Funktionenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 So 03.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | Untersuche welche dieser Folgen gleichmässig konvergent sind :
a) f(x) [mm] =x^n-x^{2n} [/mm] auf X=[0,1]
b)f(x)= [mm] \bruch{1}{(x+n)} [/mm] auf [mm] X=(0,\infty)
[/mm]
c) f(x)= [mm] \bruch{n*x}{1+x+n} [/mm] auf X=[0,1]
d) f(x)= [mm] \bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n}) [/mm] auf X=(0,1)
[mm] e)f(x)=\wurzel[n]{1+x^n} [/mm] auf [mm] X=[1,\infty) [/mm] |
Hallo,
ich hab diese Aufgabe gerechnet und bei mir sind fast alle Folgen gleichmässig konvergent. Das hat mich ein wenig stutzig gemacht und da ich auch nicht besonders sicher bin, ob mein Vorgehen so wirklich korrekt ist wäre es toll, wenn jemand einen kurzen Blick darauf werfen könnte:
a) schreibe [mm] x:=\bruch{1}{1+p} \gdw p=\bruch{1-x}{x}
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon> [/mm] bruch{1}{n}
[mm] |x^n-x^2n|=\bruch{1}{1+p}^n -\bruch{1}{1+p}^2n=\bruch{1}{1+p}^n*(1-\bruch{1}{1+p}^n) \le \bruch{1}{1+n*p}(1-\bruch{1}{1+n*p}=\bruch{n*p}{(1+n*p)^2}\le \bruch{1}{1+n*p}
[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{n*p}
[/mm]
hier komm ich dummerweise nicht weiter ich vermuet aber das die Funktion auch gleichmässig konvergent ist.
b) Sei [mm] \varepsilon> \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] x\le [/mm] 1
| [mm] \bruch{1}{(x+n)}|=\bruch{1}{(x+n)}<\bruch{1}{(n)}<\varepsilon
[/mm]
c)Sei [mm] \varepsilon> \bruch{2}{n+2}
[/mm]
[mm] |\bruch{n*x}{1+x+n} -x|=|\bruch{(x^2+x)}{1+x+n}|=\bruch{-(x^2+x)}{1+x+n}\le \bruch{2)}{n+2}<\varepsilon
[/mm]
d)Sei [mm] \varepsilon> [/mm] ln(1/n)
[mm] |\bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n})|=\bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n})\le\bruch{1}{n}*ln( \bruch{x}{n})\le [/mm] ln( [mm] \bruch{x}{n})< \varepsilon
[/mm]
[mm] e)\varepsilon>1+\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] |\wurzel[n]{1+x^n}-x|\le\wurzel[n]{1+x^n}\le 1+(\bruch{x^n}{n})\le 1+\bruch{1}{n}< \varepsilon
[/mm]
vielen Dank und viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hat es einen besonderen Grund dass sich noch niemand zu dieser Frage geäußer hat? Soll ich vielleicht näher erläutern wie ich vorgegeangen bin?
Es geht mir ja nur darum ob mein Vorgehen wirklich so ligitim ist.
Bin für jede antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sag deine Absicht, also schreib die (vermutete Grenzfunktion hin!
bei a und b ist das wohl die Grenzfkt f(x)=0
bei c) f(x)=x
bei d) vermutest du wieder 0 und bei e) x
2. was soll [mm] \epsilon>1/n [/mm] bedeuten? du musst doch für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] zeigen, dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>N_0(\epsilon) [/mm] und unabhängig von x.
jetzt im einzelnen:
> Untersuche welche dieser Folgen gleichmässig konvergent
> sind :
>
> a) f(x) [mm]=x^n-x^{2n}[/mm] auf X=[0,1]
>
> b)f(x)= [mm]\bruch{1}{(x+n)}[/mm] auf [mm]X=(0,\infty)[/mm]
>
> c) f(x)= [mm]\bruch{n*x}{1+x+n}[/mm] auf X=[0,1]
>
> d) f(x)= [mm]\bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n})[/mm] auf X=(0,1)
>
> [mm]e)f(x)=\wurzel[n]{1+x^n}[/mm] auf [mm]X=[1,\infty)[/mm]
>
> a) schreibe [mm]x:=\bruch{1}{1+p} \gdw p=\bruch{1-x}{x}[/mm]
> Sei
> [mm]\varepsilon>[/mm] bruch{1}{n}
> [mm]|x^n-x^2n|=\bruch{1}{1+p}^n -\bruch{1}{1+p}^2n=\bruch{1}{1+p}^n*(1-\bruch{1}{1+p}^n) \le \bruch{1}{1+n*p}(1-\bruch{1}{1+n*p}=\bruch{n*p}{(1+n*p)^2}\le \bruch{1}{1+n*p}[/mm]
das 1 [mm] \le [/mm] ist nicht begründet: du hast den ersten Faktor vergrößert, indem du (mit Bernoulli- Ungl) den Nenner verkleinert hast, den 2 ten Faktor hast du verkleinert, in dem du den subtrahenden verkleinert hast.
