n+1}}{x}*\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{(-1)^{n+1}}{x}*\frac{1}{(n+1)(n+2)}$, [/mm] also gilt
[mm] $$|s_{n+2}(x)-s_{n}(x)|=\frac{1}{x}*\frac{1}{(n+1)*(n+2)}\,.$$
[/mm]
Setzt man nun für $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $x:=x_n:=\frac{1}{(n+1)*(n+2)} [/mm] > 0$ dort ein, so erkennt man, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{nx}$ [/mm] auf [mm] $]0,\infty[$ [/mm] das Cauchykriterium nicht erfüllen kann.
(Es gilt ja für [mm] $x=\frac{1}{(n+1)*(n+2)} [/mm] > 0$ gerade [mm] $\left|\sum_{k=n}^{n+2} \frac{(-1)^{n+1}}{n*x}\right|=\frac{1}{x}*\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{x}{x}=1 [/mm] > 1/2$ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Bzw. wenn es unklar ist:
Wir haben die obige Folge [mm] $(s_n(x))_{n \in \IN}$ [/mm] auf gleichmäßige Konvergenz auf [mm] $]0,\infty[$ [/mm] zu untersuchen: Dies machen wir, indem wir untersuchen, ob sie glm. Cauchy auf [mm] $]0,\infty[$ [/mm] ist.
Dabei haben wir aber oben gesehen:
Für [mm] $\varepsilon:=1/2 [/mm] > 0$ gilt: Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] finden wir $n,m [mm] \ge [/mm] N$ und $x [mm] \in ]0,\infty[$ [/mm] so, dass [mm] $|s_{m}(x)-s_n(x)| [/mm] > 1/2$; das ergibt sich (s.o.) mit $n:=N, m:=n+2$ und [mm] $x:=\frac{1}{(n+1)(n+2)} \in ]0,\infty[$. [/mm] Nach Satz 15.8 ist dann [mm] $(s_n(x))_n$ [/mm] nicht glm. Cauchy auf [mm] $]0,\infty[$, [/mm] m.a.W. [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{nx}$ [/mm] ist nicht glm. kgt. auf [mm] $]0,\infty[$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mo 15.12.2008 | | Autor: | iks |
Hallo Marcel!
Danke fürs Shampoo... :o)
Und natürlich auch die Erklärungen
mFg iks
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:54 Do 11.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Nimm mal an [mm](f_n)[/mm] würde auf (0, [mm]\infty)[/mm] gleichmäßig
> konvergieren, dann müßte gelten:
>
> [mm]a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= sup{ [mm]|f_n(x)|[/mm] : x [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} --> 0 für n -->
> [mm]\infty[/mm]
Zur Klarstellung: erst hat man die Grenzfunktion f, die die Nullfunktion ist, dann betrachtet man [m]|f_n(x)-f(x)|[/m]
SEcki
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