Funktionenraum L-stetige Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, dass die Menge der L-stetigen Funktionen auf einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ einen Vektorraum bildet, auf welchem durch:
$||f|| := [mm] \max_{x\in[a,b]}|f(x)| [/mm] + [mm] \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$
[/mm]
eine Norm definiert ist. Ist dieser Raum [mm] C^{L}[a,b] [/mm] vollständig? |
Hallo!
Ich habe erst versucht, zu zeigen, dass es sich um einen VR handelt. Da keine konkrete Operation angegeben ist, nehme ich einfach mal "+" an:
[mm] $(C^{L}[a,b] [/mm] ,+)$ ist abelsche Gruppe:
- Abgeschlossenheit: f,g L-stetig mit [mm] L_{1},L_{2}.
[/mm]
$|(f+g)(x)-(f+g)(y)| = |f(x)+g(x)-f(y)-g(y)| = |[f(x)-f(y)] + [g(x)-g(y)]|$
[mm] $\le [/mm] |f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| [mm] \le L_{1}*|x-y| [/mm] + [mm] L_{2}*|x-y| [/mm] = [mm] (L_{1}+L_{2})*|x-y|$,
[/mm]
also ist auch die Summe zweier Element aus dem Raum [mm] C^{L}[a,b] [/mm] wieder eine L-stetige Funktion mit L-Konstante [mm] $L_{1} [/mm] + [mm] L_{2}$
[/mm]
- Neutr. Element: L-stetige Funktion f = 0.
- Inv. Element zu f: L-stetige Funktion -f
- Assoziativität: klar.
Die Verträglichkeiten mit der skalaren Multiplikation dürften eigentlich auch alle keine Probleme machen, oder?
--> [mm] C^{L}[a,b] [/mm] ist VR.
---------
Norm:
- Homogenität: [mm] $||\alpha*f||\le |\alpha|*||f||$ [/mm] - sieht man durch Einsetzen(?)
- Definitheit: Wenn ||f|| = 0, muss sowohl der erste Summand als auch der zweite = 0 sein, weil beide selbst größer gleich Null sind. Aus [mm] $\max [/mm] |f(x)| = 0$ folgt dann f(x) = 0 für alle [mm] x\in[a,b].
[/mm]
- Dreiecksungleichung: Folgt direkt aus der Dreiecksungleichung für Beträge in [mm] \IR?
[/mm]
Stimmen diese Überlegungen (ich habe immer nur kurz ausgeführt, wie ich die "Kernprobleme" lösen würde) ?
-----------
Vollständig?
Es ist ja zunächst fraglich, ob jede Cauchy-Folge Lipschitz-stetiger Funktionen wieder gegen eine Lipschitz-stetige Funktion konvergiert. Ich glaube, das ist nicht so. Wenn ich zum Beispiel das Intervall [0,2] nehme, und dann die Taylor-Reihe der Wurzelfunktion, dann ist jede Partialsumme der Reihe eine L-stetige Funktion (Polynom auf beschränkten, abgeschlossenen Intervall), aber die Grenzfunktion nicht.
Ich weiß aber nicht, ob meine Idee richtig ist - und gibt es eventuelle einfachere Gegenbeispiele?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige, dass die Menge der L-stetigen Funktionen auf
> einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall [mm][a,b][/mm] einen
> Vektorraum bildet, auf welchem durch:
>
> [mm]||f|| := \max_{x\in[a,b]}|f(x)| + \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm]
>
> eine Norm definiert ist. Ist dieser Raum [mm]C^{L}[a,b][/mm]
> vollständig?
> Hallo!
>
> Ich habe erst versucht, zu zeigen, dass es sich um einen VR
> handelt. Da keine konkrete Operation angegeben ist, nehme
> ich einfach mal "+" an:
>
> [mm](C^{L}[a,b] ,+)[/mm] ist abelsche Gruppe:
>
> - Abgeschlossenheit: f,g L-stetig mit [mm]L_{1},L_{2}.[/mm]
> [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)| = |f(x)+g(x)-f(y)-g(y)| = |[f(x)-f(y)] + [g(x)-g(y)]|[/mm]
>
> [mm]\le |f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| \le L_{1}*|x-y| + L_{2}*|x-y| = (L_{1}+L_{2})*|x-y|[/mm],
>
> also ist auch die Summe zweier Element aus dem Raum
> [mm]C^{L}[a,b][/mm] wieder eine L-stetige Funktion mit L-Konstante
> [mm]L_{1} + L_{2}[/mm]
>
> - Neutr. Element: L-stetige Funktion f = 0.