die Klammer kannst du einfach durch 1 abschätzen 8vergrößern.
> [mm]\le \bruch{1}{n*p}[/mm]
> hier komm ich dummerweise nicht weiter
> ich vermuet aber das die Funktion auch gleichmässig
> konvergent ist.
damit [mm] $\bruch{1}{n*p}<\epsilon$ [/mm] folgt doch [mm] n>\bruch{1}{\epsilon*p}
[/mm]
kannst du ein n angeben unabh. von p?
warum machst du das mit dem p du kannst doch [mm] x^n*(1-x^n) [/mm] für x<1 direkt abschätzen?
>
> b) Sei [mm]\varepsilon> \bruch{1}{n}[/mm] und [mm]x\le[/mm] 1
>
> |
> [mm]\bruch{1}{(x+n)}|=\bruch{1}{(x+n)}<\bruch{1}{(n)}<\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also $|\bruch{1}{(x+n)}-0|}<\varepsilon$ für n>N_0=[1/\epsilon]
> c)Sei [mm]\varepsilon> \bruch{2}{n+2}[/mm]
siehe oben Sei [mm] \epsilon>0
[/mm]
> [mm]|\bruch{n*x}{1+x+n} -x|=|\bruch{(x^2+x)}{1+x+n}|=\bruch{-(x^2+x)}{1+x+n}\le \bruch{2)}{n+2}<\varepsilon[/mm]
hier den Nenner vergrößert statt verkleinert. wieder ein n angeben...
>
> d)Sei [mm]\varepsilon>[/mm] ln(1/n)
> [mm]|\bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n})|=\bruch{x}{n}*ln( \bruch{x}{n})\le\bruch{1}{n}*ln( \bruch{x}{n})\le[/mm]
> ln( [mm]\bruch{x}{n})< \varepsilon[/mm]
hier ist die Abschätzung falsch, weil ln(x/n)<0 für x<n
> [mm]e)\varepsilon>1+\bruch{1}{n}[/mm]
das geht nicht!!
> [mm]|\wurzel[n]{1+x^n}-x|\le\wurzel[n]{1+x^n}\le 1+(\bruch{x^n}{n})\le 1+\bruch{1}{n}< \varepsilon[/mm]
da hast du einfach zu grob abgeschätzt und Bernoulli hilft nicht, vergrößer den ausdruck unter der Wurzel!
übrigens berechne mal [mm] f_n(1)!
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
vielen vielen dank für deine Antwort und vor allem deine Zeit.
Also erstmal nur zu a):
Das mir dem p hab ich meinem Professor nachgemacht der hat das auch mal so gemacht aber war vielleicht nicht die beste Idee.
Ok also ist die Abschätzung $ [mm] \le \bruch{1}{n\cdot{}p} [/mm] $ dann auf Umwegen in Ordnung.
"damit $ [mm] \bruch{1}{n\cdot{}p}<\epsilon [/mm] $ folgt doch $ [mm] n>\bruch{1}{\epsilon\cdot{}p} [/mm] $"
Irgendwie müsste ich ja jetzt noch dieses p loswerden das einzige was ich darüber weiß ist nur das p>0 gilt aber ,da 0<p<1 gelten kann, weiß ich nicht wie ich hier weiter abschätzen könnte um das p loszuwerden. :(
$ [mm] x^n\cdot{}(1-x^n) [/mm] $ ließe sich denk ich für x<1 durch 1 abschätzen.
Die Behauptung muss ja jetzt für alle [mm] \varepsilon [/mm] gelten ich weiß jetzt auch nicht wie ich hier für alle [mm] \varepsilon [/mm] ein N wählen kann sodass die Bedingung für gleichmässige Konvergenz erfüllt ist :(.
