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| Aufgabe | Die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] f_n(x)=\sum_{k=0}^{n} c_k x^k [/mm] konvergiert punktweise gegen die Funktion
f: ]-R,R[ [mm] \rightarrow \IC, [/mm] x [mm] \rightarrow \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k. [/mm] Dabei soll R der Konvergenzradius sein.
Behauptung: f ist eine auf ]-R,R[ differenzierbare Funktion. Begründe deine Antwort. |
Hallo!
Ich denke das die Behauptung nicht stimmt und suche gerade ein Gegenbeispiel. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das richtig ist.
Ich habe die geometrische Reihe genommen:
[mm] \sum_{k=1}^{n} x^k [/mm] mit [mm] f(x)=\frac{1}{1-x}
[/mm]
Damit die Funktion differenzierbar ist muss gelten:
[mm] f'(x)=\lim_{n \to \infty} f_n'(x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] und [mm] \lim_{n \to \infty}n\cdot x^{n-1}= \infty
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen Dank schonmal!
Gruß, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> [mm]f_n(x)=\sum_{k=0}^{n} c_k x^k[/mm] konvergiert punktweise gegen
> die Funktion
> f: ]-R,R[ [mm]\rightarrow \IC,[/mm] x [mm]\rightarrow \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k.[/mm]
> Dabei soll R der Konvergenzradius sein.
>
> Behauptung: f ist eine auf ]-R,R[ differenzierbare
> Funktion. Begründe deine Antwort.
> Hallo!
> Ich denke das die Behauptung nicht stimmt und suche gerade
> ein Gegenbeispiel. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob
> das richtig ist.
wenn ich mir z.B. ![[]](/images/popup.gif) dieses hier durchlese, bin ich mir auch nicht sicher, dass Dir das gelingen wird. 
("Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation...")
Sollte Dir der Beweis nicht alleine gelingen, so starte mal mit Satz 16.5 von hier.
(Bitte dann nicht nur abschreiben, sondern erst selbst durchdenken und mitdenken und danach nochmal versuchen, das ganze alleine aufzuschreiben!)
> Ich habe die geometrische Reihe genommen:
> [mm]\sum_{k=1}^{n} x^k[/mm] mit [mm]f(x)=\frac{1}{1-x}[/mm]
> Damit die Funktion differenzierbar ist muss gelten:
> [mm]f'(x)=\lim_{n \to \infty} f_n'(x)[/mm]
Seit wann muss das gelten? Unter bestimmten Voraussetzungen gilt das zwar. Wenn Du behauptest, dass das hier gelten muss, hast Du auch zu begründen, warum das gelten muss. In Kapitel 15 aus obigem Skript findest Du durchaus entsprechende hinreichende Kriterien dafür (z.B. Satz 15.14). Und Beispiel 15.13 zeigt, dass das von Dir behauptete eben i.a. nicht gelten muss.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo!
Vielen Dank für die Antwort.
Habe die Frage irgendwie ganz falsch verstanden. Es ist ja tatsächlich nur nach der Existenz der Ableitung von f und nicht mehr gefragt. Und nachdem ich das genannte Skript mal ein wenig durchforstet habe, ist mir augefallen das wir sogar einen Satz im Skript haben, der genau diese Aussage macht. Sollte mich wohl doch nochmal näher mit dem Skript und den Potenzreihen befassen...
Aber für die Aufgabe brauche ich also gar keinen Beweis zu führen, sondern der Satz reicht als Begründung. Vielen Dank!
Liebe Grüße, Wiebke
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