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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Sa 24.11.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Wenn [mm] f_k \to [/mm] f und [mm] f_k\to [/mm] g nach Maß [mm] \mu [/mm] für k [mm] \to \infty, [/mm] dann gilt f=g [mm] \mu [/mm] fast-überall |
Ich habe irgendwie versucht die Definitionen aufeinander anzuwenden, achaffe es aber irgendwie nicht f und g in die Norm zu bekommen. Kann man [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] rechnen, nein oder?
Ich bin da ein bischen hilflos im Moment.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Shurakai |
Zeig doch mal deine Ansätze, vielleicht können wir dir dann besser helfen :)
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> Zeigen Sie: Wenn [mm]f_k \to[/mm] f und [mm]f_k\to[/mm] g nach Maß [mm]\mu[/mm] für k
> [mm]\to \infty,[/mm] dann gilt f=g [mm]\mu[/mm] fast-überall
> Ich habe irgendwie versucht die Definitionen aufeinander
> anzuwenden, achaffe es aber irgendwie nicht f und g in die
> Norm zu bekommen. Kann man [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm]
> rechnen, nein oder?
> Ich bin da ein bischen hilflos im Moment.
> Es wäre nett wenn mir jemand helfen würde.
Wir wissen also, dass für alle [mm] $\delta [/mm] >0$ sowohl [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(\{|f_k-f|\geq \delta\})=0$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(\{|f_k-g|\geq \delta|\})=0$ [/mm] ist.
Daraus ergibt sich (glaube ich), dass
[mm]\mu(\{|f-g|\geq 2\delta\})\leq \mu(\{|f_k-f|\geq \delta\})+\mu(\{|f_k-g|\geq \delta\})[/mm]
Die beiden Summanden auf der rechten Seite dieser Ungleichung gehen aber, nach Voraussetzung, für [mm] $k\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$. Da $k$ auf der linken Seite der Ungleichung gar nicht vorkommt, gilt also für alle [mm] $\delta [/mm] >0$, dass [mm] $\mu(\{|f-g|\geq 2\delta\})=0$ [/mm] ist. Daraus wirst Du nun auf [mm] $\mu(\{|f-g|>0\})=0$ [/mm] und somit $f=g$ [mm] ($\mu$-fast [/mm] überalll) schliessen wollen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 25.11.2007 | | Autor: | Shurakai |
Hallo Somebody,
könntest du bitte noch kurz erläutern, wieso diese Ungleichung gelten soll? Sie würde ja gelten, wenn die Menge auf der linken Seite eine Teilmenge der Mengen auf der rechten Seite wäre; aber wieso soll das so sein?
Würde mich über eine Antwort freuen, das interessiert mich jetzt nämlich 
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> Hallo Somebody,
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> könntest du bitte noch kurz erläutern, wieso diese
> Ungleichung gelten soll? Sie würde ja gelten, wenn die
> Menge auf der linken Seite eine Teilmenge der Mengen auf
> der rechten Seite wäre; aber wieso soll das so sein?
>
> Würde mich über eine Antwort freuen, das interessiert mich
> jetzt nämlich
Zunächst haben wir einmal, gemäss Dreiecksungleichung,
[mm]|f-g|=|(f-f_k)-(g-f_k)|\leq |f_k-f|+|f_k-g|[/mm]
Also gilt die Implikation
[mm]|f_k-f|<\delta\text{ und } |f_k-g|<\delta \Rightarrow |f-g|<2\delta[/mm]
und natürlich ebenso deren Transposition (![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Transposition_(logic)), nämlich
[mm]|f-g|\geq 2\delta \Rightarrow |f_k-f|\geq \delta \text{ oder } |f_k-g|\geq \delta[/mm]
(wobei diese Ungleichungen stets als zwischen Funktionswerten für ein konkretes Argument $x$ geltend zu lesen sind: ich war einfach zu faul, ein solches Argument $x$ immer wieder hinzuschreiben)
In Mengenschreibweise ist dies nichts anderes als die Inklusion
[mm]\{|f-g|\geq 2\delta\}\green{\subseteq} \{|f_k-f|\geq \delta\} \cup \{|f_k-g|\geq \delta\}[/mm]
Nun wenden wir an, dass für ein positives Mass [mm] $\mu$ [/mm] gilt, dass [mm] $A\green{\subseteq} B\cup C\Rightarrow \mu(A)\red{\leq} \mu(B\cup [/mm] C)$ sowie [mm] $\mu(B\cup C)\blue{\leq} \mu(B)+\mu(C)$, [/mm] Damit erhalten wir die gewünschte Ungleichung
[mm] \mu(\{|f-g|\geq 2\delta\})\red{\leq} \mu\big(\{|f_k-f|\geq\delta\}\cup \{|f_k-g|\geq \delta\}\big) \blue{\leq} \mu(\{|f_k-f|\geq \delta\})+\mu(\{|f_k-g|\geq \delta\})[/mm]
kurz
[mm]\mu(\{|f-g|\geq 2\delta\})\blue{\leq} \mu(\{|f_k-f|\geq \delta\})+\mu(\{|f_k-g|\geq \delta\}) [/mm]
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