Ich glaub du musst mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen :(
Bis hierhin aber vielen dank für deine Hilfe ich hab einfach versucht mit der Definition drauflos zu rechnen, ohne zu wissen ob das auch wirklich so funktioniert .
viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 05.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Klar dürfte sein, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] punktweise gegen 0 strebt.
Berechne mal [mm] f_n(1/\wurzel[n]{2}) [/mm] und überlege Dir , ob [mm] (f_n) [/mm] gleichmäßig konvergieren kann.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
also wenn ich [mm] fn(1/\wurzel[n]{2}) [/mm] betrachte kommt 1/4 raus das heißt der Wert an der Stelle [mm] 1/\wurzel[n]{2} [/mm] ist konstant für ich glaube nur endlich viele n ?Sonst wär es ja ein wiederspruch zur Punktweisen konvergenz gegen 0.
Lässt sich daraus folgern das f nicht gleichmässig konvergiert, da N in diesem Punkt deutlich größer gewähl werden muss als in den anderen Punkten ? Das hieße dann dass fn nicht gleichmässig konvergiert.
Andererseits glaube ich, dass 1/4 jeweils der maximale wert ist, den fn im Intervall animmt. Ich weiß aber nicht wie das mit gleichmässiger Konvergenz zusammenhängt.
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Di 05.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, [mm] (f_n) [/mm] würde auf [0,1] glm. konvergieren. Dann gibt es zu [mm] $\varepsilon=1/5$ [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|f_n(x)|<1/5$ [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] [0,1] .
Es ist aber [mm] $|f_n(1/\wurzel[n]{2})|>1/5$ [/mm] für jedes n.
Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ahh,
danke jetzt ist mir das ganze auch klar für jedes beliebige Epsilon muss die Bedingung ja auch für alle x erfüllt sein.
Ich denke mal das ist auch allgemein eine gute Taktik um gleichmäßige konvergenz zu wiederlegen immer erst nach konstaten Punkten zu suchen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ok also a) ist jetzt klar soweir dank Freds Hilfe.
b) war ja wenn ich das richtig verstehe soweit in Ordnung und es ist somit gezeigt,dass die Folge gleichmässig konvergiert.
zu c)
$ [mm] |\bruch{n\cdot{}x}{1+x+n} -x|=|\bruch{-(x^2+x)}{1+x+n}|=\bruch{(x^2+x)}{1+x+n}\le \bruch{2)}{n+1}
[/mm]
ich denke so müsste die Abschätzung stimmen, da x <1.
Dann wähle ich ich [mm] n>N_0:=\bruch{2}{\varepsilon }-1 [/mm] und habe so für alle [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] gefunden.
d) Viellciht hier noch eine kurze Idee da gilt ln(x+1)<x also auch ln(x)<x für alle x >-1
$ [mm] |\bruch{x}{n}\cdot{}ln( \bruch{x}{n})|=\bruch{x}{n}\cdot{}ln( \bruch{x}{n} \le \bruch{x^2}{n^2} \le \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Dann wähle ich [mm] n>N_0:= \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}
[/mm]
Dann folgt gleichmässige konvergenz.
So in Ordnung?
Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 05.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
bei dem ln kannst du nicht einfach den betrag weglassen!
ln(x)<x gilt sicher nicht für x<0, weil da x nicht definiert ist.
lnx<1+x gilt für 0<x<1 zwar, weil dann lnx<0 aber es gilt nicht für den Betrag! ln(1/e)<-1<1/e aber |lnln(1/e)|=1>1/e
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
stimmt ja hab wiedermal ganz ignoriert das der ln hier ja negativ wird.
Hast du denn vielleicht einen Tipp wie ich den Betrag geschickt abschätzen kann ? Ich kenn sonst eigentlich keine Abschätzung für den ln :(
zu d) lässt sich das ganze genauso zeigen wie bei a)?