> - Inv. Element zu f: L-stetige Funktion -f
> - Assoziativität: klar.
>
> Die Verträglichkeiten mit der skalaren Multiplikation
> dürften eigentlich auch alle keine Probleme machen, oder?
>
> --> [mm]C^{L}[a,b][/mm] ist VR.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ---------
>
> Norm:
>
> - Homogenität: [mm]||\alpha*f||\le |\alpha|*||f||[/mm] - sieht man
> durch Einsetzen(?)
> - Definitheit: Wenn ||f|| = 0, muss sowohl der erste
> Summand als auch der zweite = 0 sein, weil beide selbst
> größer gleich Null sind. Aus [mm]\max |f(x)| = 0[/mm] folgt dann
> f(x) = 0 für alle [mm]x\in[a,b].[/mm]
> - Dreiecksungleichung: Folgt direkt aus der
> Dreiecksungleichung für Beträge in [mm]\IR?[/mm]
OK
>
> Stimmen diese Überlegungen (ich habe immer nur kurz
> ausgeführt, wie ich die "Kernprobleme" lösen würde) ?
>
> -----------
>
> Vollständig?
>
> Es ist ja zunächst fraglich, ob jede Cauchy-Folge
> Lipschitz-stetiger Funktionen wieder gegen eine
> Lipschitz-stetige Funktion konvergiert. Ich glaube, das ist
> nicht so. Wenn ich zum Beispiel das Intervall [0,2] nehme,
> und dann die Taylor-Reihe der Wurzelfunktion, dann ist jede
> Partialsumme der Reihe eine L-stetige Funktion (Polynom auf
> beschränkten, abgeschlossenen Intervall), aber die
> Grenzfunktion nicht.
> Ich weiß aber nicht, ob meine Idee richtig ist - und gibt
> es eventuelle einfachere Gegenbeispiele?
Wie wär's mit [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] auf $[0,1]$ ? Ich habe allerdings nicht überprüft, ob das eine Cauchyfolge bzgl der obigen Norm ist.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
Also, es geht weiterhin um das Problem, ob der Vektorraum der Lipschitz-stetigen Funktion bzgl. der Norm
$ ||f|| := [mm] \max_{x\in[a,b]}|f(x)| [/mm] + [mm] \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} [/mm] $
vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge muss konvergieren (und der Grenzwert wieder in dem VR sein, d.h. jede Grenzfunktion muss wieder eine L-stetige Funktion sein).
Ich habe es jetzt mal mit deinem Vorschlag ausprobiert.
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n}
[/mm]
ist L-stetig auf [0,1] mit L-Konstante L = n.
Die Grenzfunktion wäre nicht L-stetig. Nun ist aber die Frage, ob [mm] f_{n}(x) [/mm] überhaupt Cauchy-Folge bzgl. der obigen Norm ist. o.E. n < m:
[mm] $||f_{n}(x)-f_{m}(x)|| [/mm] = [mm] ||x^{n}-x^{m}|| [/mm] = [mm] \max_{x\in[a,b]}|x^{n}-x^{m}| [/mm] + [mm] \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|(x^{n}-x^{m})-(y^{n}-y^{m})|}{|x-y|}$
[/mm]
Das Maximum dürfte ja gegen 0 gehen. (Behaupte ich, ist aber wahrscheinlich nicht ganz einfach zu zeigen).
Bleibt noch das Supremum.
[mm] $\sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|(x^{n}-x^{m})-(y^{n}-y^{m})|}{|x-y|} [/mm] = [mm] \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|(x^{n}-y^{n})-(x^{m}-y^{m})|}{|x-y|} [/mm] = [mm] \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|(x-y)*(\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}*y^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{m-1}x^{k}*y^{m-1-k})|}{|x-y|}$
[/mm]
Aber ehrlich gesagt fallen mir hier auch nicht Argumente ein, warum das gegen 0 geht...
Gibt es eine einfachere Möglichkeit? Oder ist der Raum doch vollständig?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort!
> Also, es geht weiterhin um das Problem, ob der Vektorraum
> der Lipschitz-stetigen Funktion bzgl. der Norm
>
> [mm]||f|| := \max_{x\in[a,b]}|f(x)| + \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm]
>
> vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge muss konvergieren
> (und der Grenzwert wieder in dem VR sein, d.h. jede
> Grenzfunktion muss wieder eine L-stetige Funktion sein).
