Funktionenfolgen - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 04.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n \in \IN}
[/mm]
[mm] f_{n} [/mm] : [mm] ]0,\infty[ \to \IR [/mm] , [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + nx}
[/mm]
1. Konvergiert sie punktweise?
2. Ist die Grenzfunktion f stetig?
3. Konvergiert sie gleichmäßig?
(Anmerkung: [mm] \IN:= [/mm] Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null) |
Hallo,
ich bin neu hier, muss euch Profis aber leider gleich mit einer Frage belästigen...
Bei der obigen Aufgabe habe ich mir überlegt:
1. Es ist folgendes zu berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + nx} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die Grenzfunktion f ist f(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in ]0,\infty[.
[/mm]
2. Die Grenzfunktion f ist als konstante Funktion stetig.
3. Nach meiner gegebenen Definition konvergiert eine Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig auf einem Intervall E gegen eine Funktion f, wenn für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für n [mm] \ge [/mm] N und x [mm] \in [/mm] E gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x)| \le \epsilon.
[/mm]
Ich vermute, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Die Negation der obigen Aussage müsste also lauten: [mm] (\exists \epsilon [/mm] > 0) [mm] (\forall [/mm] N [mm] \in \IN) (\exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N) [mm] (\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] E): [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] > [mm] \epsilon. [/mm] Man erhält demnach:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{1}{1 + nx}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + nx} [/mm] > [mm] \epsilon
[/mm]
Irgendwie fehlt mir nun der weitere logische Schluss. Daher möchte ich gerne wissen, ob es soweit korrekt ist und wie es weitergeht.
Vielen lieben Dank!
Herzliche Grüße
Marie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm]
>
> [mm]f_{n}[/mm] : [mm]]0,\infty[ \to \IR[/mm] , [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{1 + nx}[/mm]
>
> 1. Konvergiert sie punktweise?
> 2. Ist die Grenzfunktion f stetig?
> 3. Konvergiert sie gleichmäßig?
>
> (Anmerkung: [mm]\IN:=[/mm] Menge der natürlichen Zahlen ohne die
> Null)
> Hallo,
>
> ich bin neu hier, muss euch Profis aber leider gleich mit
> einer Frage belästigen...
>
> Bei der obigen Aufgabe habe ich mir überlegt:
>
> 1. Es ist folgendes zu berechnen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 + nx}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Die Grenzfunktion f ist f(x)=0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in ]0,\infty[.[/mm]
>
> 2. Die Grenzfunktion f ist als konstante Funktion stetig.
Richtig.
> 3. Nach meiner gegebenen Definition konvergiert eine
> Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] gleichmäßig auf einem Intervall E
> gegen eine Funktion f, wenn für jedes [mm]\epsilon[/mm] > 0 eine
> natürliche Zahl N existiert, so dass für n [mm]\ge[/mm] N und x
> [mm]\in[/mm] E gilt: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le \epsilon.[/mm]
>
> Ich vermute, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig
> konvergiert. Die Negation der obigen Aussage müsste also
> lauten: [mm](\exists \epsilon[/mm] > 0) [mm](\forall[/mm] N [mm]\in \IN) (\exists[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N) [mm](\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] E): [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] > [mm]\epsilon.[/mm] Man
> erhält demnach:
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] = [mm]\vmat{\bruch{1}{1 + nx}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1 + nx} > \epsilon[/mm]
>
> Irgendwie fehlt mir nun der weitere logische Schluss. Daher
> möchte ich gerne wissen, ob es soweit korrekt ist und wie
> es weitergeht.
Du kannst versuchen, die Negation der Aussage zu beweisen, aber ich finde es einfacher, die Aussage selber zu widerlegen.
Es muss für alle x, also unabhängig von x gelten, dass zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert, sodass
[mm] |f_n(x) -f(x) | < \varepsilon [/mm]
oder:
[mm] \left|\bruch{1}{1+nx}\right| < \varepsilon [/mm].
(Die Ungleichung ist für [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 1$ immer erfüllt, also können wir uns auf den Fall [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ beschränken.)
Wenn ich diese Ungleichung nach n auflöse bekomme ich:
[mm] n > \bruch{1/\varepsilon -1}{x} [/mm].
Und jetzt die spannende Frage: Kann ich hier ein von x unabhängiges N angeben, sodass alle $n>N$ die Ungleichung erfüllen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Danke für den Tipp, aber irgendwie stehe ich immer noch auf dem Schlauch...