Die Funktion knvergiert ja punktweise gegen x und [mm] \wurzel[n]{2}=f_n(1) [/mm] . Kann man auch hier wieder Epsilon kleiner [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] wählen und hat dann bei 1 immer einen Punkt wo der Abstand > Epsiolon ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 05.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für alle x in dem intervall ist ln(x/n)<0 x/n>0 also ersetz den Betrag durch x/n*(-ln(x/n))=x/n*ln(n/x)
1. versuch ln(n/x)<n x="" hilft="" nicht.="" aber="">
[mm] ln(n/x)=2*ln(\wurzel{n/x})<2*\wurzel{n/x}
[/mm]
und damit kommst du hin!
die zweite frage versteh ich nicht, meine methode wär: da [mm] x\ge1 1/x\le1
[/mm]
[mm]0<\sqrt[n]{x^n+1}-x=x*\sqrt[n]{1+1/x^n}-x< (Bernoulli für Exponent <1) \le x*(1+1/n*1/x^n)-x
[/mm]
jetz wieder du.
Gruss leduart
</n>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 05.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ok ,
zu d) ich glaub da wär ich so schnell nicht drauf gekommn danke
bei e) hab ich dann wohl einfach deinen ersten hinweis katastrophal falsch verstanden.
> [mm]0<\sqrt[n]{x^n+1}-x=x*\sqrt[n]{1+1/x^n}-x< (Bernoulli für Exponent <1) \le x*(1+1/n*1/x^n)-x
[/mm]
>
> jetz wieder du.
ok ich versuchs mal
[mm] x*((1+1/n*1/x^n)-1)=x*(1/n*1/x^n)=1/(n*x^n-1)\le [/mm] 1/n da x>1
also wähle ich [mm] N_0=1/\varepsilon
[/mm]
also auch hier gleichmässig konvergent.
richtig so ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
d)so richtig, aber check deine posts! da steht [mm] x^n-1 [/mm] statt [mm] x^{n-1} [/mm] was du hoffentlich meinst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ja das meinte ich . Ich hab jetzt nur noch eine letzte etwas allgemeinere Frage .
Wie sieht man denn am leichtesten, dass eine Funktionenfolge nicht Gleichmässig konvergiert?
Ich meine durch die Epsilon Abschätzung kann ich ja eigentlich keine Aussge darüber treffen.
Falls ich Epsilon nur in Abhängigkeit von x und N wählen kann , kann das doch einfach daran liegen, dass ich schlecht abgeschätzt habe und trotzdem eine Abschätzung nur in Abhängigkeit von N existiert.
Bisher weiß ich nur folgendes :
- konstante Punkte suchen wie bei a)
-ist die Grenzfunktion nicht stetig so ist fn nicht gleichmässig konvergent
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ein wirkliches Rezept gibts nicht, bei vielen folgen sieht man, dass sie an einem ende des intervalls oder an einem Punkt viel langsamer konv. als an den anderen, meist sieht man, dass die grenzfkt in mindestens 1 punkt, oft am Endpunkt des Intervalls unstetig ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Eine winzig kleine allerletzte rückfrage zur d) hier find ich noch etwas ein wenig wiedersprüchlich vielleicht kannst du da ncoh kurz Klarheit schaffen :)
Was passier aber wenn ich jetzt f(n/2) betrachte
dann hab ich doch f(n*2)=2*ln(2)
wähle ich jetzt [mm] \varepsilon=ln(2) [/mm] dann finde ich für alle n bei n*2 einen Punkt an dem gilt [mm] |f(n*2)-0|=2*ln(2)>\varepsilon
[/mm]
das hieße ja nicht gleichmässig konvergent .
Andererseits $ [mm] ln(n/x)=2\cdot{}ln(\wurzel{n/x})<2\cdot{}\wurzel{n/x} [/mm] $
sagt mir diese Abschätzung jetzt auch, dass die funktion nicht gleichmässig konvergiert?
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 06.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo x=n 0der r*n sollst du nicht setzen, sondern die x sind [mm] fest<\infty [/mm] während n gegen [mm] \infty [/mm] läuft.
du hast |x/n*ln(x/n)|= x/n*ln(n/x) für 0<x <1 1 und n>1
und für alle x:
[mm] x/n*ln(n/x)=x/n*2*ln(\wurzel{n/x})\le 2*x/n*\wurzel{n/x}=2\wurzel{x/n}<2\wurzel{1/n}<\epsilon [/mm] wenn [mm] 1/n<\epsilon/2 [/mm] also [mm] n>4/\epsilon^2 [/mm]
also glm .stetig, da n nicht von x abhängt.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ok super ,
jetzt ist denk ich alles klar .
Danke für deine Geduld und ausführliche Hilfe
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