>
> Ich habe es jetzt mal mit deinem Vorschlag ausprobiert.
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]x^{n}[/mm]
>
> ist L-stetig auf [0,1] mit L-Konstante L = n.
> Die Grenzfunktion wäre nicht L-stetig. Nun ist aber die
> Frage, ob [mm]f_{n}(x)[/mm] überhaupt Cauchy-Folge bzgl. der obigen
> Norm ist. o.E. n < m:
>
> [mm]||f_{n}(x)-f_{m}(x)|| = ||x^{n}-x^{m}|| = \max_{x\in[a,b]}|x^{n}-x^{m}| + \sup_{x,y\in[a,b], x\not= y}\frac{|(x^{n}-x^{m})-(y^{n}-y^{m})|}{|x-y|}[/mm]
>
> Das Maximum dürfte ja gegen 0 gehen. (Behaupte ich, ist
> aber wahrscheinlich nicht ganz einfach zu zeigen).
Für $[a,b]=[0,1]$, dann ja. Aber für allgemeine Werte von a und b?
Wenn $n>m$ ist, was wir ja o.B.d.A. annehmen dürfen, ist
[mm] |x^{n}-x^{m}| = |x|^m |x^{n-m} - 1| [/mm]
Und wenn die rechte Intervallgrenze [mm] $b\ge [/mm] 2$ ist, ist dieser Ausdruck für $x=b$ größer als [mm] $2^m$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
Das bedeutet jetzt aber, dass das Gegenbeispiel nicht funktioniert, oder?
Ist der Raum doch vollständig?
Wenn ja, wie zeige ich das?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Do 28.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Der Raum ist auf jeden Fall vollständig... Nennt sich auch Raum der Hölder-stetigen Funktionen [mm] $C^{0,\alpha}([a,b])$ [/mm] mit [mm] $\alpha=1$.
[/mm]
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort!
> Das bedeutet jetzt aber, dass das Gegenbeispiel nicht
> funktioniert, oder?
> Ist der Raum doch vollständig?
Ja, das ist er.
> Wenn ja, wie zeige ich das?
Das musste ich auch erstmal nachlesen 
Überlege dir erst einmal, das der Grenzwert $f$ einer Cauchyfolge Lipschitz-stetiger Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] auf einem kompakten Intervall stetig ist, und dass die Folge gleichmäßig konvergiert. Denn die angegebene Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] ist immer [mm] $\ge$ [/mm] der Maximumsnorm auf dem Raum der stetigen Funktionen, und damit ist [mm] $f_n$ [/mm] eine Cauchyfolge im Banachraum $C([a,b])$ der stetigen Funktionen mit Maximumsnorm.
Nach Voraussetzung gibt es es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein $N$, sodass [mm] $\|f_n-f_k\|<\varepsilon$ [/mm] für $n,k>N$. [mm] $(f_n-f_k)$ [/mm] ist als Differenz Lipschitz-stetiger Funktionen wieder Lipschitz-stetig. Nun schätze
[mm] |(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)| [/mm]
ab und lass [mm] $k\to\infty$ [/mm] gehen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
> > Ist der Raum doch vollständig?
>
> Ja, das ist er.
>
> > Wenn ja, wie zeige ich das?
>
> Das musste ich auch erstmal nachlesen
>
> Überlege dir erst einmal, das der Grenzwert [mm]f[/mm] einer
> Cauchyfolge Lipschitz-stetiger Funktionen [mm]f_n[/mm] auf einem
> kompakten Intervall stetig ist, und dass die Folge
> gleichmäßig konvergiert. Denn die angegebene Norm
> [mm]\|\cdot\|[/mm] ist immer [mm]\ge[/mm] der Maximumsnorm auf dem Raum der
> stetigen Funktionen, und damit ist [mm]f_n[/mm] eine Cauchyfolge im
> Banachraum [mm]C([a,b])[/mm] der stetigen Funktionen mit
> Maximumsnorm.
>
> Nach Voraussetzung gibt es es zu jedem [mm]\varepsilon >0[/mm] ein
> [mm]N[/mm], sodass [mm]\|f_n-f_k\|<\varepsilon[/mm] für [mm]n,k>N[/mm]. [mm](f_n-f_k)[/mm] ist
> als Differenz Lipschitz-stetiger Funktionen wieder
> Lipschitz-stetig. Nun schätze
>
> [mm]|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)|[/mm]
>
> ab und lass [mm]k\to\infty[/mm] gehen.
Mhh. Abschätzen.
