Funktionenkp. in 2 Variablen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:18 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei p prim, [mm] $L=\IF_p(X,Y)$ [/mm] der Funktionenkörper in zwei Variablen über [mm] $\IF_p$, $\sigma$ [/mm] der zugehörige Frobeniushomomorphismus: [mm] $\sigma: [/mm] L [mm] \to [/mm] L, a [mm] \mapsto a^p, \: K:=\sigma(L)$
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] $L/K\:$ [/mm] ist nicht einfach. Berechnen Sie dazu [mm] $[L:K]\:$ [/mm] und [mm] $[L:K]_s$. [/mm] |
Hallo,
sorry, dass das Algebraforum gerade so voll ist von meinen Fragen, aber ich komme mal wieder nicht weiter.
[mm] $\sigma$ [/mm] ist Automorphismus von [mm] $\IF_p$ [/mm] und somit gilt: [mm] $\sigma(L)=\IF_p(X^p,Y^p)$.
[/mm]
Wir betrachten also die Erweiterung [mm] $\IF_p(X,Y)/\IF_p(X^p,Y^p)$
[/mm]
Es gilt [mm]min_K (X) = t^p-X^p \in K[t][/mm] und [mm]min_{K(X)}(Y) = t^p-Y^p \in K(X)[t][/mm]
[mm] $\Rightarrow [L:K]=p^2$, [/mm] da $[L:K]=[L:K(X)][K(X):K]$
Andererseits gilt: [mm] $[L:K]_s [/mm] = [mm] [L:K(X)]_s [K(X):K]_s [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1$, denn da $L/K(X), [mm] K(X)/L\:$ [/mm] einfach, ist der Separabilitätsgrad dieser Erweiterungen gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen des Minimalpolynoms.
Angenommen [mm] $L/K\:$ [/mm] einfach [mm] $\Rightarrow \exists \alpha \in [/mm] L: [mm] L=K(\alpha) \Rightarrow [/mm] [L:K] = [mm] p^r[L:K]_s$, [/mm] wobei [mm] $p^r$ [/mm] die Vielfachheit der Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] des Minimalpolynoms von [mm] $\alpha$ [/mm] ist [mm] $\Rightarrow p^2 [/mm] = [mm] p^r \cdot [/mm] 1 [mm] \Rightarrow \ldots$
[/mm]
Ich sehe nicht, warum sich hier ein Widerspruch ergibt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Fr 04.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p prim, [mm]L=\IF_p(X,Y)[/mm] der Funktionenkörper in zwei
> Variablen über [mm]\IF_p[/mm], [mm]\sigma[/mm] der zugehörige
> Frobeniushomomorphismus: [mm]\sigma: L \to L, a \mapsto a^p, \: K:=\sigma(L)[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]L/K\:[/mm] ist nicht einfach. Berechnen Sie dazu
> [mm][L:K]\:[/mm] und [mm][L:K]_s[/mm].
> Hallo,
>
> sorry, dass das Algebraforum gerade so voll ist von meinen
> Fragen, aber ich komme mal wieder nicht weiter.
>
> [mm]\sigma[/mm] ist Automorphismus von [mm]\IF_p[/mm] und somit gilt:
> [mm]\sigma(L)=\IF_p(X^p,Y^p)[/mm].
> Wir betrachten also die Erweiterung
> [mm]\IF_p(X,Y)/\IF_p(X^p,Y^p)[/mm]
> Es gilt [mm]min_K (X) = t^p-X^p \in K[t][/mm] und [mm]min_{K(X)}(Y) = t^p-Y^p \in K(X)[t][/mm]
> [mm]\Rightarrow [L:K]=p^2[/mm], da [mm][L:K]=[L:K(X)][K(X):K][/mm]
>
> Andererseits gilt: [mm][L:K]_s = [L:K(X)]_s [K(X):K]_s = 1 \cdot 1[/mm], denn da [mm]L/K(X), K(X)/L\:[/mm] einfach, ist der Separabilitätsgrad dieser Erweiterungen gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen des Minimalpolynoms.
>
> Angenommen [mm]L/K\:[/mm] einfach [mm]\Rightarrow \exists \alpha \in L: L=K(\alpha) \Rightarrow [L:K] = p^r[L:K]_s[/mm], wobei [mm]p^r[/mm] die Vielfachheit der Nullstelle [mm]\alpha[/mm] des Minimalpolynoms von [mm]\alpha[/mm] ist [mm]\Rightarrow p^2 = p^r \cdot 1 \Rightarrow \ldots[/mm]
>
> Ich sehe nicht, warum sich hier ein Widerspruch ergibt.
Es gilt [mm] $\alpha^p [/mm] = [mm] \sigma(\alpha) \in \sigma(L) [/mm] = K$, womit das MiPo von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$ ein Teiler von [mm] $t^p [/mm] - [mm] \sigma(\alpha) \in [/mm] K[t]$ ist.
(Wozu man hier [mm] $[L:K]_s$ [/mm] braucht weiss ich nicht...)
LG Felix
|
|
|
|