Wenn ich das so, wie von dir vorgeschlagen, mache, muss es ja nach dem Schema:
"Sei [mm] \varepsilon [/mm] = ... und setze n = ... und x = ...
[mm] \Rightarrow f_{n}(x) [/mm] = ... > [mm] \varepsilon, [/mm] das ist ein Widerspruch"
Kannst du mir bitte die Wahl der Variablen nennen, damit ich das nachvollziehen kann?
Gruß
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Wenn ich das so, wie von dir vorgeschlagen, mache, muss es
> ja nach dem Schema:
>
> "Sei [mm]\varepsilon[/mm] = ... und setze n = ... und x = ...
> [mm]\Rightarrow f_{n}(x)[/mm] = ... > [mm]\varepsilon,[/mm] das ist ein
> Widerspruch"
>
> Kannst du mir bitte die Wahl der Variablen nennen, damit
> ich das nachvollziehen kann?
Eigentlich hat dir Fred schon eine mögliche Wahl angegeben, das ist deutlich einfacher als meine Vorgehensweise: Für den speziellen Wert $x=1/n$ berechne [mm] $|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] . Kann das kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein?
Mein Weg ginge so: es muss gelten:
[mm] n > \bruch{1/\varepsilon -1}{x} [/mm] für alle [mm] $x\in (0,\infty)$ [/mm] und für alle $n>N$.
Aber die rechte Seite ist für [mm] $x\in (0,\infty)$ [/mm] nicht beschränkt, daher ist es nicht möglich ein solches N anzugeben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Dankeschön, jetzt habe ich es verstanden.
Mir fällt bloß gerade auf, dass es noch eine weitere Teilaufgabe mit folgender Funktionenfolge gibt:
[mm] f_{n}: \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f_{n}(x) [/mm] = x * sin(n * x)
Für x = 0 gilt erneut für die Grenzfunktion f(x) = 0. Ich vermute, dass die Funktionenfolge sonst überhaupt nicht konvergiert (Ist das korrekt?), doch wie zeige ich es?
Grüße
Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Dankeschön, jetzt habe ich es verstanden.
> Mir fällt bloß gerade auf, dass es noch eine weitere
> Teilaufgabe mit folgender Funktionenfolge gibt:
>
> [mm]f_{n}: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f_{n}(x)[/mm] = x * sin(n * x)
>
> Für x = 0 gilt erneut für die Grenzfunktion f(x) = 0. Ich
> vermute, dass die Funktionenfolge sonst überhaupt nicht
> konvergiert (Ist das korrekt?), doch wie zeige ich es?
Probier noch andere Werte für x, z.B. [mm] $\pi/2$ [/mm] oder [mm] $\pi$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Danke für den Hinweis!
Also ergibt sich für x = [mm] k\pi [/mm] mit k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x * sin (n * x) = [mm] k\pi [/mm] * sin (n * [mm] k\pi) [/mm] = [mm] k\pi [/mm] * 0 = 0.
Es ergibt sich die Konvergenz für alle x = [mm] k\pi [/mm] mit k [mm] \in \IN.
[/mm]
Das mit [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] brigt es, glaube ich, nicht, da
[mm] sin(\bruch{\pi}{2}) \not= sin(\bruch{\pi}{2} [/mm] * 2) etc.
Was ist aber an den anderen Stellen?
Liebe Grüße
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Danke für den Hinweis!
>
> Also ergibt sich für x = [mm]k\pi[/mm] mit k [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] x * sin (n * x) = [mm]k\pi[/mm] * sin (n
> * [mm]k\pi)[/mm] = [mm]k\pi[/mm] * 0 = 0.
>
> Es ergibt sich die Konvergenz für alle x = [mm]k\pi[/mm] mit k [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Das mit [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] brigt es, glaube ich, nicht, da
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2}) \not= sin(\bruch{\pi}{2}[/mm] * 2) etc.
Genau, da sprint die Folge zwischen 0, 1 und -1 hin und her.
>
> Was ist aber an den anderen Stellen?
Na, du kannst das Argument doch auf beliebige rationale Vielfache von [mm] $\pi$ [/mm] verallgemeinern: Nimm an, dass [mm] $x=\bruch{p}{q}\pi$ [/mm] (p und q teilerfremd) und überlege dir, dass die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] nicht konvergiert.
Kannst du das auf beliebige reelle Werte von x verallgemeinern? Alle [mm] $f_n(x) [/mm] $ sind ja stetig.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp zur Frage nach der gleichmäßigen Konvergenz:
betrachte mal $ [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] $ für $x=1/n$
FRED
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