Also:
[mm] $|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)| [/mm] = [mm] |[f_{n}(x)-f_{n}(y)] [/mm] + [mm] |[f_{k}(x)-f_{k}(y)]| \le |f_{n}(x)-f_{n}(y)| [/mm] + [mm] |f_{k}(x)-f_{k}(y)|$
[/mm]
Wenn k gegen unendlich geht, geht der rechte Term gegen |f(x)-f(y)|. Aber nützt mir das was?
Das ist jetzt praktisch der Teil mit dem Supremum, den wir untersuchen, oder?
Danke für deine Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> > Nach Voraussetzung gibt es es zu jedem [mm]\varepsilon >0[/mm] ein
> > [mm]N[/mm], sodass [mm]\|f_n-f_k\|<\varepsilon[/mm] für [mm]n,k>N[/mm]. [mm](f_n-f_k)[/mm] ist
> > als Differenz Lipschitz-stetiger Funktionen wieder
> > Lipschitz-stetig. Nun schätze
> >
> > [mm]|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)|[/mm]
> >
> > ab und lass [mm]k\to\infty[/mm] gehen.
>
> Mhh. Abschätzen.
> Also:
>
> [mm]|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)| = |[f_{n}(x)-f_{n}(y)] + |[f_{k}(x)-f_{k}(y)]| \le |f_{n}(x)-f_{n}(y)| + |f_{k}(x)-f_{k}(y)|[/mm]
Ungeschickte Abschätzung. Ich habe extra geschrieben, dass [mm] $(f_n-f_k)$ [/mm] Lipschitz-stetig ist, also
[mm]|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)| \le L*|x-y| [/mm] mit $L= [mm] \sup_{x\not=y} \bruch{|(f_n-f_k)(x) -(f_n-f_k)(y)|}{|x-y|} \le \|f_n -f_k\| [/mm] $ .
Mit [mm] $k\to\infty$ [/mm] ergibt sich
[mm] |(f_n-f)(x) -(f_n-f)(y)| \le \varepsilon |x-y| [/mm] für $n>N$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
Danke!
ich habe deine Abschätzung (und meine Dummheit  ) verstanden.
Nur eine Frage habe ich noch: Woher weiß ich jetzt, dass auch die Grenzfunktion Lipschitz-stetig sein muss?
Bis jetzt habe ich doch nur gezeigt, dass [mm] f_{n} [/mm] gegen f bzgl. der Norm konvergiert, oder?
Oder folgt das auch aus:
> [mm]|(f_n-f)(x) -(f_n-f)(y)| \le \varepsilon |x-y|[/mm] für [mm]n>N[/mm].
?
Danke!!!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> Danke!
> ich habe deine Abschätzung (und meine Dummheit )
> verstanden.
> Nur eine Frage habe ich noch: Woher weiß ich jetzt, dass
> auch die Grenzfunktion Lipschitz-stetig sein muss?
> Bis jetzt habe ich doch nur gezeigt, dass [mm]f_{n}[/mm] gegen f
> bzgl. der Norm konvergiert, oder?
Nein, noch nicht. Bisher ist nur gleichmäßige Konvergenz bzgl der Maximumsnorm und damit punktweise Konvergenz nachgewiesen.
> Oder folgt das auch aus:
>
> > [mm]|(f_n-f)(x) -(f_n-f)(y)| \le \varepsilon |x-y|[/mm] für [mm]n>N[/mm].
Das bedeutet doch, dass [mm] $(f_n-f)$ [/mm] Lipschitz-stetig ist. [mm] $f_n$ [/mm] ist Lipschitz-stetig, und
[mm] f = f_n - (f_n -f ) [/mm]
ist als Differenz zweier Lipschitz-stetiger Funktionen auch Lipschitz-stetig.
Aber mit dem bisher erreichten kannst du [mm] $\|f_n-f\|$ [/mm] leicht nach oben abschätzen: der erste Summand der Norm ist die Maximumsnorm, bezüglich der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ konvergiert, und die Abschätzung des zweiten Summanden hatten wir gerade.
Viele Grüße
Rainer
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Okay,
vielen, vielen Dank, Rainer, für deine Mühe!
Ich denke, ich werde es jetzt dank deinem Input schaffen, das alles ordentlich aufzuschreiben.
Nur noch eine kleine Frage aus Interesse: Wo stand das denn, was du nachgelesen hast ?
Grüße,
Stefan
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Dann vielen Dank, Rainer, für deine Antworten!
Hat mir sehr geholfen
Grüße,
Stefan
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